前測探底構建網絡延展創新總結交流

顧遨

復習課難上，這是因為復習課既不像新授課那樣讓學生有新鮮感，又不像練習課那樣有成就感。教師在復習課中若單一地重復舊知識就會陷入“炒冷飯”的尷尬境地，而過多地對學生所學進行拓展延伸，又有挖掘過深變成上新課的嫌疑。因此，復習課上掌握深與淺、新與舊之間的微妙平衡就顯得尤為重要。那么，復習課上如何把握這個尺度呢？筆者通過實踐，覺得不妨按照“前測探底——構建網絡——延展創新——總結交流”這樣的途徑來組織復習課的教學。

下面，就以人教版數學六年級下冊“立體圖形體積總復習”一課教學為例，談談開展有效復習的教學策略。

一、前測探底——回顧舊知識，完成自我診斷

上復習課前，我們不禁要思考：學生對舊知識的掌握程度如何？在基本知識點的復習上要花多大的精力？因此，對學生學習起點的了解，是我們復習課教學的基點。以前我們教師總是憑借自己的經驗來定位教學，這顯然是比較隨性的，而前測能很好地為我們解決這個難題，讓我們能準確地把握學生的學習起點。基于此，我設計了以下兩道前測題。

第1題：填表。

師（追問）：觀察上表，體積公式有沒有相同點？為什么有這樣的相同點？

第2題：你認為圖形的體積可能與什么有關？你覺得它（如右圖）的體積應該怎樣求？請用圖或者文字表達你的想法。

根據前測信息，對學生的學習起點分析如下。

認識起點：對于體積公式共同點的內在聯系，學生缺乏理解（無人能夠回答“為什么有這樣的相同點”的問題），這表明這個年齡段的學生的思維還處于直觀幾何階段，能分析圖形的組成要素和特征及利用特征解決幾何問題，但無法解釋性質間的關系和圖形某些性質間的聯系（參考范希爾對幾何思維水平的五度劃分）。

經驗起點：《數學課程標準》中提出：“在‘圖形與幾何教學中要著重發展學生的空間觀念，培養學生的幾何直觀與推理能力。”六年級學生正處于一個對知識歸納總結與綜合運用的階段，已經積累了豐富的知識和經驗，對觀察、實驗、歸納、類比等方法有一定的了解與接觸，正是空間觀念與合情推理發展的重要時期。因此，設計第2道題的目的就是想考察學生的空間觀念與合情推理的現有水平，了解學生面對新的問題情境時能不能與舊知識做一個有效的溝通，實現知識的“再創造”。前測結果發現學生的正確率比較低，僅有5%的學生能正確解答，能給出初步解決問題思路的也只有15%的學生。

顯然，學生對于所要復習的知識并不是一無所知的。通過訪談了解到，學生從各個渠道（如興趣班、自己閱讀書籍等）已經對立體圖形之間的聯系有了一定的了解，再把教學的重點定位在“底面積乘以高”這個知識點上就顯得過于簡單了。基于此，本課的教學重點確定為引導學生把各個知識點構建成網絡，并用運動的觀點來認識、闡述這四個圖形體積之間為什么存在著這樣緊密的聯系。

對于解決四棱錐體積的問題，學生缺少經驗，因為學生現有的知識點是散狀分布的，面與體、圖形與圖形之間都是孤立存在的，知識點與知識點之間缺乏有效溝通。所以，在復習過程中，指導學生運用合情推理來溝通各個圖形體積之間的聯系就成為必然。

二、構建網絡——用運動的觀點，重構知識體系

帶著對前測的思考，引導學生重新認識立體圖形的體積，有效整合這一部分內容的知識體系。

首先，以運動的觀點展開復習。

師（出示圓柱和圓錐）：思考一下，它們是由什么平面圖形按什么運動方式形成的？

生1：它們是通過旋轉得到的，圓柱是由長方形旋轉得到的。

師：圓錐呢？

生2：由直角三角形旋轉得到的。

師：圓柱除了可以看成是長方形旋轉形成的，還可以看成是怎樣一種運動方式得到的？

生3：平移。

師：怎樣平移？具體說說。

生4：將這個圓柱的底面平移上去，也就是由圓平移得到的。

師：那么，我們可以說這個圖形平移的距離就是圓柱的高。（課件重點演示平移的過程）從這里可以看出，體積也可以用什么來表示？（生答略）

師：這個圓形就是圓柱的底面，移動的距離就是圓柱的高，所以這個圓柱的體積也可以用“底面積×高”來表示。

師：那么，其他的圖形呢？

生5：也可以通過平移得到。

師：具體說一說。

課件演示：長方體、正方體是由長方形、正方形平移得到的（正方形平移的距離等于邊長）。

師：那么，它們的體積也同樣可以用什么來表示？

生6：Sh。

師：圓錐呢？

生7：不能通過平移得到。

師（課件演示：圓不斷平移，且不斷縮小）：看課件演示后，你又有什么想法？

生8：這也是一種平移，只不過底面的圓越來越小，最后變成了一個點。

師：我們可以把它看作是一種特殊的平行移動。

上述教學用平移的運動觀點，有效地溝通了所學立體圖形體積之間的內在聯系。為什么這些圖形的體積都和“底面積×高”有關？因為它們都是由底面平移得到的，這就把零散的知識點串聯起來，將靜態的圖形變成動態發展的過程，使學生從根源上理解了這些圖形體積之間的聯系。

其次，以運動的觀點巧解練習。

設計這道習題的目的，就是讓學生運用前面所得的新經驗和運動的觀點來解題，即求截面梯形（圖1）平移后所得到圖形（圖2）的體積。

三、延展創新——運用合情推理，提升思維水平

當學生以運動的觀點重新認識了立體圖形，了解這些圖形是由平面平移得到的，都與“底面積×高”有關后，教師可因勢利導，使學生的思維從二維平面躍遷到三維空間。

師：長方形垂直平移形成長方體，正方形平移得到正方體，像這樣的圖形你還能想象出幾個來嗎？endprint

生1：底面是三角形的……

師：你說的是三棱柱，它的底面由三條邊組成。

師：它的體積是怎樣的？（V=Sh ）

生2：還有四棱柱。

師：N棱柱呢？它們的體積怎么求？

生3：Sh。

師：隨著底面的邊越來越多，最終它會變成一個什么圖形？

生4：圓柱。

師：看來，這是一個大家族，都有著共同的特征。數學上給它們一個統一的名稱，叫做直柱體。

師（小結）：那么，我們來簡單歸納一下這個重要的新發現。怎樣的圖形，它的體積都可以用“底面積乘以高”來表示？

生5：直柱體的體積都可以用V=Sh來表示。

師：圓錐是由一個圓形向上移動并不斷縮小，一直縮小到一個點形成的。像這樣的圖形，你能再想出一個嗎？

生6：三棱錐。

師：它的體積呢？（課件演示，幫助學生合情推理）

生7：可能是等底等高的三棱柱的三分之一。

師：非常了不起，就是它的三分之一。這樣的圖形還有嗎？

生8：四棱錐。

師：體積呢？

生9：也是三分之一。

師：誰的三分之一？

生10：四棱柱的三分之一。

師：也就是長方體或者是正方體的三分之一。

……

師：以此類推，這些椎體都是等底等高的柱體的三分之一。如果底面的邊越來越多，最后會是一個什么圖形？

生：圓錐。

師：它是誰的體積的三分之一？

生：是圓柱體積的三分之一。

師：原來，它們之間存在著這樣一種密切的聯系。

四、總結交流——運用所學解題，提高解決問題的能力

復習課上同樣需要總結歸納，以鞏固學生所學，提高他們解決問題的能力。

師：學到這里，你一定對體積的知識有了新的感悟，請你結合下面的圖形來說一說自己的收獲。

生1：柱體的體積都可以用Sh來計算。

生2：這些圖形都是通過平移運動形成的。

生3：錐體都是相應的柱體體積的三分之一。

……

引導學生說學習感悟，不僅僅是知識的拓展，更是為了完善學生的知識結構。從三棱柱到圓柱，從三棱錐到圓錐，既啟發學生一步一步地去合情推理，又有效溝通了各圖形體積之間的聯系。

以了解學生學習起點為基，以構建知識網絡為脈，以悟出新意為得，我想，這就是復習課教學行之有效的好策略。

（責編 藍 天）endprint

生1：底面是三角形的……

師：你說的是三棱柱，它的底面由三條邊組成。

師：它的體積是怎樣的？（V=Sh ）

生2：還有四棱柱。

師：N棱柱呢？它們的體積怎么求？

生3：Sh。

師：隨著底面的邊越來越多，最終它會變成一個什么圖形？

生4：圓柱。

師：看來，這是一個大家族，都有著共同的特征。數學上給它們一個統一的名稱，叫做直柱體。

師（小結）：那么，我們來簡單歸納一下這個重要的新發現。怎樣的圖形，它的體積都可以用“底面積乘以高”來表示？

生5：直柱體的體積都可以用V=Sh來表示。

師：圓錐是由一個圓形向上移動并不斷縮小，一直縮小到一個點形成的。像這樣的圖形，你能再想出一個嗎？

生6：三棱錐。

師：它的體積呢？（課件演示，幫助學生合情推理）

生7：可能是等底等高的三棱柱的三分之一。

師：非常了不起，就是它的三分之一。這樣的圖形還有嗎？

生8：四棱錐。

師：體積呢？

生9：也是三分之一。

師：誰的三分之一？

生10：四棱柱的三分之一。

師：也就是長方體或者是正方體的三分之一。

……

師：以此類推，這些椎體都是等底等高的柱體的三分之一。如果底面的邊越來越多，最后會是一個什么圖形？

生：圓錐。

師：它是誰的體積的三分之一？

生：是圓柱體積的三分之一。

師：原來，它們之間存在著這樣一種密切的聯系。

四、總結交流——運用所學解題，提高解決問題的能力

復習課上同樣需要總結歸納，以鞏固學生所學，提高他們解決問題的能力。

師：學到這里，你一定對體積的知識有了新的感悟，請你結合下面的圖形來說一說自己的收獲。

生1：柱體的體積都可以用Sh來計算。

生2：這些圖形都是通過平移運動形成的。

生3：錐體都是相應的柱體體積的三分之一。

……

引導學生說學習感悟，不僅僅是知識的拓展，更是為了完善學生的知識結構。從三棱柱到圓柱，從三棱錐到圓錐，既啟發學生一步一步地去合情推理，又有效溝通了各圖形體積之間的聯系。

以了解學生學習起點為基，以構建知識網絡為脈，以悟出新意為得，我想，這就是復習課教學行之有效的好策略。

（責編 藍 天）endprint

生1：底面是三角形的……

師：你說的是三棱柱，它的底面由三條邊組成。

師：它的體積是怎樣的？（V=Sh ）

生2：還有四棱柱。

師：N棱柱呢？它們的體積怎么求？

生3：Sh。

師：隨著底面的邊越來越多，最終它會變成一個什么圖形？

生4：圓柱。

師：看來，這是一個大家族，都有著共同的特征。數學上給它們一個統一的名稱，叫做直柱體。

師（小結）：那么，我們來簡單歸納一下這個重要的新發現。怎樣的圖形，它的體積都可以用“底面積乘以高”來表示？

生5：直柱體的體積都可以用V=Sh來表示。

師：圓錐是由一個圓形向上移動并不斷縮小，一直縮小到一個點形成的。像這樣的圖形，你能再想出一個嗎？

生6：三棱錐。

師：它的體積呢？（課件演示，幫助學生合情推理）

生7：可能是等底等高的三棱柱的三分之一。

師：非常了不起，就是它的三分之一。這樣的圖形還有嗎？

生8：四棱錐。

師：體積呢？

生9：也是三分之一。

師：誰的三分之一？

生10：四棱柱的三分之一。

師：也就是長方體或者是正方體的三分之一。

……

師：以此類推，這些椎體都是等底等高的柱體的三分之一。如果底面的邊越來越多，最后會是一個什么圖形？

生：圓錐。

師：它是誰的體積的三分之一？

生：是圓柱體積的三分之一。

師：原來，它們之間存在著這樣一種密切的聯系。

四、總結交流——運用所學解題，提高解決問題的能力

復習課上同樣需要總結歸納，以鞏固學生所學，提高他們解決問題的能力。

師：學到這里，你一定對體積的知識有了新的感悟，請你結合下面的圖形來說一說自己的收獲。

生1：柱體的體積都可以用Sh來計算。

生2：這些圖形都是通過平移運動形成的。

生3：錐體都是相應的柱體體積的三分之一。

……

引導學生說學習感悟，不僅僅是知識的拓展，更是為了完善學生的知識結構。從三棱柱到圓柱，從三棱錐到圓錐，既啟發學生一步一步地去合情推理，又有效溝通了各圖形體積之間的聯系。

以了解學生學習起點為基，以構建知識網絡為脈，以悟出新意為得，我想，這就是復習課教學行之有效的好策略。

（責編 藍 天）endprint