人民幣利率期權(quán)定價(jià)模型研究

張震辰

摘要：在人民幣利率市場化步伐不斷加快的背景下，我國應(yīng)借鑒國際經(jīng)驗(yàn)，積極推動(dòng)人民幣利率期權(quán)產(chǎn)品的發(fā)展。本文介紹了Hull-White短期利率模型在利率期權(quán)定價(jià)中的運(yùn)用，對利率模型參數(shù)校正這一實(shí)施中的難點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行了舉例說明，并運(yùn)用解析公式、三叉樹模擬分別計(jì)算了利率期權(quán)的價(jià)格，以期為國內(nèi)市場提供相關(guān)參考。

關(guān)鍵詞：利率市場化 利率期權(quán)定價(jià) Hull-White利率模型 參數(shù)校正

近年來，我國利率市場化進(jìn)程有所提速，金融機(jī)構(gòu)貸款利率管制全面放開，貸款基礎(chǔ)利率報(bào)價(jià)和發(fā)布機(jī)制正式運(yùn)行，同業(yè)存單在銀行間市場成功發(fā)行。2014年兩會(huì)期間，人民銀行行長周小川表示，存款保險(xiǎn)制度有望在年內(nèi)推出，而人民幣存款利率的放開很可能在最近一兩年就能夠?qū)崿F(xiàn)。

根據(jù)國際經(jīng)驗(yàn)，利率市場化會(huì)大幅增加利率的波動(dòng)幅度，從而推進(jìn)利率期權(quán)的發(fā)展，因?yàn)槔势跈?quán)是最能反映利率市場未來不確定性的工具，其隱含的波幅率是利率即期、利率遠(yuǎn)期和利率期貨所難以反映的。所以，在人民幣利率市場化步伐不斷加快的背景下，應(yīng)借鑒國際經(jīng)驗(yàn)，積極探討人民幣利率期權(quán)產(chǎn)品的發(fā)展，進(jìn)一步豐富利率衍生產(chǎn)品體系，完善市場功能。

我國要發(fā)展人民幣利率期權(quán)產(chǎn)品，一個(gè)非常重要的前提就是必須對人民幣利率期權(quán)產(chǎn)品進(jìn)行合理準(zhǔn)確的定價(jià)，這就需要建立一個(gè)適合中國市場的利率期權(quán)定價(jià)模型。國內(nèi)此前對利率期權(quán)的探討主要集中于理論層面，本文將從操作實(shí)踐層面來選擇適合人民幣利率期權(quán)定價(jià)的模型，并探討其在實(shí)踐中的應(yīng)用。

國際市場主要利率期權(quán)模型介紹

在國際市場上，利率期權(quán)定價(jià)模型大致可以分為Black模型、短期利率模型（Short Rate Model）和Libor市場模型三大類。這三類模型各有特點(diǎn)、各有所長，金融機(jī)構(gòu)應(yīng)根據(jù)利率期權(quán)產(chǎn)品的特點(diǎn)，加以合理的選擇和運(yùn)用。

1976年，F(xiàn)ischer Black在Black-Scholes模型基礎(chǔ)上提出了Black模型，用于對期貨期權(quán)的定價(jià)，以及對債券期權(quán)、利率期權(quán)等衍生品的定價(jià)。Black 模型的計(jì)算公式較為直觀，并相對易于操作，在歐式利率上限期權(quán)（Interest Rate Caps）1、利率下限期權(quán)（Interest Rate Floors）2和利率互換期權(quán)（Swaption）3市場運(yùn)用廣泛。但由于該模型未能對利率期限結(jié)構(gòu)的演變進(jìn)行描述，因此其使用范圍受到限制，不能對美式利率期權(quán)4及奇異類利率期權(quán)5進(jìn)行定價(jià)。

短期利率模型是一種通過模擬未來短期利率變動(dòng)，來描述未來利率期限結(jié)構(gòu)演變的利率模型。其中，較具有代表性的短期利率模型包括Hull-White利率模型（1990）、Black–Karasinski利率模型（1991）等。短期利率模型可以對歐式利率期權(quán)、美式利率期權(quán)、奇異類利率期權(quán)進(jìn)行定價(jià)。不少短期利率模型有利率期權(quán)的解析定價(jià)公式，且可以結(jié)合三叉樹6和蒙特卡洛模擬方法7使用，因此較為靈活。但由于隨機(jī)因子較少、選擇波幅率期限結(jié)構(gòu)時(shí)未給使用者足夠自由度等原因，短期利率模型對于結(jié)構(gòu)復(fù)雜的利率期權(quán)，如多種利率期權(quán)結(jié)構(gòu)的組合、路徑依賴型利率期權(quán)和提前終止權(quán)的組合等，在定價(jià)上有所不足。

Libor市場模型，又稱 BGM利率模型，是由Brace、Gatarek、Musiela于1997年提出的利率模型，目前已成為市場上對奇異類利率期權(quán)等結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜利率期權(quán)定價(jià)的通用模型。Libor市場模型在波幅率期限結(jié)構(gòu)和隨機(jī)因子的設(shè)置方面具有更大的靈活度，通過對波幅率參數(shù)的校正后，結(jié)合蒙特卡洛模擬方法，可對各類結(jié)構(gòu)復(fù)雜的奇異類利率期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，因此使用范圍較廣。但Libor市場模型無法結(jié)合三叉樹使用，只能結(jié)合蒙特卡洛模擬方法使用，其參數(shù)較多且校正過程較為復(fù)雜，特別是對帶有提前終止權(quán)的奇異類期權(quán)，還需對蒙特卡洛模擬進(jìn)行修正和優(yōu)化，使計(jì)算過程更為復(fù)雜和耗時(shí)。

Hull-White利率模型在我國的適用性

實(shí)踐中，我國金融機(jī)構(gòu)在使用利率模型時(shí)，應(yīng)根據(jù)利率模型的特點(diǎn)、適用范圍和實(shí)施過程中的便易程度，結(jié)合人民幣利率期權(quán)在中國的發(fā)展途徑進(jìn)行選擇。

縱觀世界各國利率期權(quán)發(fā)展的歷史，大都是沿著先簡單后復(fù)雜的原則來發(fā)展的。我國目前尚未開展利率期權(quán)，筆者認(rèn)為，未來我國發(fā)展人民幣利率期權(quán)類衍生產(chǎn)品也應(yīng)遵循上述規(guī)律，循序漸進(jìn)，先從人民幣利率上限期權(quán)、人民幣利率下限期權(quán)和人民幣利率互換期權(quán)等普通歐式人民幣利率期權(quán)著手，逐步發(fā)展美式利率期權(quán)、百慕大利率期權(quán)8及奇異類利率期權(quán)等復(fù)雜的期權(quán)產(chǎn)品。

Hull-White利率模型是短期利率模型中最具代表性的模型之一，彭博（Bloomberg）系統(tǒng)、Numerix系統(tǒng)、Summit系統(tǒng)等國際知名的資金業(yè)務(wù)系統(tǒng)供應(yīng)商，均將Hull-White利率模型作為主要的利率模型之一，用于對利率期權(quán)類產(chǎn)品定價(jià)。該利率模型經(jīng)過系統(tǒng)供應(yīng)商多年的實(shí)施，已獲得市場的認(rèn)可，目前是利率期權(quán)定價(jià)和風(fēng)險(xiǎn)管理的主要工具。

從實(shí)踐應(yīng)用來看，Black 模型的計(jì)算公式雖然較為直觀，并相對易于操作，在歐式利率上限、利率下限和利率互換期權(quán)市場應(yīng)用廣泛，但該模型不能對美式利率期權(quán)以及奇異類利率期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，因此其使用范圍受到限制。Libor市場模型雖然使用范圍最為廣泛，但只能結(jié)合蒙特卡洛模擬方法使用，其參數(shù)和隨機(jī)因子較多且校正過程復(fù)雜，定價(jià)過程較為復(fù)雜和耗時(shí)，若使用在普通利率期權(quán)或結(jié)構(gòu)相對簡單的奇異利率期權(quán)定價(jià)上，則顯得過于占用和浪費(fèi)資源。

相比之下，Hull-White利率模型的使用范圍雖不如Libor市場模型，但廣于Black 模型，可對普通利率期權(quán)和結(jié)構(gòu)相對簡單的奇異類利率期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，且定價(jià)過程相對Libor市場模型較為簡捷和省時(shí)。具體來看，對于普通利率期權(quán)，可根據(jù)Hull-White利率模型下有關(guān)利率期權(quán)的解析公式進(jìn)行定價(jià)；對于提前終止型利率期權(quán)，可根據(jù)Hull-White利率模型結(jié)合三叉樹方法進(jìn)行定價(jià)；對于路徑依賴性利率期權(quán)，可根據(jù)Hull-White利率模型結(jié)合蒙特卡洛模擬方法進(jìn)行定價(jià)。

綜上，筆者認(rèn)為，Hull-White利率模型即可滿足普通利率期權(quán)的定價(jià)，又具有一定的前瞻性。因此，至少在人民幣利率期權(quán)市場發(fā)展初期，Hull-White利率模型將更適合中國市場使用。

Hull-White利率模型在利率期權(quán)定價(jià)中的應(yīng)用

（一）Hull-White利率模型公式

1990年，Hull White在Vasicek模型的基礎(chǔ)上建立了一種能夠與當(dāng)前利率期限結(jié)構(gòu)相匹配的短期利率模型，被稱為Hull-White利率模型。其模型具體如下：

（1）

其中，為短期瞬時(shí)利率；和為正常數(shù)；，為當(dāng)前市場瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率；為布朗運(yùn)動(dòng)。

（二）Hull-White利率模型中的利率上限期權(quán)解析公式

在Hull-White利率模型中，利率上限期權(quán)的定價(jià)公式如下：

（2）

其中，為名義本金；為執(zhí)行價(jià)格；為定價(jià)日；為標(biāo)的利率的重置時(shí)間，為到期日；為零息債券價(jià)格；，和為正常數(shù)，；；；是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量的累積分布函數(shù)。

（三）Hull-White利率模型在利率上限期權(quán)定價(jià)中的應(yīng)用

下面，筆者以美元利率上限期權(quán)定價(jià)為例，對Hull White利率模型在實(shí)踐中的應(yīng)用進(jìn)行介紹，過程包含對市場數(shù)據(jù)的采集、參數(shù)的校正（Calibration）等實(shí)踐應(yīng)用中的關(guān)鍵點(diǎn)和難點(diǎn)。

1.市場數(shù)據(jù)的采集

對利率期權(quán)進(jìn)行定價(jià)的前提條件是獲取波幅率、零息利率等市場數(shù)據(jù)。

首先，選取美元利率上限期權(quán)市場隱含波幅率，如2014年3月24日，美元利率上限期權(quán)市場隱含波幅率如圖1所示。

圖1 美元利率上限期權(quán)市場隱含波幅率

接著，選取美元市場利率價(jià)格。當(dāng)日，美元市場利率及由市場利率生成的零息利率如表1所示。

表1 美元市場收益率曲線數(shù)據(jù)（單位：%）

到期日 市場利率 零息利率

06/26/2014 0.23285 0.23285

07/16/2014 0.242 0.24474

08/20/2014 0.245 0.24547

09/17/2014 0.26 0.25283

10/15/2014 0.259 0.25376

11/19/2014 0.274 0.25875

12/17/2014 0.288 0.2661

03/18/2015 0.356 0.28937

06/17/2015 0.488 0.33172

09/16/2015 0.69 0.39454

12/16/2015 0.932 0.47413

03/16/2016 1.202 0.56817

06/15/2016 1.498 0.6756

09/21/2016 1.787 0.7989

12/21/2016 2.067 0.91702

03/15/2017 2.326 1.02794

06/21/2017 2.539 1.157

03/26/2018 1.46841 1.48504

03/26/2019 1.83513 1.86604

03/26/2020 2.14135 2.18915

03/26/2021 2.3849 2.44977

03/28/2022 2.58126 2.66263

03/27/2023 2.7414 2.83849

03/26/2024 2.87602 2.98823

2.參數(shù)的校正

模型參數(shù)的校正是利率模型在實(shí)踐應(yīng)用中重要的難點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)。以Hull-White利率模型為例，需要對參數(shù)和進(jìn)行校正，即選取合適的和，使得模型計(jì)算的利率上限期權(quán)價(jià)格與其市場價(jià)格間的差異最小化。

一個(gè)名義本金為1000美元、期限5年、執(zhí)行價(jià)格為1.5%的利率上限期權(quán)的市場隱含波幅率為50.70%（見圖1），結(jié)合市場零息利率（見表1）構(gòu)建的收益率曲線，通過Black模型可以計(jì)算出該利率上限期權(quán)的市場價(jià)格。接下來，需選取合適的和，結(jié)合市場零息利率構(gòu)建的收益率曲線，運(yùn)用Hull-White利率模型下對于利率上限期權(quán)的解析公式[見公式（2）]計(jì)算該利率上限期權(quán)的價(jià)格，使得模型計(jì)算的利率上限期權(quán)價(jià)格與其市場價(jià)格間的差異最小化。

由于利率上限期權(quán)由一系列利率期權(quán)元構(gòu)成，因此，筆者將估算參數(shù)和的準(zhǔn)則定為非線性最小二乘法，即選取合適的和，使得模型計(jì)算的利率期權(quán)元與市場利率期權(quán)元間差異的平方和最小化，具體如下所示：

（3）

其中，為運(yùn)用Hull-White利率模型計(jì)算的利率期權(quán)元價(jià)格，為利率期權(quán)元的市場價(jià)格。

接下來，運(yùn)用復(fù)雜的優(yōu)化算法9來求解公式（3）中的參數(shù)、。筆者選取、作為模型參數(shù)的預(yù)估值，由此可計(jì)算出公式（3）的值，并在此基礎(chǔ)上，通過不斷調(diào)整、的值來獲取公式（3）的最小值。在經(jīng)過計(jì)算模擬和逐次迭代后，當(dāng)、時(shí)，公式（3）獲得最小值，Hull-White利率模型的校正效果較為理想，模型計(jì)算的利率上限期權(quán)價(jià)格與市場價(jià)格間的差異最小化，如表2、圖2所示。

表2 利率上限期權(quán)元校正情況表（單位：美元）

到期日 利率期權(quán)元市場價(jià)格 利率期權(quán)元校正價(jià)格

2014年9月 0.0000 0.0016

2014年12月 0.0000 0.0221

2015年3月 0.0001 0.0723

2015年6月 0.0067 0.1737

2015年9月 0.0688 0.3422

2015年12月 0.255 0.5926

2016年3月 0.6113 0.9238

2016年6月 1.1355 1.3794

2016年9月 1.6832 1.8295

2016年12月 2.2187 2.2958

2017年3月 2.7425 2.7393

2017年6月 3.3206 3.2552

2017年9月 3.4275 3.3445

2017年12月 3.9774 3.8406

2018年3月 4.3522 4.1712

2018年6月 4.4727 4.2823

2018年9月 4.7649 4.5392

2018年12月 5.2694 5.0024

2019年3月 5.539 5.2434

圖2 利率上限期權(quán)元校正情況圖（單位：美元）

3.利率上限期權(quán)定價(jià)

在完成參數(shù)的校正后，接下來對一個(gè)2014年3月24日起息、名義本金為1000萬美元、期限5年、執(zhí)行價(jià)格為1.5%的利率上限期權(quán)的價(jià)格進(jìn)行計(jì)算。

首先選取市場波幅率報(bào)價(jià)50.70%，運(yùn)用Black 模型計(jì)算利率期權(quán)的市場價(jià)格。經(jīng)計(jì)算后，利率上限期權(quán)的市場價(jià)格為43.85萬美元（見表3）。

表3 利率上限期權(quán)定價(jià)情況

市場價(jià)格（Black模型） Hull-White模型解析公式 Hull-White模型三叉樹模擬

價(jià)格（美元） 438456.77 440509.19 440566.61

誤差（%） - 0.47 0.48

再運(yùn)用Hull-White利率模型來對利率上限期權(quán)進(jìn)行定價(jià)。在Hull-White利率模型下，解析公式計(jì)算的利率上限期權(quán)價(jià)格為44.05萬美元，運(yùn)用三叉樹模擬方式計(jì)算的利率上限期權(quán)價(jià)格為44.06萬美元，兩者間的計(jì)算結(jié)果非常接近。

將Hull-White利率模型計(jì)算的利率上限期權(quán)價(jià)格與其市場價(jià)格進(jìn)行對比，可以發(fā)現(xiàn)二者十分接近，誤差不超過0.48%，顯示利率模型的定價(jià)效果良好。

（四）對人民幣利率期權(quán)的借鑒意義

隨著人民幣利率市場化步伐的加快，預(yù)計(jì)利率期權(quán)將有望在近期推出，市場流動(dòng)性將不斷加強(qiáng)，人民幣利率期權(quán)的市場隱含波幅率也會(huì)自然產(chǎn)生。屆時(shí)，即可在選取人民幣市場數(shù)據(jù)并對參數(shù)進(jìn)行校正后，運(yùn)用Hull-White利率模型來對人民幣利率上限期權(quán)、利率下限期權(quán)、利率互換期權(quán)等進(jìn)行定價(jià)，并在此基礎(chǔ)上，結(jié)合三叉樹、蒙特卡洛模擬等方法來對人民幣美式利率期權(quán)、百慕大利率期權(quán)及奇異利率期權(quán)等進(jìn)行定價(jià)。

注：

1.利率上限期權(quán)是指交易雙方確定一個(gè)利率上限水平，期權(quán)賣方向買方承諾，在規(guī)定期限內(nèi)，如果市場參考利率高于協(xié)定的利率上限，則向買方支付市場利率高于協(xié)定利率上限的差額部分；如果市場利率低于或等于協(xié)定的利率上限，賣方無任何支付義務(wù)。

2.利率下限期權(quán)是指交易雙方確定一個(gè)利率下限水平，期權(quán)賣方向買方承諾，在規(guī)定期限內(nèi)，如果市場參考利率低于協(xié)定的利率下限，則向買方支付市場利率低于協(xié)定利率下限的差額部分；如果市場利率高于或等于協(xié)定的利率下限，賣方無任何支付義務(wù)。

3.利率互換期權(quán)是基于利率互換的期權(quán)，期權(quán)買方在支付期權(quán)費(fèi)后，獲得在未來某個(gè)確定時(shí)間與期權(quán)賣方以事先確定的價(jià)格進(jìn)行利率互換的權(quán)利。

4.美式利率期權(quán)是指在成交后，買方在期權(quán)有效期內(nèi)任何一天都可執(zhí)行的利率期權(quán)。

5.奇異類利率期權(quán)是指比常規(guī)期權(quán)（標(biāo)準(zhǔn)的歐式或美式利率期權(quán)）更為復(fù)雜的利率期權(quán)。

6.三叉樹是一種基于格狀的計(jì)算模型，被用于金融數(shù)學(xué)中期權(quán)的定價(jià)。

7.蒙特卡洛模擬方法是一種以概率和統(tǒng)計(jì)理論方法為基礎(chǔ)，通過使用隨機(jī)數(shù)來解決很多計(jì)算問題的計(jì)算方法。

8.百慕大利率期權(quán)是指在成交后，買方可以在到期日前所規(guī)定的一系列時(shí)間行權(quán)的利率期權(quán)。

9. 關(guān)于非線性最小二乘法優(yōu)化算法的具體內(nèi)容，讀者可在有關(guān)數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中查閱，筆者在此不再贅述

作者單位：交通銀行總行金融市場業(yè)務(wù)中心

責(zé)任編輯：牛玉銳 劉穎

2015年6月 0.0067 0.1737

2015年9月 0.0688 0.3422

2015年12月 0.255 0.5926

2016年3月 0.6113 0.9238

2016年6月 1.1355 1.3794

2016年9月 1.6832 1.8295

2016年12月 2.2187 2.2958

2017年3月 2.7425 2.7393

2017年6月 3.3206 3.2552

2017年9月 3.4275 3.3445

2017年12月 3.9774 3.8406

2018年3月 4.3522 4.1712

2018年6月 4.4727 4.2823

2018年9月 4.7649 4.5392

2018年12月 5.2694 5.0024

2019年3月 5.539 5.2434

圖2 利率上限期權(quán)元校正情況圖（單位：美元）

3.利率上限期權(quán)定價(jià)

在完成參數(shù)的校正后，接下來對一個(gè)2014年3月24日起息、名義本金為1000萬美元、期限5年、執(zhí)行價(jià)格為1.5%的利率上限期權(quán)的價(jià)格進(jìn)行計(jì)算。

首先選取市場波幅率報(bào)價(jià)50.70%，運(yùn)用Black 模型計(jì)算利率期權(quán)的市場價(jià)格。經(jīng)計(jì)算后，利率上限期權(quán)的市場價(jià)格為43.85萬美元（見表3）。

表3 利率上限期權(quán)定價(jià)情況

市場價(jià)格（Black模型） Hull-White模型解析公式 Hull-White模型三叉樹模擬

價(jià)格（美元） 438456.77 440509.19 440566.61

誤差（%） - 0.47 0.48

再運(yùn)用Hull-White利率模型來對利率上限期權(quán)進(jìn)行定價(jià)。在Hull-White利率模型下，解析公式計(jì)算的利率上限期權(quán)價(jià)格為44.05萬美元，運(yùn)用三叉樹模擬方式計(jì)算的利率上限期權(quán)價(jià)格為44.06萬美元，兩者間的計(jì)算結(jié)果非常接近。

將Hull-White利率模型計(jì)算的利率上限期權(quán)價(jià)格與其市場價(jià)格進(jìn)行對比，可以發(fā)現(xiàn)二者十分接近，誤差不超過0.48%，顯示利率模型的定價(jià)效果良好。

（四）對人民幣利率期權(quán)的借鑒意義

隨著人民幣利率市場化步伐的加快，預(yù)計(jì)利率期權(quán)將有望在近期推出，市場流動(dòng)性將不斷加強(qiáng)，人民幣利率期權(quán)的市場隱含波幅率也會(huì)自然產(chǎn)生。屆時(shí)，即可在選取人民幣市場數(shù)據(jù)并對參數(shù)進(jìn)行校正后，運(yùn)用Hull-White利率模型來對人民幣利率上限期權(quán)、利率下限期權(quán)、利率互換期權(quán)等進(jìn)行定價(jià)，并在此基礎(chǔ)上，結(jié)合三叉樹、蒙特卡洛模擬等方法來對人民幣美式利率期權(quán)、百慕大利率期權(quán)及奇異利率期權(quán)等進(jìn)行定價(jià)。

注：

1.利率上限期權(quán)是指交易雙方確定一個(gè)利率上限水平，期權(quán)賣方向買方承諾，在規(guī)定期限內(nèi)，如果市場參考利率高于協(xié)定的利率上限，則向買方支付市場利率高于協(xié)定利率上限的差額部分；如果市場利率低于或等于協(xié)定的利率上限，賣方無任何支付義務(wù)。

2.利率下限期權(quán)是指交易雙方確定一個(gè)利率下限水平，期權(quán)賣方向買方承諾，在規(guī)定期限內(nèi)，如果市場參考利率低于協(xié)定的利率下限，則向買方支付市場利率低于協(xié)定利率下限的差額部分；如果市場利率高于或等于協(xié)定的利率下限，賣方無任何支付義務(wù)。

3.利率互換期權(quán)是基于利率互換的期權(quán)，期權(quán)買方在支付期權(quán)費(fèi)后，獲得在未來某個(gè)確定時(shí)間與期權(quán)賣方以事先確定的價(jià)格進(jìn)行利率互換的權(quán)利。

4.美式利率期權(quán)是指在成交后，買方在期權(quán)有效期內(nèi)任何一天都可執(zhí)行的利率期權(quán)。

5.奇異類利率期權(quán)是指比常規(guī)期權(quán)（標(biāo)準(zhǔn)的歐式或美式利率期權(quán)）更為復(fù)雜的利率期權(quán)。

6.三叉樹是一種基于格狀的計(jì)算模型，被用于金融數(shù)學(xué)中期權(quán)的定價(jià)。

7.蒙特卡洛模擬方法是一種以概率和統(tǒng)計(jì)理論方法為基礎(chǔ)，通過使用隨機(jī)數(shù)來解決很多計(jì)算問題的計(jì)算方法。

8.百慕大利率期權(quán)是指在成交后，買方可以在到期日前所規(guī)定的一系列時(shí)間行權(quán)的利率期權(quán)。

9. 關(guān)于非線性最小二乘法優(yōu)化算法的具體內(nèi)容，讀者可在有關(guān)數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中查閱，筆者在此不再贅述

作者單位：交通銀行總行金融市場業(yè)務(wù)中心

責(zé)任編輯：牛玉銳 劉穎

2015年6月 0.0067 0.1737

2015年9月 0.0688 0.3422

2015年12月 0.255 0.5926

2016年3月 0.6113 0.9238

2016年6月 1.1355 1.3794

2016年9月 1.6832 1.8295

2016年12月 2.2187 2.2958

2017年3月 2.7425 2.7393

2017年6月 3.3206 3.2552

2017年9月 3.4275 3.3445

2017年12月 3.9774 3.8406

2018年3月 4.3522 4.1712

2018年6月 4.4727 4.2823

2018年9月 4.7649 4.5392

2018年12月 5.2694 5.0024

2019年3月 5.539 5.2434

圖2 利率上限期權(quán)元校正情況圖（單位：美元）

3.利率上限期權(quán)定價(jià)

在完成參數(shù)的校正后，接下來對一個(gè)2014年3月24日起息、名義本金為1000萬美元、期限5年、執(zhí)行價(jià)格為1.5%的利率上限期權(quán)的價(jià)格進(jìn)行計(jì)算。

首先選取市場波幅率報(bào)價(jià)50.70%，運(yùn)用Black 模型計(jì)算利率期權(quán)的市場價(jià)格。經(jīng)計(jì)算后，利率上限期權(quán)的市場價(jià)格為43.85萬美元（見表3）。

表3 利率上限期權(quán)定價(jià)情況

市場價(jià)格（Black模型） Hull-White模型解析公式 Hull-White模型三叉樹模擬

價(jià)格（美元） 438456.77 440509.19 440566.61

誤差（%） - 0.47 0.48

再運(yùn)用Hull-White利率模型來對利率上限期權(quán)進(jìn)行定價(jià)。在Hull-White利率模型下，解析公式計(jì)算的利率上限期權(quán)價(jià)格為44.05萬美元，運(yùn)用三叉樹模擬方式計(jì)算的利率上限期權(quán)價(jià)格為44.06萬美元，兩者間的計(jì)算結(jié)果非常接近。

將Hull-White利率模型計(jì)算的利率上限期權(quán)價(jià)格與其市場價(jià)格進(jìn)行對比，可以發(fā)現(xiàn)二者十分接近，誤差不超過0.48%，顯示利率模型的定價(jià)效果良好。

（四）對人民幣利率期權(quán)的借鑒意義

隨著人民幣利率市場化步伐的加快，預(yù)計(jì)利率期權(quán)將有望在近期推出，市場流動(dòng)性將不斷加強(qiáng)，人民幣利率期權(quán)的市場隱含波幅率也會(huì)自然產(chǎn)生。屆時(shí)，即可在選取人民幣市場數(shù)據(jù)并對參數(shù)進(jìn)行校正后，運(yùn)用Hull-White利率模型來對人民幣利率上限期權(quán)、利率下限期權(quán)、利率互換期權(quán)等進(jìn)行定價(jià)，并在此基礎(chǔ)上，結(jié)合三叉樹、蒙特卡洛模擬等方法來對人民幣美式利率期權(quán)、百慕大利率期權(quán)及奇異利率期權(quán)等進(jìn)行定價(jià)。

注：

1.利率上限期權(quán)是指交易雙方確定一個(gè)利率上限水平，期權(quán)賣方向買方承諾，在規(guī)定期限內(nèi)，如果市場參考利率高于協(xié)定的利率上限，則向買方支付市場利率高于協(xié)定利率上限的差額部分；如果市場利率低于或等于協(xié)定的利率上限，賣方無任何支付義務(wù)。

2.利率下限期權(quán)是指交易雙方確定一個(gè)利率下限水平，期權(quán)賣方向買方承諾，在規(guī)定期限內(nèi)，如果市場參考利率低于協(xié)定的利率下限，則向買方支付市場利率低于協(xié)定利率下限的差額部分；如果市場利率高于或等于協(xié)定的利率下限，賣方無任何支付義務(wù)。

3.利率互換期權(quán)是基于利率互換的期權(quán)，期權(quán)買方在支付期權(quán)費(fèi)后，獲得在未來某個(gè)確定時(shí)間與期權(quán)賣方以事先確定的價(jià)格進(jìn)行利率互換的權(quán)利。

4.美式利率期權(quán)是指在成交后，買方在期權(quán)有效期內(nèi)任何一天都可執(zhí)行的利率期權(quán)。

5.奇異類利率期權(quán)是指比常規(guī)期權(quán)（標(biāo)準(zhǔn)的歐式或美式利率期權(quán)）更為復(fù)雜的利率期權(quán)。

6.三叉樹是一種基于格狀的計(jì)算模型，被用于金融數(shù)學(xué)中期權(quán)的定價(jià)。

7.蒙特卡洛模擬方法是一種以概率和統(tǒng)計(jì)理論方法為基礎(chǔ)，通過使用隨機(jī)數(shù)來解決很多計(jì)算問題的計(jì)算方法。

8.百慕大利率期權(quán)是指在成交后，買方可以在到期日前所規(guī)定的一系列時(shí)間行權(quán)的利率期權(quán)。

9. 關(guān)于非線性最小二乘法優(yōu)化算法的具體內(nèi)容，讀者可在有關(guān)數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中查閱，筆者在此不再贅述

作者單位：交通銀行總行金融市場業(yè)務(wù)中心

責(zé)任編輯：牛玉銳 劉穎