《有理數》一章中數學思想的滲透

文/周育敏

摘 要：對蘇科版七年級上冊《有理數》章節的教學后記進行了歸納總結，談了關于數學思想在此章節中的合理滲透。主要有轉化思想、數形結合思想、特殊與一般思想、具體到抽象思想和分類集合思想等以及對學生今后數學學習的影響。

關鍵詞：數學思想；轉化；數形結合；特殊與一般；具體到抽象；分類和集合

江蘇科學技術出版社，蘇科版七年級數學第一冊第二章《有理數》，雖然并不是本冊書的起始章節，但卻起著從小學數學到中學數學、從數到式的過渡中承上啟下的作用，為使學生盡快地適應中學數學的學習，掌握一定的數學思想，提高學生的數學素質，我們在本章教學時，除按教學要求，使學生切實掌握有理數的有關概念和運算法則，具有熟練的運算技能外，更重要的是在教學中要注意數學思想的滲透，充分發掘教學內容中隱含的數學思想，使學生通過理解和掌握數學思想和數學方法，認識數學本質，增強用數學意識解決問題的能力。從本章內容看，我認為著重要注意以下幾方面數學思想的滲透。

一、轉化思想

化未知為已知、化難為易、化繁為簡，這種轉化的方法是中學數學中重要的思想方法。在《有理數》一章中，有理數減法法則、除法法則的得出就是應用轉化的典型例子。故我們在教學減法法則時，可以從學生已有的知識入手，引導學生從減法是加法的逆運算關系得出法則。例如，求（+3）－（－5）的差，就是求一個數（？），使（？）+（－5）=+3，然后在教師指導下，通過學生的討論得出結論：

減轉化為加

（＋3）－（－5）＝（＋3）＋（＋5）。通過選用不同的減數、被減數的實

負轉化為正

例，使學生確信這個法則，并通過足夠數量的練習，在練習中要求學生寫出“減轉化加”的過程，使學生確信減法轉化為加法是解決有理數減法運算的重要途徑。在小結時，教師還可以對比減法法則與加法法則的探求過程，指出這實際上代表數學中常用的兩種研究方法，一是從具體到抽象；二是以已有的結論為基礎不斷拓寬轉化，對已有的結論充分利用，解決新問題，發現新結論。通過比較，使學生對轉化的思想留下深刻的印象。到探求除法法則時也能自然地想到轉化方法。

二、數形結合思想

數形結合思想方法是研究有理數問題的重要方法，在本章中，如有理數的大小比較，我們在教學時，可先通過實例得到：3與0；－4與0；5與8；－8與－3的大小，然后把這些數在數軸上找到相應的點，并得出：“在數軸上表示數的點，右邊的點表示的數總比左邊的點所表示的數大，最后利用數軸上的點所表示數的大小規律，得出有理數大小比較法則。這樣使學生比較直觀理解和記憶了法則的內容。特別在比較兩個負數的大小時，我們也可以利用數軸上的點的位置來確定兩個負數的大小。又如，在講解絕對值的意義時，我們可以用絕對值的幾何意義向學生提出問題：｜＋2｜、｜－2｜、｜0｜在數軸上各表示什么？學生回答：“在數軸上表示＋2、－2、0的點離開原點的距離”，然后教師繼續提出問題：“在數軸上表示＋2、－2、0的點離開原點的距離各是多少？”此時，如果學生沒有真正掌握絕對值的定義，很有可能仍然會答：“＋2、－2、0”。教師就可根據數軸來詳細講解距離具有的非負性，然后師生共同歸納出：“一個正數的絕對值是它本身，一個負數的絕對值是它的相反數，零的絕對值是零”的結論。這樣講解使學生加深理解絕對值的概念，并體會到數和形的相互依賴關系，理解絕對值的非負數特征，并初步使學生感知到數形結合思想在數學問題中的應用。

三、特殊與一般的思想

數學概念中，存在著許多特殊與一般的關系，《有理數》一章中，乘方概念就是其中的一例。乘方是乘法的一種特殊運算，當乘法中因數相同時，這種積的運算就叫做乘方。因此，我們在乘方教學時要善于利用這種關系，幫助學生更好地理解乘方的有關概念和運算法則，如講解“正數的任何次冪都是正數，負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數”的冪的運算符號法則時，可這樣幫助學生理解：“正數的任何次冪”就是“任何個相同的正數相乘”，結果當然為正。“負數個奇次冪”就是“奇數個相同負數相乘”，結果當然為負。“負數的偶次冪”就是：“偶數個相同負數相乘”，結果當然為正。又如，本章中計算像：（－0．2）11×5010的習題，可利用乘方與乘法的關系。

解法如下：（－0.2）11×5010＝（－■）11×5010＝－（■）11×5010＝－■×■×…×■×50

（11個■）×50×…×50＝－■×10×10×…×10＝－0.2×10×10×…×10＝－2×

（10個50）（10個10）（10個10）

×10×10×…×10＝－2×109

（9個10）

四、具體到抽象的思想

《有理數》一章中給出概念或者探求法則時，通常都是把感知材料作為出發點，從具體例子抽象出數學概念，概括出運算法則，我們在教學時要充分利用教材這一特點，重視對學生抽象概括能力的培養。例如，在講解加法法則時，由飛機上升、下降四種情況得出的四個算式，教師不要急于下結論，而應該讓學生觀察，比較加數之間的關系，然后由學生概括出法則。同時教師還必須提醒學生，在有理數集兩個數相加，不但要考慮絕對值，而且還要考慮符號，和的結果由兩部分組成（符號、絕對值）。如果學生在概括時能考慮到符號和絕對值兩要素，在今后有理數的運算中可以減少漏掉符號的錯誤。又如，在講解正負數概念時，可給學生多舉幾個具有相反意義量的例子，然后用正負數來表示具有相反意義的量，得出正、負數的概念，這樣得出概念就比較自然。

五、分類和集合思想

《有理數》一章中第二教時“有理數”內容中包含著數學中分類和集合的思想。我們在教學有理數分類時，應向學生講清兩點：（1）分類的標準不同，則分類的結果也不同；（2）分類的結果應無遺漏、不重復。而對于集合概念，教材安排只要求學生初步接觸一些集合、對應等現代數學思想，并不要求學生完整理解集合的概念，教學中只要求學生了解正數集、負數集、整數集、正整數集和有理數集等簡單的一些數集；能判別一個數屬于哪一類數集；會用圓圈、括號表示一些簡單的數集；會認兩個簡單數集的公共部分是什么數集。對這兩個數學思想只能在教學中有意識地、有分寸地滲透，培養學生對有理數分類討論的觀點和能正確地進行分類的能力，這對今后處理數學問題十分有益。

總之，我們在《有理數》一章教學中，既要重視運算技能的訓練，更要注意數學思想的滲透和數學方法的培養，它將使學生獲得自學數學、發展數學的能力。這也正貼合了當今的“時尚元素”——指導學生自主學習的理念，并獲得把數學的思想及方法轉化成解決問題的能力，從而形成更佳的智能結構，讓學生終身受益。

參考文獻：

施良方，崔允漷.課堂教學的原理、策略與研究.華東師范大學出版社，2002-09.

編輯 馬燕萍

endprint

摘 要：對蘇科版七年級上冊《有理數》章節的教學后記進行了歸納總結，談了關于數學思想在此章節中的合理滲透。主要有轉化思想、數形結合思想、特殊與一般思想、具體到抽象思想和分類集合思想等以及對學生今后數學學習的影響。

關鍵詞：數學思想；轉化；數形結合；特殊與一般；具體到抽象；分類和集合

江蘇科學技術出版社，蘇科版七年級數學第一冊第二章《有理數》，雖然并不是本冊書的起始章節，但卻起著從小學數學到中學數學、從數到式的過渡中承上啟下的作用，為使學生盡快地適應中學數學的學習，掌握一定的數學思想，提高學生的數學素質，我們在本章教學時，除按教學要求，使學生切實掌握有理數的有關概念和運算法則，具有熟練的運算技能外，更重要的是在教學中要注意數學思想的滲透，充分發掘教學內容中隱含的數學思想，使學生通過理解和掌握數學思想和數學方法，認識數學本質，增強用數學意識解決問題的能力。從本章內容看，我認為著重要注意以下幾方面數學思想的滲透。

一、轉化思想

化未知為已知、化難為易、化繁為簡，這種轉化的方法是中學數學中重要的思想方法。在《有理數》一章中，有理數減法法則、除法法則的得出就是應用轉化的典型例子。故我們在教學減法法則時，可以從學生已有的知識入手，引導學生從減法是加法的逆運算關系得出法則。例如，求（+3）－（－5）的差，就是求一個數（？），使（？）+（－5）=+3，然后在教師指導下，通過學生的討論得出結論：

減轉化為加

（＋3）－（－5）＝（＋3）＋（＋5）。通過選用不同的減數、被減數的實

負轉化為正

例，使學生確信這個法則，并通過足夠數量的練習，在練習中要求學生寫出“減轉化加”的過程，使學生確信減法轉化為加法是解決有理數減法運算的重要途徑。在小結時，教師還可以對比減法法則與加法法則的探求過程，指出這實際上代表數學中常用的兩種研究方法，一是從具體到抽象；二是以已有的結論為基礎不斷拓寬轉化，對已有的結論充分利用，解決新問題，發現新結論。通過比較，使學生對轉化的思想留下深刻的印象。到探求除法法則時也能自然地想到轉化方法。

二、數形結合思想

數形結合思想方法是研究有理數問題的重要方法，在本章中，如有理數的大小比較，我們在教學時，可先通過實例得到：3與0；－4與0；5與8；－8與－3的大小，然后把這些數在數軸上找到相應的點，并得出：“在數軸上表示數的點，右邊的點表示的數總比左邊的點所表示的數大，最后利用數軸上的點所表示數的大小規律，得出有理數大小比較法則。這樣使學生比較直觀理解和記憶了法則的內容。特別在比較兩個負數的大小時，我們也可以利用數軸上的點的位置來確定兩個負數的大小。又如，在講解絕對值的意義時，我們可以用絕對值的幾何意義向學生提出問題：｜＋2｜、｜－2｜、｜0｜在數軸上各表示什么？學生回答：“在數軸上表示＋2、－2、0的點離開原點的距離”，然后教師繼續提出問題：“在數軸上表示＋2、－2、0的點離開原點的距離各是多少？”此時，如果學生沒有真正掌握絕對值的定義，很有可能仍然會答：“＋2、－2、0”。教師就可根據數軸來詳細講解距離具有的非負性，然后師生共同歸納出：“一個正數的絕對值是它本身，一個負數的絕對值是它的相反數，零的絕對值是零”的結論。這樣講解使學生加深理解絕對值的概念，并體會到數和形的相互依賴關系，理解絕對值的非負數特征，并初步使學生感知到數形結合思想在數學問題中的應用。

三、特殊與一般的思想

數學概念中，存在著許多特殊與一般的關系，《有理數》一章中，乘方概念就是其中的一例。乘方是乘法的一種特殊運算，當乘法中因數相同時，這種積的運算就叫做乘方。因此，我們在乘方教學時要善于利用這種關系，幫助學生更好地理解乘方的有關概念和運算法則，如講解“正數的任何次冪都是正數，負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數”的冪的運算符號法則時，可這樣幫助學生理解：“正數的任何次冪”就是“任何個相同的正數相乘”，結果當然為正。“負數個奇次冪”就是“奇數個相同負數相乘”，結果當然為負。“負數的偶次冪”就是：“偶數個相同負數相乘”，結果當然為正。又如，本章中計算像：（－0．2）11×5010的習題，可利用乘方與乘法的關系。

解法如下：（－0.2）11×5010＝（－■）11×5010＝－（■）11×5010＝－■×■×…×■×50

（11個■）×50×…×50＝－■×10×10×…×10＝－0.2×10×10×…×10＝－2×

（10個50）（10個10）（10個10）

×10×10×…×10＝－2×109

（9個10）

四、具體到抽象的思想

《有理數》一章中給出概念或者探求法則時，通常都是把感知材料作為出發點，從具體例子抽象出數學概念，概括出運算法則，我們在教學時要充分利用教材這一特點，重視對學生抽象概括能力的培養。例如，在講解加法法則時，由飛機上升、下降四種情況得出的四個算式，教師不要急于下結論，而應該讓學生觀察，比較加數之間的關系，然后由學生概括出法則。同時教師還必須提醒學生，在有理數集兩個數相加，不但要考慮絕對值，而且還要考慮符號，和的結果由兩部分組成（符號、絕對值）。如果學生在概括時能考慮到符號和絕對值兩要素，在今后有理數的運算中可以減少漏掉符號的錯誤。又如，在講解正負數概念時，可給學生多舉幾個具有相反意義量的例子，然后用正負數來表示具有相反意義的量，得出正、負數的概念，這樣得出概念就比較自然。

五、分類和集合思想

《有理數》一章中第二教時“有理數”內容中包含著數學中分類和集合的思想。我們在教學有理數分類時，應向學生講清兩點：（1）分類的標準不同，則分類的結果也不同；（2）分類的結果應無遺漏、不重復。而對于集合概念，教材安排只要求學生初步接觸一些集合、對應等現代數學思想，并不要求學生完整理解集合的概念，教學中只要求學生了解正數集、負數集、整數集、正整數集和有理數集等簡單的一些數集；能判別一個數屬于哪一類數集；會用圓圈、括號表示一些簡單的數集；會認兩個簡單數集的公共部分是什么數集。對這兩個數學思想只能在教學中有意識地、有分寸地滲透，培養學生對有理數分類討論的觀點和能正確地進行分類的能力，這對今后處理數學問題十分有益。

總之，我們在《有理數》一章教學中，既要重視運算技能的訓練，更要注意數學思想的滲透和數學方法的培養，它將使學生獲得自學數學、發展數學的能力。這也正貼合了當今的“時尚元素”——指導學生自主學習的理念，并獲得把數學的思想及方法轉化成解決問題的能力，從而形成更佳的智能結構，讓學生終身受益。

參考文獻：

施良方，崔允漷.課堂教學的原理、策略與研究.華東師范大學出版社，2002-09.

編輯 馬燕萍

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摘 要：對蘇科版七年級上冊《有理數》章節的教學后記進行了歸納總結，談了關于數學思想在此章節中的合理滲透。主要有轉化思想、數形結合思想、特殊與一般思想、具體到抽象思想和分類集合思想等以及對學生今后數學學習的影響。

關鍵詞：數學思想；轉化；數形結合；特殊與一般；具體到抽象；分類和集合

江蘇科學技術出版社，蘇科版七年級數學第一冊第二章《有理數》，雖然并不是本冊書的起始章節，但卻起著從小學數學到中學數學、從數到式的過渡中承上啟下的作用，為使學生盡快地適應中學數學的學習，掌握一定的數學思想，提高學生的數學素質，我們在本章教學時，除按教學要求，使學生切實掌握有理數的有關概念和運算法則，具有熟練的運算技能外，更重要的是在教學中要注意數學思想的滲透，充分發掘教學內容中隱含的數學思想，使學生通過理解和掌握數學思想和數學方法，認識數學本質，增強用數學意識解決問題的能力。從本章內容看，我認為著重要注意以下幾方面數學思想的滲透。

一、轉化思想

化未知為已知、化難為易、化繁為簡，這種轉化的方法是中學數學中重要的思想方法。在《有理數》一章中，有理數減法法則、除法法則的得出就是應用轉化的典型例子。故我們在教學減法法則時，可以從學生已有的知識入手，引導學生從減法是加法的逆運算關系得出法則。例如，求（+3）－（－5）的差，就是求一個數（？），使（？）+（－5）=+3，然后在教師指導下，通過學生的討論得出結論：

減轉化為加

（＋3）－（－5）＝（＋3）＋（＋5）。通過選用不同的減數、被減數的實

負轉化為正

例，使學生確信這個法則，并通過足夠數量的練習，在練習中要求學生寫出“減轉化加”的過程，使學生確信減法轉化為加法是解決有理數減法運算的重要途徑。在小結時，教師還可以對比減法法則與加法法則的探求過程，指出這實際上代表數學中常用的兩種研究方法，一是從具體到抽象；二是以已有的結論為基礎不斷拓寬轉化，對已有的結論充分利用，解決新問題，發現新結論。通過比較，使學生對轉化的思想留下深刻的印象。到探求除法法則時也能自然地想到轉化方法。

二、數形結合思想

數形結合思想方法是研究有理數問題的重要方法，在本章中，如有理數的大小比較，我們在教學時，可先通過實例得到：3與0；－4與0；5與8；－8與－3的大小，然后把這些數在數軸上找到相應的點，并得出：“在數軸上表示數的點，右邊的點表示的數總比左邊的點所表示的數大，最后利用數軸上的點所表示數的大小規律，得出有理數大小比較法則。這樣使學生比較直觀理解和記憶了法則的內容。特別在比較兩個負數的大小時，我們也可以利用數軸上的點的位置來確定兩個負數的大小。又如，在講解絕對值的意義時，我們可以用絕對值的幾何意義向學生提出問題：｜＋2｜、｜－2｜、｜0｜在數軸上各表示什么？學生回答：“在數軸上表示＋2、－2、0的點離開原點的距離”，然后教師繼續提出問題：“在數軸上表示＋2、－2、0的點離開原點的距離各是多少？”此時，如果學生沒有真正掌握絕對值的定義，很有可能仍然會答：“＋2、－2、0”。教師就可根據數軸來詳細講解距離具有的非負性，然后師生共同歸納出：“一個正數的絕對值是它本身，一個負數的絕對值是它的相反數，零的絕對值是零”的結論。這樣講解使學生加深理解絕對值的概念，并體會到數和形的相互依賴關系，理解絕對值的非負數特征，并初步使學生感知到數形結合思想在數學問題中的應用。

三、特殊與一般的思想

數學概念中，存在著許多特殊與一般的關系，《有理數》一章中，乘方概念就是其中的一例。乘方是乘法的一種特殊運算，當乘法中因數相同時，這種積的運算就叫做乘方。因此，我們在乘方教學時要善于利用這種關系，幫助學生更好地理解乘方的有關概念和運算法則，如講解“正數的任何次冪都是正數，負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數”的冪的運算符號法則時，可這樣幫助學生理解：“正數的任何次冪”就是“任何個相同的正數相乘”，結果當然為正。“負數個奇次冪”就是“奇數個相同負數相乘”，結果當然為負。“負數的偶次冪”就是：“偶數個相同負數相乘”，結果當然為正。又如，本章中計算像：（－0．2）11×5010的習題，可利用乘方與乘法的關系。

解法如下：（－0.2）11×5010＝（－■）11×5010＝－（■）11×5010＝－■×■×…×■×50

（11個■）×50×…×50＝－■×10×10×…×10＝－0.2×10×10×…×10＝－2×

（10個50）（10個10）（10個10）

×10×10×…×10＝－2×109

（9個10）

四、具體到抽象的思想

《有理數》一章中給出概念或者探求法則時，通常都是把感知材料作為出發點，從具體例子抽象出數學概念，概括出運算法則，我們在教學時要充分利用教材這一特點，重視對學生抽象概括能力的培養。例如，在講解加法法則時，由飛機上升、下降四種情況得出的四個算式，教師不要急于下結論，而應該讓學生觀察，比較加數之間的關系，然后由學生概括出法則。同時教師還必須提醒學生，在有理數集兩個數相加，不但要考慮絕對值，而且還要考慮符號，和的結果由兩部分組成（符號、絕對值）。如果學生在概括時能考慮到符號和絕對值兩要素，在今后有理數的運算中可以減少漏掉符號的錯誤。又如，在講解正負數概念時，可給學生多舉幾個具有相反意義量的例子，然后用正負數來表示具有相反意義的量，得出正、負數的概念，這樣得出概念就比較自然。

五、分類和集合思想

《有理數》一章中第二教時“有理數”內容中包含著數學中分類和集合的思想。我們在教學有理數分類時，應向學生講清兩點：（1）分類的標準不同，則分類的結果也不同；（2）分類的結果應無遺漏、不重復。而對于集合概念，教材安排只要求學生初步接觸一些集合、對應等現代數學思想，并不要求學生完整理解集合的概念，教學中只要求學生了解正數集、負數集、整數集、正整數集和有理數集等簡單的一些數集；能判別一個數屬于哪一類數集；會用圓圈、括號表示一些簡單的數集；會認兩個簡單數集的公共部分是什么數集。對這兩個數學思想只能在教學中有意識地、有分寸地滲透，培養學生對有理數分類討論的觀點和能正確地進行分類的能力，這對今后處理數學問題十分有益。

總之，我們在《有理數》一章教學中，既要重視運算技能的訓練，更要注意數學思想的滲透和數學方法的培養，它將使學生獲得自學數學、發展數學的能力。這也正貼合了當今的“時尚元素”——指導學生自主學習的理念，并獲得把數學的思想及方法轉化成解決問題的能力，從而形成更佳的智能結構，讓學生終身受益。

參考文獻：

施良方，崔允漷.課堂教學的原理、策略與研究.華東師范大學出版社，2002-09.

編輯 馬燕萍

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