不同賦權TOPSIS制導系統設計決策比較

杜婷　侯明善

摘 要： 制導系統屬于復雜非線性動力學系統，其設計參數決策需要結合系統仿真結果完成。對比研究了TOPSIS決策機制下采用經驗賦權、層次分析法賦權和熵值賦權的制導系統設計參數決策問題。通過三種賦權方法決策的相對貼近度和極差結果分析，證實熵值賦權方法能正確反映系統動力學特性的復雜性，決策的可靠性好，而層次分析法賦權和經驗賦權決策由于包含的主觀因素很難正確反映設計參數對系統性能的本質性影響，不易得到最優決策結果。

關鍵詞： 制導系統； 決策； TOPSIS； 層次分析法； 熵權

中圖分類號： TN911.7?34； V448.1 文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2014）09?0015?05

0 引 言

制導系統設計不但受優化指標和設計因素的影響，也與決策方法有關。合理地確定設計因素、優化指標在系統總體決策準則中的權重是系統決策的重要一環。對不同性質的系統，合適的權重選擇與決策方法、系統特性是緊密相關的。

經驗賦權法通過提取多個專家的經驗賦權求平均得到指標權值[1]，這種方法的主觀隨意性較強，確定的權重值比較粗糙，優點是方法簡單，易于實現。Thomas L Saaty教授提出的AHP層次分析法適合多準則（Multi?Criteria）復雜決策問題[2]，這種方法通過對決策指標的兩兩對比并結合標度理論建立判斷矩陣，選擇滿意一致性的判斷矩陣的最大特征根對應的特征向量確定指標的權重。研究表明，AHP方法比較規范、系統，容易定量化，應用面廣[3?4]。熵值法賦權根據系統客觀數據確定權值，建立了數據熵與概率之間的聯系，成為決策評價系統中最重要的方法之一并得到廣泛應用[5]，如文獻[6]將基于熵權的TOPSIS法應用于施工導流方案的選擇，將導流投資、經濟損失和施工強度3個因素作為評價指標，運用熵權法確定各指標的權重；文獻[7]提出基于熵權的水質模糊評價方法。

制導系統是一種復雜非線性系統，系統設計參數決策問題一直是系統設計的核心之一。通常，制導系統設計要同時兼顧制導精度、系統穩定性及成本等多項準則要求[8]。由于系統精度特性需要進行仿真計算得到，因此制導系統設計參數決策是一種結合仿真的決策過程。在參數決策中，確定指標的權重是決策的關鍵問題。文獻[9]采用基于專家經驗賦權的TOPSIS決策，雖然可完成方案擇優，但這種賦權具有較強的主觀性，選擇方案的最優性不足；另外，因為決策涉及的精度指標無法提前知道，即使基于仿真數據分析人為確定權值仍然不容易。考慮到這些問題，本文對制導系統設計參數決策問題采用多種賦權決策對比研究，通過經驗賦權、AHP賦權和熵權法決策特性對比，得到制導系統設計參數決策問題中合理的賦權方法。

1 制導系統決策模型

1.1 制導系統模型

考慮平面攔截幾何關系如圖1所示，圖中[R]表示彈目距離；[q]表示彈目視線角；[VM]和[VT]分別表示導彈和目標的速度；[θM，][aM]和[θT，][aT]分別表示導彈彈道角及法向加速度、目標航跡角及法向加速度。根據圖1易得彈目運動學滿足：

[Rq=VMsin（q-θM）-VTsin（q-θT）] （1）

[R=-VMcos（q-θM）+VTcos（q-θT）] （2）

[VMθM=aM] （3）

[VTθT=aT] （4）

圖1 平面攔截幾何關系

設制導系統采用比例導引，導航比為[N，]則導彈的法向加速度計算指令[aC]的表達式為：

[aC=NRqM] （5）

同時設導彈法向過載指令限幅值為[nzm，]則限幅后加速度指令[aMC]為：

[aMC=-nzmg，aC<-nzmgaC，aC≤nzmgnzmg，aC>nzmg] （6）

設導引頭輸入輸出傳遞函數為：

[qM（s）=e-τsTss+1q（s）] （7）

其中：[τ]是純延遲環節的延遲時間；[Ts]表示導引頭動力學時間常數；[qM]是導引頭測量的視線角速率。

設導彈彈體法向加速度[aM]與輸入指令加速度[aMC、]目標法向加速度[aT]與輸入加速度指令[aTC]之間的傳遞函數滿足模型：

[aM（s）aMC（s）=1T2Ms2+2ξMTMs+1] （8）

[aT（s）aTC（s）=1T2Ts2+2ξTTTs+1] （9）

式中[TM，][ξM]和[TT，][ξT]分別表示彈體動力學和目標動力學模型的時間常數和阻尼比。

1.2 制導系統決策準則

根據制導系統模型知道，影響系統性能的參數包括比例導引的導航比、彈體法向過載限幅值、導引頭輸入輸出時延和時間常數、彈體動力學時間常數和阻尼比、目標的動力學特性和初始發射條件等。

制導系統精度一般用脫靶量衡量，包括脫靶量樣本均值[md]和方差[s2d]指標。在目標動力學特性給定情況下，制導系統決策準則包括成本、穩定性和精度三個方面的內容。

（1） 成本準則：彈體法向過載指令限幅值[nzm]表示控制能量消耗大小，愈小愈好；導引頭延遲時間[τ]與硬件實現難度相關，愈大愈好，其倒數[1τ]則愈小愈好好。通常，參數[τ]在15～20 ms，[nzm]取40～50 g。

（2） 穩定性準則：在保證命中精度的前提下，導航比[N]不應過大，愈小愈好。一般[N]取4～8足夠。

（3） 精度準則：不同發射條件下脫靶量應盡可能小，即脫靶量樣本均值[md]和方差[s2d]均應小。

通常彈體動力學特性參數也與成本相關，但目前自動駕駛儀設計技術成熟，技術實現難度低，因此彈體動力學等效參數不在決策中考慮，放在備選方案選項中考慮。彈體時間常數[TM]取0.1～0.2 s，阻尼比[ξM]取0.6～0.8。

基于以上準則，當有[m]個備選方案時可建立決策矩陣如下：

[MD=mds2dN1τnzmAlt1?Alti?Altmr11r12r13r14r15?????ri1ri2ri3ri4ri5?????rm1rm2rm3rm4rm5] （10）

這里[Alti]是第[i]個備選方案；[rij]（[i=1，2，…，m；][j=1，2，3，4，5]）是方案對應的[md，][s2d，][N，][1τ，][nzm]決策指標值。

2 TOPSIS決策與決策賦權方法

2.1 TOPSIS決策

TOPSIS方法對有限解集決策問題，選擇最優解時按照每個備選解與理想最優解和理想最劣解的歐氏距離作為評價依據[10]。

對任意決策問題，基于決策矩陣[MD，]TOPSIS方法計算方法如下：

步驟1：決策矩陣歸一化。將[MD]中的每個元素除以該元素所在列向量的2范數，得到[MD]的歸一化矩陣[MD。][MD]的任一元素[xij]滿足：

[xij=rijk=1mr2kj， i=1，2，…，m； j=1，2，3，4，5] （11）

步驟2：確定每個決策指標的權值[ωj>0，]得到決策權值集合為：

[ω=ω1，ω2，ω3，ω4，ω5] （12）

步驟3：計算加權歸一化決策矩陣[V。]對[MD]的每個列向量乘其對應權值，得到加權歸一化決策矩陣[V：]

[V=v11v12v13v14v15?????vi1vi2vi3vi4vi5?????vm1vm2vm3vm4vm5=ω1x11ω2x12ω3x13ω4x14ω5x15?????ω1xi1ω2xi2ω3xi3ω4xi4ω5xi5?????ω1xm1ω2xm2ω3xm3ω4xm4ω5xm5] （13）

步驟4：確定理想最優解[A*]和理想最劣解[A-。]由于對加權歸一化決策矩陣[V]有[0

[A*=0，A-=ω] （14）

步驟5：計算備選方案與理想最優解和理想最劣解之間的歐氏距離。備選方案與理想最優解的歐氏距離為：

[Si?=ri-A?2] （15）

備選方案與理想最劣解的距離為：

[Si-=ri-A-2] （16）

步驟6：計算備選方案與理想最優解的相對貼近度。相對貼近度定義為：

[Ci=Si-Si?+Si-， 0

當[Ci=1]時，[ri=A*；]當[Ci=0]時，[ri=A-。]備選方案與[A*]越接近，[Ci]越接近1。

步驟7：對每個備選方案所對應的[Ci]值降序排列，得到方案的排列順序。

2.2 三種決策賦權方法

2.2.1 專家經驗賦權

專家經驗賦權方法是專家根據實際經驗對決策指標[md，][s2d，][N，][1τ]和[nzm]確定主觀偏好并給出相應權值的方法。假設有5位專家，第[j]個專家給5個指標的權值為[μj1，][μj2，][μj3，][μj4，][μj5，]將5位專家給定權值的平均值作為專家經驗權值[μ：]

[μ=μj=1，…，5，μj=μj1+μj2+μj3+μj4+μj55] （18）

2.2.2 AHP方法賦權

層次分析法（AHP方法）根據九級標度理論確定決策指標的權值。

AHP賦權方法如下：

步驟1：將5個決策指標[md，][s2d，][N，][1τ]和[nzm]分為相對高優化指標和相對低優化指標兩組，根據標度理論通過對比形成判決矩陣[A。]對制導系統，取[md，][s2d]和[N]為相對高優化指標，[1τ]和[nzm]為相對低優化指標，根據九級標度理論兩兩對比形成判斷矩陣[A]為：

[A=（aij）n×n，n=5] （19）

步驟2：計算[A]的最大特征值[λmax]及對應的特征向量[。]

步驟3：判斷矩陣[A]的一致性檢驗。計算偏差一致性[CI=（λmax-n）/（n-1），]通過查表得到隨機一致性[，]計算相對一致性[CR=CIRI。]如果滿足[CR<0.1，]則判斷矩陣[A]具有滿意一致性；否則根據標度理論對判斷矩陣[A]進行重新調整直到具有滿意一致性為止。

步驟4：對特征向量[w]的元素[wj]進行歸一化處理得到AHP 賦權[αj：]

[α=αj，αj=wjj=1nwj] （20）

2.2.3 熵值法賦權

熵權法是用評價指標的客觀數據來確定指標權重的一種方法。指標值的差異越大，信息熵就越小，指標提供的信息量就越大，相應的指標權重值就越大。

熵值法決策指標權重計算方法如下：

步驟1：數據標準化。對決策矩陣[MD]進行處理得到標準化決策矩陣[H，]方法為：

[rj*=maxi rij] （21）

[H=[hij]，hij=rijrj*] （22）

步驟2：計算指標熵[E=ej=1，…，n，]方法為：

[ej=-1lnmi=1nhijhjlnhijhj] （23）

式中[hj=i=1mhij。]

步驟3：計算信息偏差度[d=dj=1，…，n，]方法為：[dj=1-ej] （24）

步驟4：計算指標的熵權[β=βj=1，…，n，]方法為：

[βj=djj=1ndj] （25）

3 不同賦權決策仿真與分析

根據制導系統參數設定的取值范圍，選出10種典型備選方案，各參數取值見表1。

表1 備選方案與參數取值

[方案編號＼&[TM]/s＼&[ξM]＼&[τ]/s＼&[N]＼&[nzm]/g＼&1＼&0.1＼&0.6＼&0.015＼&4＼&40＼&2＼&0.2＼&0.6＼&0.015＼&6＼&40＼&3＼&0.1＼&0.6＼&0.020＼&4＼&40＼&4＼&0.1＼&0.8＼&0.015＼&6＼&40＼&5＼&0.1＼&0.7＼&0.020＼&6＼&40＼&6＼&0.1＼&0.8＼&0.015＼&8＼&40＼&7＼&0.1＼&0.7＼&0.020＼&8＼&40＼&8＼&0.1＼&0.7＼&0.015＼&4＼&50＼&9＼&0.1＼&0.6＼&0.020＼&4＼&50＼&10＼&0.1＼&0.6＼&0.020＼&8＼&50＼&]

制導系統仿真條件的設定見參考文獻[9]，并引用文獻[9]計算的脫靶量樣本均值[md]和方差[s2d，]得到決策矩陣如下：

[MD=1.075 90.978 040.066 7402.369 72.096 160.066 7400.636 60.145 940.050 0401.958 21.516 860.066 7402.354 83.554 260.050 0401.836 21.599 680.066 7402.460 32.447 880.050 0400.577 60.118 140.066 7500.430 60.002 440.050 0503.608 54.911 380.050 050]

3.1 專家權值確定

根據文獻[9]，5位專家給出的指標權值如表2所示，最后計算的專家賦權權值[μ]為：

[μ=0.34，0.12，0.18，0.18，0.18]

表2 專家經驗賦權

[＼&[md]＼&[s2d]＼&[N]＼&[1τ]＼&[nzm]＼&[μj1]＼&0.6＼&0.1＼&0.1＼&0.1＼&0.1＼&[μj2]＼&0.4＼&0.1＼&0.2＼&0.1＼&0.2＼&[μj3]＼&0.3＼&0.1＼&0.3＼&0.2＼&0.1＼&[μj4]＼&0.2＼&0.2＼&0.2＼&0.2＼&0.2＼&[μj5]＼&0.2＼&0.1＼&0.1＼&0.3＼&0.3＼&[μj]＼&0.34＼&0.12＼&0.18＼&0.18＼&0.18＼&]

3.2 AHP權值確定

根據AHP標度理論，[md，][s2d]和[N]為相對高優化指標，[1τ]和[nzm]為相對低優化指標，利用九級標度法形成的判斷矩陣為：

[A=1122442135512131221415121114151211]

計算得[λmax=5.023 8，]查表得[RI（5）=1.12，]則[CI=][0.005 95，][CR=0.005 3<0.1，]即判斷矩陣[A]具有滿意一致性。求得[λmax]對應的特征向量為：

[wT=[0.507 2，0.795 7，0.266 8，0.138 7，0.138 7]T]

對[w]進行歸一化處理得到AHP的權重[α]為：

[α=0.274 6，0.430 8，0.144 4，0.075 1，0.075 1]

3.3 熵值法權值確定

根據熵值法對[MD]進行數據標準化處理得：

[H=0.298 20.199 10.500 010.800 00.656 70.426 80.750 010.800 00.176 40.029 70.500 00.749 60.800 00.542 70.308 80.750 010.800 00.652 60.723 70.750 00.749 60.800 00.508 90.325 7110.800 00.681 80.498 410.749 60.800 00.160 10.024 00.500 0110.119 30.000 50.500 00.749 611110.749 61]

計算得到指標熵[E]的信息偏差度[d]為：

[d=0.074 1，0.182 2，0.017 8，0.004 5，0.002 4]

對[d]進行歸一化處理，可得熵權[β]為：

[β=0.263 8，0.648 3，0.063 5，0.015 9，0.008 5]

3.4 TOPSIS決策結果及分析

圖2是基于TOPSIS方法計算出的10種方案在[α，][β]和[μ]三種權值的相對貼近度曲線，表3是三種權值下相對貼近度極差計算結果，分別用[Ci（α），][Ci（β）]和[Ci（μ）]表示。相對貼近度的極差越大，說明決策結果的區分度越好，更容易得出決策結果[11]。

由圖2可看出，專家賦權時決策出的最優方案是方案3，而AHP權值及熵權情況下都是方案9最優。對比方案3和9的參數看到，方案9的參數[md，][s2d，][N，][1τ]均最小，但[nzm]較方案3大。對制導系統而言，制導精度的權重遠大于成本的權重，也就是說制導系統對精度的要求比成本的要求高。專家經驗賦權很難反映系統的動力學本質，決策出來的方案排序會造成一定的偏差。

結合對三種權重下的相對貼近度極差分析，可以看到：

熵權的極差>AHP權的極差>專家賦權的極差。

由于極差越大的決策方法更能拉開決策方案的檔次，使決策過程有更好的區分度，因此熵權法無疑更好。

圖2 三種賦權的方案相對貼近度曲線

表3 不同賦權相對貼近度的極差

[＼&[Ci（α）]＼&[Ci（β）]＼&[Ci（μ）]＼&最優方案＼&0.913 2＼&0.967 9＼&0.895 2＼&最劣方案＼&0.387 4＼&0.343 1＼&0.744 4＼&極差＼&0.525 8＼&0.624 8＼&0.150 8＼&]

4 結 論

本文研究了不同賦權的TOPSIS方法在制導系統設計參數決策中的應用。通過專家經驗賦權、AHP賦權和熵值法賦權的TOPSIS決策結果分析和比較，證實基于熵權的TOPSIS決策能更好地決策出最優參數方案，是一種更客觀更可靠的方法。

本文研究表明，制導系統由于屬于嚴重的非線性系統，其各種性能準則與設計參數之間的關系非常復雜，包含主觀賦權內容的方法很難真實反映設計參數對性能準則的本質性影響，采用客觀賦權方法進行系統設計方案決策無疑是復雜系統決策的首選方法。

參考文獻

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[＼&[Ci（α）]＼&[Ci（β）]＼&[Ci（μ）]＼&最優方案＼&0.913 2＼&0.967 9＼&0.895 2＼&最劣方案＼&0.387 4＼&0.343 1＼&0.744 4＼&極差＼&0.525 8＼&0.624 8＼&0.150 8＼&]

4 結 論

本文研究了不同賦權的TOPSIS方法在制導系統設計參數決策中的應用。通過專家經驗賦權、AHP賦權和熵值法賦權的TOPSIS決策結果分析和比較，證實基于熵權的TOPSIS決策能更好地決策出最優參數方案，是一種更客觀更可靠的方法。

本文研究表明，制導系統由于屬于嚴重的非線性系統，其各種性能準則與設計參數之間的關系非常復雜，包含主觀賦權內容的方法很難真實反映設計參數對性能準則的本質性影響，采用客觀賦權方法進行系統設計方案決策無疑是復雜系統決策的首選方法。

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[＼&[Ci（α）]＼&[Ci（β）]＼&[Ci（μ）]＼&最優方案＼&0.913 2＼&0.967 9＼&0.895 2＼&最劣方案＼&0.387 4＼&0.343 1＼&0.744 4＼&極差＼&0.525 8＼&0.624 8＼&0.150 8＼&]

4 結 論

本文研究了不同賦權的TOPSIS方法在制導系統設計參數決策中的應用。通過專家經驗賦權、AHP賦權和熵值法賦權的TOPSIS決策結果分析和比較，證實基于熵權的TOPSIS決策能更好地決策出最優參數方案，是一種更客觀更可靠的方法。

本文研究表明，制導系統由于屬于嚴重的非線性系統，其各種性能準則與設計參數之間的關系非常復雜，包含主觀賦權內容的方法很難真實反映設計參數對性能準則的本質性影響，采用客觀賦權方法進行系統設計方案決策無疑是復雜系統決策的首選方法。

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