2014年高考數學安徽卷理科第14題亮點賞析

湖北省武漢市黃陂區第一中學盤龍校區 (郵編：430312)

好的試題不一定總能吸引讀者的關注，尤其是那些看似平淡的試題，它們沒有華麗的外衣，不張揚，很多時候容易被我們忽略，可當我們靜心思考，細細品味，有時會有不少意想不到的發現與感悟.

這是2014年高考數學安徽卷理科第14題，筆者覺得此題看似平淡，其實意蘊不凡，值得研究，現將筆者的思考草擬成文，和大家一起交流.

亮點1平和親切，注重傳承

初看這道試題，學生倍感親切，背景很熟悉．細細品味，一道道曾經熟悉的試題浮現在眼前：

題2(2010年全國卷Ⅰ) 已知F是橢圓C的一個焦點，B是短軸一個端點，線段BF延長線交C于點則C的離心率e為________.

題5(2008年全國卷Ⅱ) 已知F是拋物線C：y2=4x的焦點，過F且斜率為1的直線交C于A、B兩點，設|FA|>|FB|，則|FA|與|FB|比值為________.

我們知道，高考命題有時取材于往年高考試題，這種命題方式使考生對題目有親切感，充分體現命題者對考生的人文關懷．往屆高考試題是新高考試題的重要來源之一，我們的高考命題專家一直重視傳承和相互借鑒，他們堅持“命題是一種自然的發展，不會有突變，不能隔斷歷史”的觀點，本題充分說明了這一點．

亮點2小巧活寬，解法多樣

我們的命題專家一直倡導：高考命題應該遵循“活”與“寬”的原則，即解題運用的不是死知識，而是將熟悉的、基本的東西“拿”來解決陌生的問題．好的試題能體現小中見大，知識覆蓋面廣，解題入口寬，解法思路廣等特點．本題在解法上具有較強的靈活性與多樣性，內涵豐富，解法多樣，精彩紛呈，給考生提供了充分展現自己才華和能力的空間，下面枚舉4種優美解法與大家共享：

解法2(幾何法) 如圖2，過A、B分別作左準線的垂線，垂足分別為M、N，過B作BH⊥AM于H，不妨設|AF1|=m，|BF1|=n，則m=3n，設橢圓離心率為e，由橢圓的定義知：設∠AF1x=θ，則∠BAH=θ，在Rt△BAH中：易知A(c,b2)，在Rt△AF1F2中，又θ為銳角，則所以又b2+c2=1，解之得：故橢圓的方程為：

解法1將向量條件坐標化，凸顯了坐標法的思想；解法2突出圖形直觀，體現了橢圓第二定義以及平面幾何知識在解析幾何中的重要作用；解法3運用極坐標的方法，極坐標是新課標的選修內容，符合新課改的大趨勢；解法4關注橢圓第一定義，借助余弦定理在焦點三角形中解決問題，引導學生學習要重視課本基本概念和基本方法．真可謂不同的角度展示了不同的方法，不同的方法演繹著同樣的精彩！

亮點3穩中求變，凸顯創新

比較思考，我們不難發現，本文所舉的題1、題2和題3，說明“已知圓錐曲線焦點弦上焦半徑長度之比和焦點弦所在直線的傾斜角，則離心率可求”；題4、題5說明，“已知圓錐曲線離心率和焦點弦所在直線的傾斜角，則焦點弦上焦半徑長度之比可求”；題6說明，“已知圓錐曲線離心率和焦點弦上焦半徑長度之比，焦點弦所在直線的傾斜角可求”．這些高考試題不斷的變換著設問角度，傳承中有創新，從中我們可以總結出這樣一個結論：圓錐曲線焦點弦上的焦半徑長度之比、圓錐曲線離心率、焦點弦所在直線的傾斜角三者知二可求一．至此，似乎這類試題已經“山窮水盡”，可命題人并沒有止步于此．本題雖然只給出三個要素中的一個，求不出另外兩個量，但可以得到它們之間的一個關系，進而建立一個方程，要徹底解決問題于是再增設一個條件，這看似細小的創意，卻為這類試題的命制注入了新的活力，我們佩服命題專家對高考試題研究的力度之深，感嘆他們的智慧與良苦用心．

亮點4導向鮮明，啟示深刻

首先，高考一直彰顯著支持并服務于新課標

的意向，課程改革的不斷推進，對高考命題也提出了更高的要求，要求試題在創新的同時更能全面考查學生的數學素養，這樣的試題僅靠模式訓練的題海戰術難以做到，這就要求一線教師要擺脫死教書的習慣，少做點機械的訓練，多做點深入的研究．對于直線和圓錐曲線試題，不少人還沉迷于機械的重復訓練，將直線的方程和圓錐曲線聯立，利用判別式、韋達定理、弦長公式等程式訓練，這樣的方法只能事倍功半．作為一道填空題，本題也能按此法求解，如先設出直線方程，代入橢圓，進而用韋達定理得到坐標間的關系，然后解方程組，消元，整個過程下來，耗時耗力,作為填空題，極不劃算．本文的4種解法就顯得小巧、靈活，由此我們不難感悟到：高中數學課堂教學中，我們要拋棄“記題型、背套路”“重解題方法，輕數學本質”的應試教育的舊觀念，只有讓學生掌握數學的本質，提高學生分析問題和解決問題的能力才是唯一出路．

其次，高考復習中我們用的大部分是陳題和高考題，如何從研究題目中獲得啟發，這就需要我們挖掘試題的內涵，拓展其價值．以此題為例，我們在教學中還可以作一些變式：如將“焦點弦上的焦半徑長度之比”換為“橢圓離心率”或“焦點弦所在直線的傾斜角”，求橢圓方程．將這些問題和變式放在一起，不斷能讓學生看清問題的聯系，洞悉問題的本質，而且能激發學生的學習興趣，培養他們深入思考問題的習慣．

最后，對于教師，要積極以習題為載體構建知識網絡，努力從歷年高考題的整體研究中找到共性，從近幾年高考題中找到高考的變化趨勢，從對同類試題的研究中找到變化，不斷提升復習效率，本文對這7道姊妹題的分析也充分體現了這點．