為學生獲取知識搭好踏腳石

岳冬平

摘 要： 在新一輪課程改革的背景下，高中數學教學迫切需要改革，如何體現“學生主體，教師主導”是每個數學教師都應該關注的熱點。本文以人教版高中數學必修三《幾何概型》一課的實施為例，充分展示“將課堂還給學生”的教學理念，在學習過程中，教師不斷搭建“踏腳石”，將學生思維引入“最近發展區”，使學生面對知識難點時各個擊破，在教師提供的“臺階”的幫助下“踮踮腳”就獲取知識，真正實現了“每個學生都能得到最優化發展”。

關鍵詞： 教學目標 重難點 教學方法 教學手段 教學過程

一、教學目標與重難點分析

1.教學目標

（1）知識與技能：使學生能夠類比一維幾何概型的處理模式解決二維幾何概型問題；學會如何充分建構知識結構。

（2）過程與方法：通過小組討論，合作學習，體會二維幾何概型問題在具體情境中的呈現方式，類比、聯想建立數學模型，將未知量問題轉化為幾何概型問題，使問題得到解決。

（3）情感態度與價值觀：通過“設置問題—解決問題—學以致用”幾個環節，將教學內容緊湊地貫穿在一起，讓學生體驗到數學的“源與流”，培養學生類比、聯想、化歸的數學思想方法。

2.重、難點透視

（1）重點：如何將實際問題建立為二維幾何概型的數學模型。

（2）難點：把求未知量問題轉化為幾何概型求概率問題。

二、教學方法與教學手段

1.教學方法

本節課將采用“問題—探究”式教法和“小組合作研究”式教法。在解決如何把求未知量問題轉化為幾何概型求概率問題時主要采用“問題—探究”式教法。

2.教學手段

除了使用常規的教學手段外，還采用計算機或計算器輔助教學。

三、教學過程與設計

1.復習回顧

提問：（1）幾何概型的特點；（2）幾何概型三種常見的問題是什么？（3）幾何概型的概率如何計算？

設計意圖：本節課是一節能力提升課，我們要引導學生研究幾何概型的二維問題。解決概率問題的基礎，首先要確定概率模型，這就要求學生對古典概型和幾何概型的特點在知識上做好儲備。幾何概型三種常見的問題長度、面積、體積，是幾何概型中一維問題到二維問題再到三維問題的一個體現，為后續解決二維問題最終扣在幾何概型面積問題上，做好理論鋪墊。

2.故布疑云

引例：某人去車站等車，整點發車，請問他等車的時間不多于20分鐘的概率？

教學預設：本題是書上例題的翻版，通過第一課時的學習和剛剛的復習回顧，學生有能力得出概率值。然后，可以以一種輕松的方式，拋出以下幾個問題供學生動腦、動手。

（1）題中的隨機變量有幾個？（2）本題是哪種類型的幾何概型問題？（3）動手，試建立數軸說明這一問題。

例題：假設你家訂了一份報紙，送報人可能在早上6：30-7：30之間把報紙送到你家，你父親離開家去工作的時間在早上7：00-8：00之間，問你父親在離開家前得到報紙（事件A）的概率是多少？

設計意圖：本節課要研究二維幾何概型，直接切入例題，不符合學生思維的建構過程，設計一個引例，是在學生的思維上做好過渡，同時也為學生的思考提供比較、區分。而幾個問題的提出，也是讓學生體會到變量的個數與維數之間的關系，使學生在解決例題時的討論與研究更有方向感。例題的解決是本節課的難點，如何把求未知量問題轉化為幾何概型求概率問題，同時這也是本節課的探究點。如果采用教師主導式教學，牽著學生的鼻子走，則容易造成學生知其然不知其所以然。不妨嘗試采用“問題—探究”式教法。

3.共同探究

教學預設：我們用“問題—探究”式教法處理例題時，將采用如下流程：拋出問題—小組討論—達成共識，將班級分為每四人一組進行討論。

問題一：根據生活經驗，父親在什么情況才會得到報紙？

問題預設：學生可能有以下幾種結論：①送報人在7：00前把報送到。②父親在7：30分以后再上班。這兩種觀點過于片面，沒有很好地理解送報時間與離家時間的隨機性。此時，我們不妨把問題拋給學生，“是否同意這些觀點，不同意請舉例說明理由”，舉例過后，經學生總結，全班達成共識。③只要父親上班的時間晚于送報到家的時間就可得到報紙。

問題二：事件A發生即送報時間早于父親離開家的時間包含幾個隨機變量？

問題預設：一部分學生的思路會執著于某時刻是否得到報紙，因此會認為隨機變量只有一個，也會有學生認為送報時間和父親離家時間是兩個隨機變量，但原因不是很清晰。此時我們可以設計幾個問題幫助學生理清思路：

（1）送報時間與離家時間有關系嗎？

（2）送報時間與離家時間范圍分別是什么？

（3）如何用一個變量表示送報時間和離家時間？

待問題逐一討論清晰后，學生會形成送報時間與上班時間沒有必然聯系，而且兩個量的范圍不一樣，用一個量表示不現實這一想法，繼而順理成章地設出兩個變量x，y。之后，我們可以趁熱打鐵再拋給學生一個問題：“請你列出在事件A情況下x，y之間的關系式？”當我們充分探討問題一和問題二后，學生就此問題相互補充，不難給出y≥x且6.5≤x≤7.5，7≤y≤8。

問題三：比較引例與例題之間的區別，如何計算例題概率？

教學預設：這是本節課的難點，也是高潮，學生要通過合作性探究，給出問題的處理意見。根據教育學家維果斯基的“最近發展區理論”，如果前兩個問題進行得比較順利且學生接受程度比較好，這個問題我們就完全可以放手給學生，由學生類比、總結、拿出可行性方案、給出結論；如果前兩個問題進行得不夠順利或者學生接受程度一般，我們就可以幫助學生將問題拆分，首先給出引例的解題模式：“一個隨機變量—長度問題—一維問題—建立數軸”，請學生加以類比，給出例題解題模式：“兩個隨機變量——？問題——？維問題——建立？”待問題一一解決后，引導學生嘗試性計算概率。

問題預設：學生給出的方案可能包括：

（1）由一維問題聯想到二維問題，由數軸聯想到坐標系，由長度聯想到面積，轉化成幾何概型問題，之后利用公式求解概率。

（2）由事件A={（x，y）|y≥x，6.5≤x≤7.5，7≤y≤8}，聯想到線性規劃問題，而事件A的發生是圖中陰影部分面積，轉化成幾何概型問題，之后利用公式求解概率。

當然，授課過程中我們會遇到各種不同的方案，無論學生給出哪種方案，都要引導學生解決一個首要問題：“是幾何概型問題嗎？”事件A發生的概率只與構成該事件的區域面積成比例，并且事件發生在任何一點處的可能性均相等，且基本事件的個數是無限的，確定為幾何概型問題，才能利用公式求解概率。然后引導學生小結：（1）思考本題的流程，即兩個隨機變量—面積問題—二維問題—建立坐標系；（2）面積問題的概率計算P（A）=■，幫助學生理清解題思路。

四、歸納總結

課堂小結：鼓勵學生對本課進行總結，其他同學補充。

設計意圖：總結環節是本節課核心內容的提煉，熱鬧的一節課下來，學生要清楚地知道本節課自己應該獲得哪些知識，哪些方面的能力應該得到提高，同時培養歸納總結的能力及合作探究精神。

五、教學設計說明

1.前蘇聯心理學家維果茨基用“最近發展區”理論描述學習，特別強調教師的支持和同學的交流在引發學生“最近發展區”的形成，最終實現潛在的發展水平方面所起到的重要作用。本節課對知識進行層層建構，將學生的思維引入“最近發展區”，通過小組合作、交流、探究，最終解決問題。

2.如何在課堂上實施有效教學是教學研究中恒久的話題，本節課的教學通過“設置問題—解決問題—學以致用”幾個環節，將教學內容緊湊地貫穿在一起，強調過程、注重結果，為學生今后的學習提供一個參考平臺，同時也使課堂教學更有效。

3.計算機的應用體現了現代數學的實用性和廣泛性。

參考文獻：

[1]劉紹學.數學必修三[M].北京：人民教育出版社，2010.endprint

摘 要： 在新一輪課程改革的背景下，高中數學教學迫切需要改革，如何體現“學生主體，教師主導”是每個數學教師都應該關注的熱點。本文以人教版高中數學必修三《幾何概型》一課的實施為例，充分展示“將課堂還給學生”的教學理念，在學習過程中，教師不斷搭建“踏腳石”，將學生思維引入“最近發展區”，使學生面對知識難點時各個擊破，在教師提供的“臺階”的幫助下“踮踮腳”就獲取知識，真正實現了“每個學生都能得到最優化發展”。

關鍵詞： 教學目標 重難點 教學方法 教學手段 教學過程

一、教學目標與重難點分析

1.教學目標

（1）知識與技能：使學生能夠類比一維幾何概型的處理模式解決二維幾何概型問題；學會如何充分建構知識結構。

（2）過程與方法：通過小組討論，合作學習，體會二維幾何概型問題在具體情境中的呈現方式，類比、聯想建立數學模型，將未知量問題轉化為幾何概型問題，使問題得到解決。

（3）情感態度與價值觀：通過“設置問題—解決問題—學以致用”幾個環節，將教學內容緊湊地貫穿在一起，讓學生體驗到數學的“源與流”，培養學生類比、聯想、化歸的數學思想方法。

2.重、難點透視

（1）重點：如何將實際問題建立為二維幾何概型的數學模型。

（2）難點：把求未知量問題轉化為幾何概型求概率問題。

二、教學方法與教學手段

1.教學方法

本節課將采用“問題—探究”式教法和“小組合作研究”式教法。在解決如何把求未知量問題轉化為幾何概型求概率問題時主要采用“問題—探究”式教法。

2.教學手段

除了使用常規的教學手段外，還采用計算機或計算器輔助教學。

三、教學過程與設計

1.復習回顧

提問：（1）幾何概型的特點；（2）幾何概型三種常見的問題是什么？（3）幾何概型的概率如何計算？

設計意圖：本節課是一節能力提升課，我們要引導學生研究幾何概型的二維問題。解決概率問題的基礎，首先要確定概率模型，這就要求學生對古典概型和幾何概型的特點在知識上做好儲備。幾何概型三種常見的問題長度、面積、體積，是幾何概型中一維問題到二維問題再到三維問題的一個體現，為后續解決二維問題最終扣在幾何概型面積問題上，做好理論鋪墊。

2.故布疑云

引例：某人去車站等車，整點發車，請問他等車的時間不多于20分鐘的概率？

教學預設：本題是書上例題的翻版，通過第一課時的學習和剛剛的復習回顧，學生有能力得出概率值。然后，可以以一種輕松的方式，拋出以下幾個問題供學生動腦、動手。

（1）題中的隨機變量有幾個？（2）本題是哪種類型的幾何概型問題？（3）動手，試建立數軸說明這一問題。

例題：假設你家訂了一份報紙，送報人可能在早上6：30-7：30之間把報紙送到你家，你父親離開家去工作的時間在早上7：00-8：00之間，問你父親在離開家前得到報紙（事件A）的概率是多少？

設計意圖：本節課要研究二維幾何概型，直接切入例題，不符合學生思維的建構過程，設計一個引例，是在學生的思維上做好過渡，同時也為學生的思考提供比較、區分。而幾個問題的提出，也是讓學生體會到變量的個數與維數之間的關系，使學生在解決例題時的討論與研究更有方向感。例題的解決是本節課的難點，如何把求未知量問題轉化為幾何概型求概率問題，同時這也是本節課的探究點。如果采用教師主導式教學，牽著學生的鼻子走，則容易造成學生知其然不知其所以然。不妨嘗試采用“問題—探究”式教法。

3.共同探究

教學預設：我們用“問題—探究”式教法處理例題時，將采用如下流程：拋出問題—小組討論—達成共識，將班級分為每四人一組進行討論。

問題一：根據生活經驗，父親在什么情況才會得到報紙？

問題預設：學生可能有以下幾種結論：①送報人在7：00前把報送到。②父親在7：30分以后再上班。這兩種觀點過于片面，沒有很好地理解送報時間與離家時間的隨機性。此時，我們不妨把問題拋給學生，“是否同意這些觀點，不同意請舉例說明理由”，舉例過后，經學生總結，全班達成共識。③只要父親上班的時間晚于送報到家的時間就可得到報紙。

問題二：事件A發生即送報時間早于父親離開家的時間包含幾個隨機變量？

問題預設：一部分學生的思路會執著于某時刻是否得到報紙，因此會認為隨機變量只有一個，也會有學生認為送報時間和父親離家時間是兩個隨機變量，但原因不是很清晰。此時我們可以設計幾個問題幫助學生理清思路：

（1）送報時間與離家時間有關系嗎？

（2）送報時間與離家時間范圍分別是什么？

（3）如何用一個變量表示送報時間和離家時間？

待問題逐一討論清晰后，學生會形成送報時間與上班時間沒有必然聯系，而且兩個量的范圍不一樣，用一個量表示不現實這一想法，繼而順理成章地設出兩個變量x，y。之后，我們可以趁熱打鐵再拋給學生一個問題：“請你列出在事件A情況下x，y之間的關系式？”當我們充分探討問題一和問題二后，學生就此問題相互補充，不難給出y≥x且6.5≤x≤7.5，7≤y≤8。

問題三：比較引例與例題之間的區別，如何計算例題概率？

教學預設：這是本節課的難點，也是高潮，學生要通過合作性探究，給出問題的處理意見。根據教育學家維果斯基的“最近發展區理論”，如果前兩個問題進行得比較順利且學生接受程度比較好，這個問題我們就完全可以放手給學生，由學生類比、總結、拿出可行性方案、給出結論；如果前兩個問題進行得不夠順利或者學生接受程度一般，我們就可以幫助學生將問題拆分，首先給出引例的解題模式：“一個隨機變量—長度問題—一維問題—建立數軸”，請學生加以類比，給出例題解題模式：“兩個隨機變量——？問題——？維問題——建立？”待問題一一解決后，引導學生嘗試性計算概率。

問題預設：學生給出的方案可能包括：

（1）由一維問題聯想到二維問題，由數軸聯想到坐標系，由長度聯想到面積，轉化成幾何概型問題，之后利用公式求解概率。

（2）由事件A={（x，y）|y≥x，6.5≤x≤7.5，7≤y≤8}，聯想到線性規劃問題，而事件A的發生是圖中陰影部分面積，轉化成幾何概型問題，之后利用公式求解概率。

當然，授課過程中我們會遇到各種不同的方案，無論學生給出哪種方案，都要引導學生解決一個首要問題：“是幾何概型問題嗎？”事件A發生的概率只與構成該事件的區域面積成比例，并且事件發生在任何一點處的可能性均相等，且基本事件的個數是無限的，確定為幾何概型問題，才能利用公式求解概率。然后引導學生小結：（1）思考本題的流程，即兩個隨機變量—面積問題—二維問題—建立坐標系；（2）面積問題的概率計算P（A）=■，幫助學生理清解題思路。

四、歸納總結

課堂小結：鼓勵學生對本課進行總結，其他同學補充。

設計意圖：總結環節是本節課核心內容的提煉，熱鬧的一節課下來，學生要清楚地知道本節課自己應該獲得哪些知識，哪些方面的能力應該得到提高，同時培養歸納總結的能力及合作探究精神。

五、教學設計說明

1.前蘇聯心理學家維果茨基用“最近發展區”理論描述學習，特別強調教師的支持和同學的交流在引發學生“最近發展區”的形成，最終實現潛在的發展水平方面所起到的重要作用。本節課對知識進行層層建構，將學生的思維引入“最近發展區”，通過小組合作、交流、探究，最終解決問題。

2.如何在課堂上實施有效教學是教學研究中恒久的話題，本節課的教學通過“設置問題—解決問題—學以致用”幾個環節，將教學內容緊湊地貫穿在一起，強調過程、注重結果，為學生今后的學習提供一個參考平臺，同時也使課堂教學更有效。

3.計算機的應用體現了現代數學的實用性和廣泛性。

參考文獻：

[1]劉紹學.數學必修三[M].北京：人民教育出版社，2010.endprint

摘 要： 在新一輪課程改革的背景下，高中數學教學迫切需要改革，如何體現“學生主體，教師主導”是每個數學教師都應該關注的熱點。本文以人教版高中數學必修三《幾何概型》一課的實施為例，充分展示“將課堂還給學生”的教學理念，在學習過程中，教師不斷搭建“踏腳石”，將學生思維引入“最近發展區”，使學生面對知識難點時各個擊破，在教師提供的“臺階”的幫助下“踮踮腳”就獲取知識，真正實現了“每個學生都能得到最優化發展”。

關鍵詞： 教學目標 重難點 教學方法 教學手段 教學過程

一、教學目標與重難點分析

1.教學目標

（1）知識與技能：使學生能夠類比一維幾何概型的處理模式解決二維幾何概型問題；學會如何充分建構知識結構。

（2）過程與方法：通過小組討論，合作學習，體會二維幾何概型問題在具體情境中的呈現方式，類比、聯想建立數學模型，將未知量問題轉化為幾何概型問題，使問題得到解決。

（3）情感態度與價值觀：通過“設置問題—解決問題—學以致用”幾個環節，將教學內容緊湊地貫穿在一起，讓學生體驗到數學的“源與流”，培養學生類比、聯想、化歸的數學思想方法。

2.重、難點透視

（1）重點：如何將實際問題建立為二維幾何概型的數學模型。

（2）難點：把求未知量問題轉化為幾何概型求概率問題。

二、教學方法與教學手段

1.教學方法

本節課將采用“問題—探究”式教法和“小組合作研究”式教法。在解決如何把求未知量問題轉化為幾何概型求概率問題時主要采用“問題—探究”式教法。

2.教學手段

除了使用常規的教學手段外，還采用計算機或計算器輔助教學。

三、教學過程與設計

1.復習回顧

提問：（1）幾何概型的特點；（2）幾何概型三種常見的問題是什么？（3）幾何概型的概率如何計算？

設計意圖：本節課是一節能力提升課，我們要引導學生研究幾何概型的二維問題。解決概率問題的基礎，首先要確定概率模型，這就要求學生對古典概型和幾何概型的特點在知識上做好儲備。幾何概型三種常見的問題長度、面積、體積，是幾何概型中一維問題到二維問題再到三維問題的一個體現，為后續解決二維問題最終扣在幾何概型面積問題上，做好理論鋪墊。

2.故布疑云

引例：某人去車站等車，整點發車，請問他等車的時間不多于20分鐘的概率？

教學預設：本題是書上例題的翻版，通過第一課時的學習和剛剛的復習回顧，學生有能力得出概率值。然后，可以以一種輕松的方式，拋出以下幾個問題供學生動腦、動手。

（1）題中的隨機變量有幾個？（2）本題是哪種類型的幾何概型問題？（3）動手，試建立數軸說明這一問題。

例題：假設你家訂了一份報紙，送報人可能在早上6：30-7：30之間把報紙送到你家，你父親離開家去工作的時間在早上7：00-8：00之間，問你父親在離開家前得到報紙（事件A）的概率是多少？

設計意圖：本節課要研究二維幾何概型，直接切入例題，不符合學生思維的建構過程，設計一個引例，是在學生的思維上做好過渡，同時也為學生的思考提供比較、區分。而幾個問題的提出，也是讓學生體會到變量的個數與維數之間的關系，使學生在解決例題時的討論與研究更有方向感。例題的解決是本節課的難點，如何把求未知量問題轉化為幾何概型求概率問題，同時這也是本節課的探究點。如果采用教師主導式教學，牽著學生的鼻子走，則容易造成學生知其然不知其所以然。不妨嘗試采用“問題—探究”式教法。

3.共同探究

教學預設：我們用“問題—探究”式教法處理例題時，將采用如下流程：拋出問題—小組討論—達成共識，將班級分為每四人一組進行討論。

問題一：根據生活經驗，父親在什么情況才會得到報紙？

問題預設：學生可能有以下幾種結論：①送報人在7：00前把報送到。②父親在7：30分以后再上班。這兩種觀點過于片面，沒有很好地理解送報時間與離家時間的隨機性。此時，我們不妨把問題拋給學生，“是否同意這些觀點，不同意請舉例說明理由”，舉例過后，經學生總結，全班達成共識。③只要父親上班的時間晚于送報到家的時間就可得到報紙。

問題二：事件A發生即送報時間早于父親離開家的時間包含幾個隨機變量？

問題預設：一部分學生的思路會執著于某時刻是否得到報紙，因此會認為隨機變量只有一個，也會有學生認為送報時間和父親離家時間是兩個隨機變量，但原因不是很清晰。此時我們可以設計幾個問題幫助學生理清思路：

（1）送報時間與離家時間有關系嗎？

（2）送報時間與離家時間范圍分別是什么？

（3）如何用一個變量表示送報時間和離家時間？

待問題逐一討論清晰后，學生會形成送報時間與上班時間沒有必然聯系，而且兩個量的范圍不一樣，用一個量表示不現實這一想法，繼而順理成章地設出兩個變量x，y。之后，我們可以趁熱打鐵再拋給學生一個問題：“請你列出在事件A情況下x，y之間的關系式？”當我們充分探討問題一和問題二后，學生就此問題相互補充，不難給出y≥x且6.5≤x≤7.5，7≤y≤8。

問題三：比較引例與例題之間的區別，如何計算例題概率？

教學預設：這是本節課的難點，也是高潮，學生要通過合作性探究，給出問題的處理意見。根據教育學家維果斯基的“最近發展區理論”，如果前兩個問題進行得比較順利且學生接受程度比較好，這個問題我們就完全可以放手給學生，由學生類比、總結、拿出可行性方案、給出結論；如果前兩個問題進行得不夠順利或者學生接受程度一般，我們就可以幫助學生將問題拆分，首先給出引例的解題模式：“一個隨機變量—長度問題—一維問題—建立數軸”，請學生加以類比，給出例題解題模式：“兩個隨機變量——？問題——？維問題——建立？”待問題一一解決后，引導學生嘗試性計算概率。

問題預設：學生給出的方案可能包括：

（1）由一維問題聯想到二維問題，由數軸聯想到坐標系，由長度聯想到面積，轉化成幾何概型問題，之后利用公式求解概率。

（2）由事件A={（x，y）|y≥x，6.5≤x≤7.5，7≤y≤8}，聯想到線性規劃問題，而事件A的發生是圖中陰影部分面積，轉化成幾何概型問題，之后利用公式求解概率。

當然，授課過程中我們會遇到各種不同的方案，無論學生給出哪種方案，都要引導學生解決一個首要問題：“是幾何概型問題嗎？”事件A發生的概率只與構成該事件的區域面積成比例，并且事件發生在任何一點處的可能性均相等，且基本事件的個數是無限的，確定為幾何概型問題，才能利用公式求解概率。然后引導學生小結：（1）思考本題的流程，即兩個隨機變量—面積問題—二維問題—建立坐標系；（2）面積問題的概率計算P（A）=■，幫助學生理清解題思路。

四、歸納總結

課堂小結：鼓勵學生對本課進行總結，其他同學補充。

設計意圖：總結環節是本節課核心內容的提煉，熱鬧的一節課下來，學生要清楚地知道本節課自己應該獲得哪些知識，哪些方面的能力應該得到提高，同時培養歸納總結的能力及合作探究精神。

五、教學設計說明

1.前蘇聯心理學家維果茨基用“最近發展區”理論描述學習，特別強調教師的支持和同學的交流在引發學生“最近發展區”的形成，最終實現潛在的發展水平方面所起到的重要作用。本節課對知識進行層層建構，將學生的思維引入“最近發展區”，通過小組合作、交流、探究，最終解決問題。

2.如何在課堂上實施有效教學是教學研究中恒久的話題，本節課的教學通過“設置問題—解決問題—學以致用”幾個環節，將教學內容緊湊地貫穿在一起，強調過程、注重結果，為學生今后的學習提供一個參考平臺，同時也使課堂教學更有效。

3.計算機的應用體現了現代數學的實用性和廣泛性。

參考文獻：

[1]劉紹學.數學必修三[M].北京：人民教育出版社，2010.endprint