用數軸，“巧”解題

毛曉兵

摘 要：初中階段，我們學習了數學中重要的一個概念：數軸。數軸是規定了原點、正方向和單位長度的直線，它對學生理解有理數的概念、比較有理數大小及有理數運算起到重要作用。同時數軸又是非常重要的數學工具，通過數軸，它將數與形結合在一起，很好地揭示了數與形之間的內在聯系。對于某些數學問題，利用數軸去求解，不僅能夠化難為易、化繁為簡，而且解法直觀、明快。

關鍵詞：數軸；作用；求解

初中階段，我們學習了數學中重要的一個概念：數軸。數軸是規定了原點、正方向和單位長度的直線，它對學生理解有理數的概念、比較有理數大小及有理數運算起到重要作用。同時數軸又是非常重要的數學工具，通過數軸，它將數與形結合在一起，揭示了數與形之間的內在聯系。

一、數軸有四個方面的作用

1.數軸能反映出數形之間的對應關系

所有的有理數都可以用數軸上唯一的一個點表示出來，而數軸上表示有理數的點亦可讀出其所表示的一個有理數。就是說，有理數與數軸上表示有理數的點之間存在著一一對應關系。

2.數軸能反映出數的性質

數軸是一條規定了原點、正方向和單位長度的直線，有理數的性質可通過數軸表示出來。原點表示的有理數——零，是個“中性”數；有理數的性質符號決定了這個有理數的點與原點的相對位置：當規定向右的方向為數軸的正方向時，表示正有理數的點都在原點的右側，表示負有理數的點都在原點的左側。

3.數軸能解釋數的某些概念

（1）相反數：將一對相反數表示在數軸上，表示這對相反數的點是一對關于原點對稱的點。也就是說，表示一對相反數的兩個點分別位于原點兩側，并且到原點的距離相等。

（2）絕對值：用數軸可以形象地解釋絕對值的概念，一個數的絕對值，就等于表示這個數的點離開原點的距離。

（3）近似數：近似數是與實際接近的數，用數軸可表示出某一近似數的精確度。如，近似數3的精確度可在數軸上表示，即3是一個大于或等于2.5且又小于3.5的近似數。

4.數軸可使有理數比較大小形象化

兩個有理數比較大小，可以借助數軸這個工具進行。在數軸上表示的兩個有理數，右邊的數總比左邊的數大。

二、對于某些數學題，若利用數軸求解，不僅能夠化難為易、化繁為簡，而且解法直觀、明快

1.用數軸比較實數大小，解決求樣本的中位數的問題

問題1：由小到大排列的一組數據x1，x2，x3，x4，x5，其中x5<-1，則1，x1，-x2，x3，-x4，x5，的中位數是____________。

分析：要求所給的六個數據的中位數，只要將這六個數據從小到大依次排列，求出排在第三和第四的兩個數據的平均數，即可得到這組數據的中位數。本題的難點就是把六個數按從小到大的順序排列。為了突破難點，我們可以借助數軸。

解：在數軸上任取x1，x2，x3，x4，x5表示的點，使x1

■

觀察數軸知x1

2.用數軸求字母的取值范圍求值

問題2：若不等式組的解集不在2

■

解：由不等式組x-a>1a-x>-3

所以a+1

由圖2，可知a+3≤2或a+1≥9，即a≤-1或a≥8

3.用數軸解含有絕對值的方程

■

問題3：解方程：x+3+x-1=6

分析：由絕對值的幾何意義可知，此方程表示在數軸上求一動點x，使x到定點A（-3）的距離與到定點B（1）的距離之和等于6，如圖3。由數軸上的點的性質可知，這樣的點x有兩個，即表示-4與2的點，所以方程的解為x=-4或x=2。

4.用數軸取零點，求最值

問題4：若m

分析：在數軸上標出m，n，p的大致位置，如圖4，于是問題轉化為在x軸上求一點，使它到m，n，p所對應的三點距離的和最小。易知當x=n時，它到m，n，p所對應的三點的距離之和最小，故當x=n時，x-m+x-n+x-p的值最小，最小值等于p-m。

5.運用數軸變換兩圓的位置關系

如圖5，數軸反映兩圓的位置關系和數量關系，設⊙O1、⊙O2的半徑分別為R1，R2，圓心距為d，則兩圓的位置關系可以在數軸上表示出來，如圖5所示。

■

圖5

問題5：已知⊙O1、⊙O2的半徑分別為3cm和5cm，兩圓的圓心距是6cm，則兩圓的位置關系是（ ）

A.內含 B.外離

C.內切 D.相交

分析：由題設，知：R1-R2=2，R1+R2=8，由圖6知R1-R2

6.借助數軸，進行代數式的化簡

■

問題6：已知有理數a、b在數軸表示的位置如圖7所示，試化簡：■-a-b

觀察數軸上字母的位置不難發現，a+b>0，a-b>0根據絕對值的意義，很容易去掉絕對值符號，問題迎刃而解。

7.用數軸找臨界點，求點的象限范圍

問題7：點（x，x-1）不可能在第幾象限。

■

圖8

8.無理數的理解

問題8：關于π的理解：

用直徑為1的圓，從數軸原點沿數軸滾動一周，所得到的點的位置就是π。

問題9：■的認識：

好奇的古希臘人在數軸上以線段[0，1]為底邊作正方形，以O為圓心，過O點的對角線為半徑畫弧，交數軸正方向于D。D點表示的數是■。

以上是我在初中教學中，對數軸的一些用法，感覺數軸它雖小，但作用很大，用途很廣，借用數軸可輕松解決多方面的數學問題，是研究初中數學的有效工具之一，也是培養學生提高分析解題能力的好工具。

參考文獻：

劉錦海.與數軸有關的問題.中學課程輔導：初一版，2004（08）.

（作者單位 甘肅省酒泉市育才學校）

？誗編輯 張珍珍

摘 要：初中階段，我們學習了數學中重要的一個概念：數軸。數軸是規定了原點、正方向和單位長度的直線，它對學生理解有理數的概念、比較有理數大小及有理數運算起到重要作用。同時數軸又是非常重要的數學工具，通過數軸，它將數與形結合在一起，很好地揭示了數與形之間的內在聯系。對于某些數學問題，利用數軸去求解，不僅能夠化難為易、化繁為簡，而且解法直觀、明快。

關鍵詞：數軸；作用；求解

初中階段，我們學習了數學中重要的一個概念：數軸。數軸是規定了原點、正方向和單位長度的直線，它對學生理解有理數的概念、比較有理數大小及有理數運算起到重要作用。同時數軸又是非常重要的數學工具，通過數軸，它將數與形結合在一起，揭示了數與形之間的內在聯系。

一、數軸有四個方面的作用

1.數軸能反映出數形之間的對應關系

所有的有理數都可以用數軸上唯一的一個點表示出來，而數軸上表示有理數的點亦可讀出其所表示的一個有理數。就是說，有理數與數軸上表示有理數的點之間存在著一一對應關系。

2.數軸能反映出數的性質

數軸是一條規定了原點、正方向和單位長度的直線，有理數的性質可通過數軸表示出來。原點表示的有理數——零，是個“中性”數；有理數的性質符號決定了這個有理數的點與原點的相對位置：當規定向右的方向為數軸的正方向時，表示正有理數的點都在原點的右側，表示負有理數的點都在原點的左側。

3.數軸能解釋數的某些概念

（1）相反數：將一對相反數表示在數軸上，表示這對相反數的點是一對關于原點對稱的點。也就是說，表示一對相反數的兩個點分別位于原點兩側，并且到原點的距離相等。

（2）絕對值：用數軸可以形象地解釋絕對值的概念，一個數的絕對值，就等于表示這個數的點離開原點的距離。

（3）近似數：近似數是與實際接近的數，用數軸可表示出某一近似數的精確度。如，近似數3的精確度可在數軸上表示，即3是一個大于或等于2.5且又小于3.5的近似數。

4.數軸可使有理數比較大小形象化

兩個有理數比較大小，可以借助數軸這個工具進行。在數軸上表示的兩個有理數，右邊的數總比左邊的數大。

二、對于某些數學題，若利用數軸求解，不僅能夠化難為易、化繁為簡，而且解法直觀、明快

1.用數軸比較實數大小，解決求樣本的中位數的問題

問題1：由小到大排列的一組數據x1，x2，x3，x4，x5，其中x5<-1，則1，x1，-x2，x3，-x4，x5，的中位數是____________。

分析：要求所給的六個數據的中位數，只要將這六個數據從小到大依次排列，求出排在第三和第四的兩個數據的平均數，即可得到這組數據的中位數。本題的難點就是把六個數按從小到大的順序排列。為了突破難點，我們可以借助數軸。

解：在數軸上任取x1，x2，x3，x4，x5表示的點，使x1

■

觀察數軸知x1

2.用數軸求字母的取值范圍求值

問題2：若不等式組的解集不在2

■

解：由不等式組x-a>1a-x>-3

所以a+1

由圖2，可知a+3≤2或a+1≥9，即a≤-1或a≥8

3.用數軸解含有絕對值的方程

■

問題3：解方程：x+3+x-1=6

分析：由絕對值的幾何意義可知，此方程表示在數軸上求一動點x，使x到定點A（-3）的距離與到定點B（1）的距離之和等于6，如圖3。由數軸上的點的性質可知，這樣的點x有兩個，即表示-4與2的點，所以方程的解為x=-4或x=2。

4.用數軸取零點，求最值

問題4：若m

分析：在數軸上標出m，n，p的大致位置，如圖4，于是問題轉化為在x軸上求一點，使它到m，n，p所對應的三點距離的和最小。易知當x=n時，它到m，n，p所對應的三點的距離之和最小，故當x=n時，x-m+x-n+x-p的值最小，最小值等于p-m。

5.運用數軸變換兩圓的位置關系

如圖5，數軸反映兩圓的位置關系和數量關系，設⊙O1、⊙O2的半徑分別為R1，R2，圓心距為d，則兩圓的位置關系可以在數軸上表示出來，如圖5所示。

■

圖5

問題5：已知⊙O1、⊙O2的半徑分別為3cm和5cm，兩圓的圓心距是6cm，則兩圓的位置關系是（ ）

A.內含 B.外離

C.內切 D.相交

分析：由題設，知：R1-R2=2，R1+R2=8，由圖6知R1-R2

6.借助數軸，進行代數式的化簡

■

問題6：已知有理數a、b在數軸表示的位置如圖7所示，試化簡：■-a-b

觀察數軸上字母的位置不難發現，a+b>0，a-b>0根據絕對值的意義，很容易去掉絕對值符號，問題迎刃而解。

7.用數軸找臨界點，求點的象限范圍

問題7：點（x，x-1）不可能在第幾象限。

■

圖8

8.無理數的理解

問題8：關于π的理解：

用直徑為1的圓，從數軸原點沿數軸滾動一周，所得到的點的位置就是π。

問題9：■的認識：

好奇的古希臘人在數軸上以線段[0，1]為底邊作正方形，以O為圓心，過O點的對角線為半徑畫弧，交數軸正方向于D。D點表示的數是■。

以上是我在初中教學中，對數軸的一些用法，感覺數軸它雖小，但作用很大，用途很廣，借用數軸可輕松解決多方面的數學問題，是研究初中數學的有效工具之一，也是培養學生提高分析解題能力的好工具。

參考文獻：

劉錦海.與數軸有關的問題.中學課程輔導：初一版，2004（08）.

（作者單位 甘肅省酒泉市育才學校）

？誗編輯 張珍珍

摘 要：初中階段，我們學習了數學中重要的一個概念：數軸。數軸是規定了原點、正方向和單位長度的直線，它對學生理解有理數的概念、比較有理數大小及有理數運算起到重要作用。同時數軸又是非常重要的數學工具，通過數軸，它將數與形結合在一起，很好地揭示了數與形之間的內在聯系。對于某些數學問題，利用數軸去求解，不僅能夠化難為易、化繁為簡，而且解法直觀、明快。

關鍵詞：數軸；作用；求解

初中階段，我們學習了數學中重要的一個概念：數軸。數軸是規定了原點、正方向和單位長度的直線，它對學生理解有理數的概念、比較有理數大小及有理數運算起到重要作用。同時數軸又是非常重要的數學工具，通過數軸，它將數與形結合在一起，揭示了數與形之間的內在聯系。

一、數軸有四個方面的作用

1.數軸能反映出數形之間的對應關系

所有的有理數都可以用數軸上唯一的一個點表示出來，而數軸上表示有理數的點亦可讀出其所表示的一個有理數。就是說，有理數與數軸上表示有理數的點之間存在著一一對應關系。

2.數軸能反映出數的性質

數軸是一條規定了原點、正方向和單位長度的直線，有理數的性質可通過數軸表示出來。原點表示的有理數——零，是個“中性”數；有理數的性質符號決定了這個有理數的點與原點的相對位置：當規定向右的方向為數軸的正方向時，表示正有理數的點都在原點的右側，表示負有理數的點都在原點的左側。

3.數軸能解釋數的某些概念

（1）相反數：將一對相反數表示在數軸上，表示這對相反數的點是一對關于原點對稱的點。也就是說，表示一對相反數的兩個點分別位于原點兩側，并且到原點的距離相等。

（2）絕對值：用數軸可以形象地解釋絕對值的概念，一個數的絕對值，就等于表示這個數的點離開原點的距離。

（3）近似數：近似數是與實際接近的數，用數軸可表示出某一近似數的精確度。如，近似數3的精確度可在數軸上表示，即3是一個大于或等于2.5且又小于3.5的近似數。

4.數軸可使有理數比較大小形象化

兩個有理數比較大小，可以借助數軸這個工具進行。在數軸上表示的兩個有理數，右邊的數總比左邊的數大。

二、對于某些數學題，若利用數軸求解，不僅能夠化難為易、化繁為簡，而且解法直觀、明快

1.用數軸比較實數大小，解決求樣本的中位數的問題

問題1：由小到大排列的一組數據x1，x2，x3，x4，x5，其中x5<-1，則1，x1，-x2，x3，-x4，x5，的中位數是____________。

分析：要求所給的六個數據的中位數，只要將這六個數據從小到大依次排列，求出排在第三和第四的兩個數據的平均數，即可得到這組數據的中位數。本題的難點就是把六個數按從小到大的順序排列。為了突破難點，我們可以借助數軸。

解：在數軸上任取x1，x2，x3，x4，x5表示的點，使x1

■

觀察數軸知x1

2.用數軸求字母的取值范圍求值

問題2：若不等式組的解集不在2

■

解：由不等式組x-a>1a-x>-3

所以a+1

由圖2，可知a+3≤2或a+1≥9，即a≤-1或a≥8

3.用數軸解含有絕對值的方程

■

問題3：解方程：x+3+x-1=6

分析：由絕對值的幾何意義可知，此方程表示在數軸上求一動點x，使x到定點A（-3）的距離與到定點B（1）的距離之和等于6，如圖3。由數軸上的點的性質可知，這樣的點x有兩個，即表示-4與2的點，所以方程的解為x=-4或x=2。

4.用數軸取零點，求最值

問題4：若m

分析：在數軸上標出m，n，p的大致位置，如圖4，于是問題轉化為在x軸上求一點，使它到m，n，p所對應的三點距離的和最小。易知當x=n時，它到m，n，p所對應的三點的距離之和最小，故當x=n時，x-m+x-n+x-p的值最小，最小值等于p-m。

5.運用數軸變換兩圓的位置關系

如圖5，數軸反映兩圓的位置關系和數量關系，設⊙O1、⊙O2的半徑分別為R1，R2，圓心距為d，則兩圓的位置關系可以在數軸上表示出來，如圖5所示。

■

圖5

問題5：已知⊙O1、⊙O2的半徑分別為3cm和5cm，兩圓的圓心距是6cm，則兩圓的位置關系是（ ）

A.內含 B.外離

C.內切 D.相交

分析：由題設，知：R1-R2=2，R1+R2=8，由圖6知R1-R2

6.借助數軸，進行代數式的化簡

■

問題6：已知有理數a、b在數軸表示的位置如圖7所示，試化簡：■-a-b

觀察數軸上字母的位置不難發現，a+b>0，a-b>0根據絕對值的意義，很容易去掉絕對值符號，問題迎刃而解。

7.用數軸找臨界點，求點的象限范圍

問題7：點（x，x-1）不可能在第幾象限。

■

圖8

8.無理數的理解

問題8：關于π的理解：

用直徑為1的圓，從數軸原點沿數軸滾動一周，所得到的點的位置就是π。

問題9：■的認識：

好奇的古希臘人在數軸上以線段[0，1]為底邊作正方形，以O為圓心，過O點的對角線為半徑畫弧，交數軸正方向于D。D點表示的數是■。

以上是我在初中教學中，對數軸的一些用法，感覺數軸它雖小，但作用很大，用途很廣，借用數軸可輕松解決多方面的數學問題，是研究初中數學的有效工具之一，也是培養學生提高分析解題能力的好工具。

參考文獻：

劉錦海.與數軸有關的問題.中學課程輔導：初一版，2004（08）.

（作者單位 甘肅省酒泉市育才學校）

？誗編輯 張珍珍