把數學思想方法的種子播種在學生心田

黃惠娟

【摘要】數學思想方法是對數學知識內容和所使用的方法的本質認識，它是數學知識的精髓、數學的靈魂。教學中我們要充分挖掘隱藏在具體知識內容背后的數學思想方法，讓學生在參與學習的過程中逐步領悟、應用數學思想方法。本文總結了四條經驗：研究教材，挖掘數學思想方法；組織探究，滲透數學思想方法；巧設練習，應用數學思想方法；總結反思，強化數學思想方法。

【關鍵詞】思想方法 挖掘 滲透 應用 強化

【中圖分類號】G623.5 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）09-0147-02

數學基礎知識和數學思想方法是貫穿數學教材的兩條主線：其中數學基礎知識是一條明線，直接用文字形式寫在教材里；數學思想方法則是一條暗線，蘊藏于數學教材的每一個知識點之中。數學思想方法是對數學知識內容和所使用的方法的本質認識，它是從某些具體數學認識過程中提煉出來的一些觀點，是對數學規律的理性認識，是數學學習的精髓、數學的靈魂。正如日本數學教育家米山國藏在從事多年的數學教育之后所說：“作為知識的數學如果進入社會之后沒機會應用，出校門后一兩年可能就忘了，唯有那種銘刻于腦中的數學精神和數學思想方法卻長期地在他們工作和生活中發揮著作用?！痹诮虒W中滲透數學思想方法，才能促進學生數學學習的可持續發展。

一、研究教材，挖掘數學思想方法

數學思想方法不像一些概念、公式、性質等明顯地寫在教材中，而是呈隱蔽的形式蘊含在數學知識體系里，數學思想方法的滲透是以數學知識為載體，在學生學習過程中悄悄地得以完成的。小學數學中常用的數學思想方法有：轉化思想、類比思想、數形結合思想、假設思想、對應思想、猜想驗證思想、極限思想、符號化思想等。我們在鉆研教材設計教案時要站在數學思想方法的高度，對教學內容用恰當的語言進行深入淺出的分析，把隱藏在具體知識內容背后的思想方法挖掘出來，使之成為學生可以理解、可以學到手的知識。每一章節要滲透哪些數學思想方法？應如何結合具體的教學內容進行滲透？這些問題我們在備課時都要考慮到。

課程標準把數學教學分為“數與代數”、“空間與圖形”、“統計與概率”、“實踐與綜合應用”四大知識領域，每一知識領域的教學對數學思想方法的滲透都有不同的側重，例如“數與代數”的教學著重滲透函數思想、符號化思想、極限思想等；“統計與概率”的教學著重滲透統計思想、分類思想等；“空間與圖形”的教學著重滲透猜想與驗證思想、轉化思想等。但這些并不是絕對分開的，只是側重不同，比如，“數與代數”這一知識領域的教學也經常滲透轉化思想、分類思想等；“空間與圖形”這一知識領域的教學同樣經常滲透符號化思想、數形結合思想等。

只有認真研讀教材、深刻分析教材、將編者的意圖吃透，才能充分挖掘教材中的隱性資源。從知識中挖掘方法，從方法中提煉思想，只有這樣，才會真正領悟隱藏在知識背后的思想方法。

二、組織探究，滲透數學思想方法

數學知識的探究過程，實質上也是數學思想方法的發生過程。比如概念的形成、公式的推導、規律的發現等都蘊涵著豐富的數學思想方法。數學思想方法是抽象的，課堂上，我們要本著“知識再創造”的理念組織教學，學生只有親身經歷知識的形成過程，才能對數學知識和數學思想方法產生體驗，在參與的過程中才能逐步領悟內在的數學思想方法。下面結合自己的課堂實例談幾個常用的數學思想方法。

1.數形結合思想方法

數形結合是一個重要的數學思想方法，數與形是數學教學研究對象的兩個側面，數形結合即是把數量關系和空間形式結合起來去分析問題、解決問題。借助于圖形可以將許多抽象的數學概念和數量關系形象化、易于理解；另一方面，將圖形問題轉化為代數問題，以獲得精確的結論。華羅庚先生說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休?！?/p>

比如，教學“兩端都栽的植樹問題”時，為了使學生真正理解“棵數”與“段數”之間的關系，課堂上采用“動手實踐與合作交流”相結合的學習方法，組織學生進行“模擬植樹”。借助直觀、形象的圖形幫助學生理解掌握 “棵數=段數+1”、“段數=棵數-1”這一抽象的代數問題。通過“模擬植樹”這一課堂活動就是有目的地向學生滲透“數形結合”思想，讓學生體會到直觀圖形可以幫助自己理解一些抽象的數量關系。

2.類比思想方法

類比思想是指依據兩類數學對象的相似性，將已知的一類數學對象的性質遷移到另一類數學對象上去，導致發現新規律。如：“加法結合律”類比遷移到“乘法結合律”、“萬以內數的讀法”類比遷移到“多位數的讀法”、“商不變的性質”類比遷移到“比的基本性質”、“除數是兩位數的除法計算”類比遷移到“除數是三位數的除法計算”等。類比是一種重要的數學思想方法，沒有類比，就無法歸類，無法遷移。類比可以使學生觸類旁通，發現知識的共性，找到知識的本質。教學上，利用類比的方法組織教學，既可以復習以前的知識，又很自然地引入新知教學，促使學生對知識的正遷移。

如教學“比的基本性質”時，課初我給學生設計了兩道復習題：①說一說商不變的性質和分數的基本性質。②說一說比的前項和后項同除法、分數有什么聯系。通過這兩道復習題的思考，引導學生探究得出比的基本性質，并鼓勵學生舉例驗證自己的猜想。這樣的教學符合學生的認知規律，同時也使學生認識到知識是可以遷移的，類比是一種很好的學習方法。

3.轉化與化歸思想方法

轉化與化歸思想是解決問題的一種基本思想，轉化就是把數學問題由一種形式變換成另一種形式，化歸就是把待解決的問題通過轉化，歸結為一類已經解決或比較容易解決的問題。通過轉化，把不熟悉的、復雜的問題轉化為熟悉、簡單的問題。例如：異分母分數加減法轉化為同分母分數加減法、小數除法轉化為整數除法、分數除法轉化為分數乘法、平行四邊形的面積轉化為長方形的面積進行公式的推導等。轉化與化歸是經常用到的一種數學思想方法，匈牙利數學家路莎·彼得語曾經說過：“數學家們也往往不是對問題進行正面的攻擊，而是將它不斷地變形，直到把它轉化為能夠解決的問題”。

如教學“圓的面積”這一課，我先給學生復習長方形、平行四邊形、三角形等一些平面圖形的面積公式，接著，問學生：“在以前的學習中，我們是怎樣推導出平行四邊形、三角形、梯形的面積公式的？” 生答：“是把它們轉化成已學過的平面圖形進行推導的?！蔽艺f：“沒錯，轉化是一種很重要的學習方法，今天學習圓的面積，我們同樣可以把圓轉化成已學過的平面圖形?！?接著，啟發學生把圓平均分成若干個扇形，剪開后把這些扇形拼成已學過的平面圖形去推導圓面積公式。學生通過分一分、剪一剪、拼一拼等操作，把圓轉化成近似的長方形、近似的三角形、近似的梯形等，推導得出：S=兀R2。

生1：把圓平均分成若干個扇形，然后拼出一個近似的長方形，長方形的長相當于圓周長的一半（即兀R），長方形的寬相當于圓的半徑（即R）。因為長方形的面積=長×寬，所以圓的面積S=兀R×R=兀R2

生2：把圓平均分成若干個扇形，然后拼出一個近似的三角形，三角形的底相當于圓周長的1/4（即1/2兀R），三角形的高相當于4條半徑的長度（即4R）。因為三角形的面積=底×高÷2，所以圓的面積S=1/2兀R×4R÷2=兀R2

生3：把圓平均分成若干個扇形，然后拼出一個近似的梯形，梯形的上底加下底之和相當于圓周長的一半（即兀R），梯形的高相當于2條半徑的長度（即2R）。因為梯形的面積=（上底+下底）×高÷2，所以圓的面積S=兀R×2R÷2=兀R2

4.極限思想方法

極限思想是一種重要的數學思想方法，它蘊涵著豐富的辯證唯物主義思想。早在公元3世紀，我國杰出數學家劉徽在創立“割圓術”的過程中，就豐富和發展了極限思想?，F在我們教學圓面積計算公式時，通過多媒體課件演示，讓學生明白，當把圓分割成無限多個扇形時，拼成的圖形就越接近長方形。教材中蘊涵著極限思想的教學內容很多，如：直線和射線的長度、自然數的個數、一個數的倍數、循環小數、圓有無數條半徑、無數條直徑……

在教學“圓的認識”這一課時，我除了讓學生認識圓各部分的名稱和特征外，還有意在課件上出示一組圖：正方形——正八邊形——正十六邊形——正三十二邊形……圓，讓學生領悟到：無限多邊形的盡頭就是圓。教學中，我有意挖掘，并抓住適當的時機，給學生滲透極限思想。

5.符號化思想方法

用符號化的語言（ 包括字母、數字、圖形和各種特定的符號） 來描述數學的內容， 這就是符號化思想方法。以符號的濃縮形式可以表達大量的信息，把復雜的語言文字敘述用簡潔明了的字母公式表示出來， 便于記憶， 便于運用。小學數學常見的有代數符號、公式符號、定律符號等，如：加法交換律用字母表示為a+b=b+a 、加法結合律用字母表示為（a+b）+c=a+（b+c）。

符號化思想在小學數學教學中隨處可見，教師要有意識地進行滲透。教材從一年級開始就用“（ ）”或“□”代替變量 x ，讓學生填數。例如：2+3=（ ），4+□=9， 8=□+□+□+□+□+□+□；再如：學校有8個球，又買來5個，現在有多少個？要學生填出□ ○ □ = □ （個）。在教學“用字母表示數”時，我設計了下面這一有趣的情境，課件播放學生熟悉的兒歌：“一只青蛙一張嘴，兩只眼睛四條腿，撲通一聲跳下水；兩只青蛙兩張嘴，四只眼睛八條腿，撲通兩聲跳下水；三只青蛙三張嘴，六只眼睛十二條腿，撲通三聲跳下水；……”要求學生用字母表示兒歌中的數。這首念不完的兒歌用字母表示其中的數字就可以濃縮成一句話：N只青蛙N張嘴，2N只眼睛4N條腿，撲通N聲跳下水。學生從解題中會進一步明白用字母表示數的優越性，大量的數學信息用一句含有字母的話就表達出來了。

在新知探索階段，學生只有親身經歷知識的形成過程，才能真正領悟隱藏在知識背后的數學思想。這樣，學生所掌握的知識才是富有生命力的、可遷移的，才能真正提高學生的數學學習品質。

三、巧設練習，應用數學思想方法

教材中，同一教學內容可蘊含幾種不同的數學思想方法，而同一種數學思想方法又常常分布在不同的知識之中。教學時，我們要有針對性地設計一些練習題，鼓勵學生運用體驗過的數學思想方法去發現、分析和解決問題，讓學生在頭腦中留下深刻的印象，提高學生運用數學思想方法解決實際問題的能力。

曾經聆聽過劉德武老師執教的《小數乘法與學習策略》，本課是在學生學習了《小數乘法》計算方法之后設計的一節練習課，通過不同層次的練習分別向學生滲透了轉化、比較、擇優、排除等數學思想。再如，《兩道土論圓周》這節有關圓周長的練習課，老師引導學生用猜想、驗證、推理、假設、遷移等方法解決問題。觀摩這兩節課，給我的教學帶來了很大的啟示，在那以后的教學中我也經常精心設計一些練習課，鼓勵學生運用數學思想方法尋求解題策略，效果很好。

四、總結反思，強化數學思想方法

總結反思是課堂教學整體優化的重要環節，可以使課堂教學的結構嚴密、緊湊、融為一體，還能引發學生向更深層次探究。當問題得到解決后，教師要有意識引導學生進行反思，反思自己的思維過程，反思自己是怎樣發現問題、分析問題的，在探索問題的過程中運用了哪些數學思想方法。還要引導學生對所學的數學思想方法進行縱向的總結，比如學習了“圓的面積”之后，讓學生去回憶：學習哪些知識時也是運用了“轉化與化歸”這一思想方法。學生在學習中既有橫向反思又有縱向總結，可以讓自己的思維得到良好的培養與發展。教學時，站在領悟數學思想方法的高度引導學生理解知識，才能準確把握知識的本質和內在規律，達到真正的學習。

數學思想方法是將知識化為能力的橋梁，數學思想方法的滲透要循序漸進，要持之以恒、反復訓練。寓數學思想方法于平時的教學之中，把數學思想方法的種子播種在學生心田，讓它開花、結果。

參考文獻：

[1]《數學課程標準》（實驗稿） 北京師范大學出版社 2001.7

[2]《數學課程標準》（實驗稿）北京師范大學出版社 2002.5

[3]《小學數學思想方法教學初探》網絡資源：http：//www.zsrpxy.com/article/showarticle.asp articleid=324

[4]《挖掘教材內涵資源 加強數學思想方法滲透》網絡資源：http：//www.xxkt.cn/shuxue/2008/30938.html

[5]《數學思想方法》網絡資源：http：//baike.baidu.com/view/938303.htm