“理想”中的不理想

焦波+劉長英

［背景描述］

在“同課異構(gòu)”校本研修活動中，一位教師在上人教版五年級上冊“等可能性”時，意想不到地出現(xiàn)了“理想化”的結(jié)果，就是在統(tǒng)計全班學(xué)生拋硬幣的結(jié)果時，出現(xiàn)了正、反面朝上的次數(shù)正好相等的情況。對這一突如其來的“理想化”結(jié)果，學(xué)生喝彩，執(zhí)教者在震驚之后倒顯“從容”，馬上改變教學(xué)預(yù)案，刪除了展示數(shù)學(xué)家們實(shí)驗(yàn)結(jié)果的環(huán)節(jié)，直接總結(jié)拋硬幣的公平性。對執(zhí)教者的處理，聽課教師均為之詫異。

［片段回放］

一、……

二、動手實(shí)驗(yàn)，獲取數(shù)據(jù)

１．四人小組試驗(yàn)

師：這種用拋硬幣的方法決定誰先開球，到底公不公平呢？下面我們就四人一小組，一起來做一個實(shí)驗(yàn)。請同學(xué)們按下列試驗(yàn)要求，每人親自動手拋一拋硬幣，并填好記錄單。

試驗(yàn)要求：

（1）每人拋硬幣１０次，拋硬幣時用力均勻，高度適中；

（2）以小組為單位分別統(tǒng)計相關(guān)數(shù)據(jù)，填入試驗(yàn)記錄單；

（3）小組成員分工協(xié)作，看哪個小組合作得最好，完成得最快。

（各小組試驗(yàn)填表，教師巡視指導(dǎo)）

２．四大組分別匯總數(shù)據(jù)

師：請各小組將填好的記錄單交給各大組的組長，由組長匯總并填好大組匯總表。

（各大組匯總填表，教師巡視指導(dǎo)）

３．全班匯總數(shù)據(jù)

各組長匯報，教師填寫匯總表如下：

■

三、分析數(shù)據(jù)，初步體驗(yàn)

師：今天真巧，出現(xiàn)正、反面朝上的次數(shù)正好相等，從以上結(jié)果你能判斷這樣開球公平嗎？為什么？

生１：公平，因?yàn)槌霈F(xiàn)兩個面朝上的次數(shù)相等。

生２：是公平的，因?yàn)檎檬且话雽σ话搿?/p>

師：兩個面朝上的次數(shù)相等，正反面朝上的次數(shù)剛好一半對一半，就是出現(xiàn)正反面朝上的可能性相等，所以是公平的。

［案例透析］

這一課，筆者上過，也聽過多節(jié)，出現(xiàn)這一小概率事件還是第一次。面對這一案例，教師都感到困惑多多，深感概率知識儲備不足，為此我們開展了專題研討活動。現(xiàn)就研討中的收獲與思考，談點(diǎn)認(rèn)識。

思考一：學(xué)生喝彩什么？——喝彩試驗(yàn)既快又對地驗(yàn)證了自己的猜想。

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀》一書中指出：“統(tǒng)計與概率”中推理（也稱統(tǒng)計推理）屬于合情推理的范疇，是一種可能性的推理，與其他推理不同的是，由統(tǒng)計推理得到的結(jié)論無法用邏輯的方法去檢驗(yàn)。那何必進(jìn)行試驗(yàn)?zāi)兀看鸢甘强隙ǖ摹Ｒ驗(yàn)殡S機(jī)現(xiàn)象的隨機(jī)性和統(tǒng)計規(guī)律性是不可分割的，且后者需從大量數(shù)據(jù)中抽象出來。這些單憑口述、思考是無法讓人接受的。因此，教材創(chuàng)設(shè)球賽的開球情境，實(shí)際上是讓學(xué)生通過試驗(yàn)，在親歷活動中體會、理解隨機(jī)現(xiàn)象的特點(diǎn)，即“單一事件的不確定性和不可預(yù)見性，事件在經(jīng)歷大量重復(fù)試驗(yàn)中表現(xiàn)出規(guī)律性”，并不是用通過游戲的結(jié)果來猜測游戲的規(guī)則是否公平。讓學(xué)生用概率的眼光去觀察世界，用概率的頭腦去思考問題，不僅僅是以確定的，一成不變的思維方式去理解事物，這才是小學(xué)階段學(xué)習(xí)概率的目的。但在實(shí)際教學(xué)中，由于知識儲備的不足并缺乏對隨機(jī)試驗(yàn)的深切體驗(yàn)和深刻認(rèn)識，一些教師往往會在潛意識中對試驗(yàn)結(jié)果有一些錯誤的希望。如在教學(xué)“游戲規(guī)則的公平性”時，試圖用概率的統(tǒng)計意義（即用頻率估計概率的方法），引導(dǎo)學(xué)生用“猜想——驗(yàn)證”的方式來讓學(xué)生理解等可能性，或證明設(shè)計的游戲規(guī)則是否公平，這是不妥當(dāng)?shù)摹?/p>

學(xué)生的喝彩來自無知，但教師不能無為。正是教師的“無為”給了學(xué)生一個錯誤的概率觀，那就是使學(xué)生誤認(rèn)為可能性相同就是次數(shù)完全一樣。對于這些隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，教師要注意根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平和教學(xué)需要，結(jié)合試驗(yàn)中單次試驗(yàn)結(jié)果的隨機(jī)性和大量重復(fù)試驗(yàn)表現(xiàn)出的規(guī)律性對學(xué)生進(jìn)行必要的引導(dǎo)和說明，使學(xué)生在體驗(yàn)中初步感悟統(tǒng)計概率是偶然性與必然性的統(tǒng)一。

思考二：聽課者詫異源自何方？——詫異源自執(zhí)教者統(tǒng)計概率知識的缺失。

不少聽課教師認(rèn)為，執(zhí)教者不應(yīng)去掉以上環(huán)節(jié)，要讓學(xué)生經(jīng)歷頻率逼近■的過程，對這一小概率事件的出現(xiàn)可以給予肯定，但必須予以解釋。也有教師施計：可以退一步，去掉某一組的數(shù)據(jù)重新統(tǒng)計，就能看出正面朝上的次數(shù)和反面朝上的次數(shù)將越來越接近，也就不會讓學(xué)生誤認(rèn)為可能性相同就是次數(shù)完全一樣。以上觀點(diǎn)都是認(rèn)為“隨著試驗(yàn)的次數(shù)不斷增多，硬幣落地后正面朝上的次數(shù)和反面朝上的次數(shù)將越來越接近”。

也難怪教師會有這種認(rèn)識，人教版的教材培訓(xùn)和蘇教版的教參中提供的說法就是如此（受小學(xué)生認(rèn)知水平的限制，這種說法是學(xué)生比較容易理解的），從嚴(yán)格意義上講這是不科學(xué)的說法。根據(jù)統(tǒng)計數(shù)學(xué)家試驗(yàn)數(shù)據(jù)的相差數(shù)就會發(fā)現(xiàn)，隨著次數(shù)的增加，其相差數(shù)趨于越來越大，而不是越來越接近。

■

從相差數(shù)來看，試驗(yàn)結(jié)果不可能呈現(xiàn)出“拋硬幣的次數(shù)越多，拋到正面朝上和反面朝上的次數(shù)越來越接近”。所以我們希望學(xué)生得到的數(shù)據(jù)能直觀地表現(xiàn)為“拋硬幣的次數(shù)越多，拋到正面朝上和反面朝上的次數(shù)越來越接近”是不可能實(shí)現(xiàn)的。只能說數(shù)學(xué)家的千萬次試驗(yàn)，出現(xiàn)正面朝上的頻率都非常接近，而且隨著試驗(yàn)次數(shù)的不斷增多，頻率將穩(wěn)定于這個常數(shù)。

為什么呢？因?yàn)橐粋€隨機(jī)事件的發(fā)生既有隨機(jī)性（對單次試驗(yàn)來說），又存在統(tǒng)計規(guī)律性（對大量重復(fù)試驗(yàn)來說），是偶然性與必然性的統(tǒng)一。隨機(jī)事件的統(tǒng)計規(guī)律表現(xiàn)在：隨機(jī)事件的頻率（即事件發(fā)生的次數(shù)（頻數(shù)）與試驗(yàn)總次數(shù)的比值）具有穩(wěn)定性，總是在某個常數(shù)附近擺動，這個常數(shù)就叫做隨機(jī)事件的概率。概率的這種統(tǒng)計定義隱含著另一層意義，常常被大家忽略，那就是：我們沒有理由認(rèn)為取Ｘ＋１次試驗(yàn)結(jié)果的頻率會比Ｘ次試驗(yàn)結(jié)果的頻率更逼近事件發(fā)生的頻率。在課堂上引入隨機(jī)試驗(yàn)，既不是讓學(xué)生得出次數(shù)相等的結(jié)果，也不是要驗(yàn)證、證明規(guī)則的公平性，更不是要利用試驗(yàn)得到概率的估計值，而是希望學(xué)生在進(jìn)行隨機(jī)試驗(yàn)和收集數(shù)據(jù)的過程中，進(jìn)一步體會隨機(jī)的思想，感受、領(lǐng)悟等可能性。

思考三：執(zhí)教者“從容”出于什么？——從容出于無奈。

從以上分析看出，執(zhí)教者的“從容”有其合理的一面，但這種“從容”更多的是出于無奈。結(jié)合上文所述的隨機(jī)試驗(yàn)的特點(diǎn)，筆者認(rèn)為出現(xiàn)上述現(xiàn)象的原因，是因?yàn)榻處熀雎粤酥匾囊稽c(diǎn)，就是在隨機(jī)試驗(yàn)中，用試驗(yàn)的方法得出的頻率只是概率的估計值，要想得到近似程度較高的概率估計值，通常需要大量的試驗(yàn)，在有限的課堂時間中，不容易做到。正因如此，部分教師認(rèn)為，“理想化”的結(jié)果出現(xiàn)時，教師不必震驚，“等可能性”可以從概率的古典定義的角度去認(rèn)識——因?yàn)閽伒慕Y(jié)果只有兩種可能，且兩種結(jié)果的可能性相等，所以該隨機(jī)事件的概率是■，卻不能通過試驗(yàn)、游戲來驗(yàn)證、證明。試驗(yàn)、游戲則可以讓學(xué)生初步感悟統(tǒng)計概率是偶然性與必然性的統(tǒng)一，從而培養(yǎng)學(xué)生的隨機(jī)思維。

通過討論，我們的共識是“等可能性”的教學(xué)可以用“猜想——試驗(yàn)——分析——推斷”的模式來進(jìn)行，試驗(yàn)的過程可以提到課前進(jìn)行，為課堂統(tǒng)計數(shù)據(jù)節(jié)省大量時間，并用制條形統(tǒng)計圖的辦法來分析推斷比較合適。有了這些基本的認(rèn)識，我們的教師就不會因自己的缺失而無奈，我們的學(xué)生也不會因教師的無奈而缺失。

（責(zé)編金鈴）

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［背景描述］

在“同課異構(gòu)”校本研修活動中，一位教師在上人教版五年級上冊“等可能性”時，意想不到地出現(xiàn)了“理想化”的結(jié)果，就是在統(tǒng)計全班學(xué)生拋硬幣的結(jié)果時，出現(xiàn)了正、反面朝上的次數(shù)正好相等的情況。對這一突如其來的“理想化”結(jié)果，學(xué)生喝彩，執(zhí)教者在震驚之后倒顯“從容”，馬上改變教學(xué)預(yù)案，刪除了展示數(shù)學(xué)家們實(shí)驗(yàn)結(jié)果的環(huán)節(jié)，直接總結(jié)拋硬幣的公平性。對執(zhí)教者的處理，聽課教師均為之詫異。

［片段回放］

一、……

二、動手實(shí)驗(yàn)，獲取數(shù)據(jù)

１．四人小組試驗(yàn)

師：這種用拋硬幣的方法決定誰先開球，到底公不公平呢？下面我們就四人一小組，一起來做一個實(shí)驗(yàn)。請同學(xué)們按下列試驗(yàn)要求，每人親自動手拋一拋硬幣，并填好記錄單。

試驗(yàn)要求：

（1）每人拋硬幣１０次，拋硬幣時用力均勻，高度適中；

（2）以小組為單位分別統(tǒng)計相關(guān)數(shù)據(jù)，填入試驗(yàn)記錄單；

（3）小組成員分工協(xié)作，看哪個小組合作得最好，完成得最快。

（各小組試驗(yàn)填表，教師巡視指導(dǎo)）

２．四大組分別匯總數(shù)據(jù)

師：請各小組將填好的記錄單交給各大組的組長，由組長匯總并填好大組匯總表。

（各大組匯總填表，教師巡視指導(dǎo)）

３．全班匯總數(shù)據(jù)

各組長匯報，教師填寫匯總表如下：

■

三、分析數(shù)據(jù)，初步體驗(yàn)

師：今天真巧，出現(xiàn)正、反面朝上的次數(shù)正好相等，從以上結(jié)果你能判斷這樣開球公平嗎？為什么？

生１：公平，因?yàn)槌霈F(xiàn)兩個面朝上的次數(shù)相等。

生２：是公平的，因?yàn)檎檬且话雽σ话搿?/p>

師：兩個面朝上的次數(shù)相等，正反面朝上的次數(shù)剛好一半對一半，就是出現(xiàn)正反面朝上的可能性相等，所以是公平的。

［案例透析］

這一課，筆者上過，也聽過多節(jié)，出現(xiàn)這一小概率事件還是第一次。面對這一案例，教師都感到困惑多多，深感概率知識儲備不足，為此我們開展了專題研討活動。現(xiàn)就研討中的收獲與思考，談點(diǎn)認(rèn)識。

思考一：學(xué)生喝彩什么？——喝彩試驗(yàn)既快又對地驗(yàn)證了自己的猜想。

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀》一書中指出：“統(tǒng)計與概率”中推理（也稱統(tǒng)計推理）屬于合情推理的范疇，是一種可能性的推理，與其他推理不同的是，由統(tǒng)計推理得到的結(jié)論無法用邏輯的方法去檢驗(yàn)。那何必進(jìn)行試驗(yàn)?zāi)兀看鸢甘强隙ǖ摹Ｒ驗(yàn)殡S機(jī)現(xiàn)象的隨機(jī)性和統(tǒng)計規(guī)律性是不可分割的，且后者需從大量數(shù)據(jù)中抽象出來。這些單憑口述、思考是無法讓人接受的。因此，教材創(chuàng)設(shè)球賽的開球情境，實(shí)際上是讓學(xué)生通過試驗(yàn)，在親歷活動中體會、理解隨機(jī)現(xiàn)象的特點(diǎn)，即“單一事件的不確定性和不可預(yù)見性，事件在經(jīng)歷大量重復(fù)試驗(yàn)中表現(xiàn)出規(guī)律性”，并不是用通過游戲的結(jié)果來猜測游戲的規(guī)則是否公平。讓學(xué)生用概率的眼光去觀察世界，用概率的頭腦去思考問題，不僅僅是以確定的，一成不變的思維方式去理解事物，這才是小學(xué)階段學(xué)習(xí)概率的目的。但在實(shí)際教學(xué)中，由于知識儲備的不足并缺乏對隨機(jī)試驗(yàn)的深切體驗(yàn)和深刻認(rèn)識，一些教師往往會在潛意識中對試驗(yàn)結(jié)果有一些錯誤的希望。如在教學(xué)“游戲規(guī)則的公平性”時，試圖用概率的統(tǒng)計意義（即用頻率估計概率的方法），引導(dǎo)學(xué)生用“猜想——驗(yàn)證”的方式來讓學(xué)生理解等可能性，或證明設(shè)計的游戲規(guī)則是否公平，這是不妥當(dāng)?shù)摹?/p>

學(xué)生的喝彩來自無知，但教師不能無為。正是教師的“無為”給了學(xué)生一個錯誤的概率觀，那就是使學(xué)生誤認(rèn)為可能性相同就是次數(shù)完全一樣。對于這些隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，教師要注意根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平和教學(xué)需要，結(jié)合試驗(yàn)中單次試驗(yàn)結(jié)果的隨機(jī)性和大量重復(fù)試驗(yàn)表現(xiàn)出的規(guī)律性對學(xué)生進(jìn)行必要的引導(dǎo)和說明，使學(xué)生在體驗(yàn)中初步感悟統(tǒng)計概率是偶然性與必然性的統(tǒng)一。

思考二：聽課者詫異源自何方？——詫異源自執(zhí)教者統(tǒng)計概率知識的缺失。

不少聽課教師認(rèn)為，執(zhí)教者不應(yīng)去掉以上環(huán)節(jié)，要讓學(xué)生經(jīng)歷頻率逼近■的過程，對這一小概率事件的出現(xiàn)可以給予肯定，但必須予以解釋。也有教師施計：可以退一步，去掉某一組的數(shù)據(jù)重新統(tǒng)計，就能看出正面朝上的次數(shù)和反面朝上的次數(shù)將越來越接近，也就不會讓學(xué)生誤認(rèn)為可能性相同就是次數(shù)完全一樣。以上觀點(diǎn)都是認(rèn)為“隨著試驗(yàn)的次數(shù)不斷增多，硬幣落地后正面朝上的次數(shù)和反面朝上的次數(shù)將越來越接近”。

也難怪教師會有這種認(rèn)識，人教版的教材培訓(xùn)和蘇教版的教參中提供的說法就是如此（受小學(xué)生認(rèn)知水平的限制，這種說法是學(xué)生比較容易理解的），從嚴(yán)格意義上講這是不科學(xué)的說法。根據(jù)統(tǒng)計數(shù)學(xué)家試驗(yàn)數(shù)據(jù)的相差數(shù)就會發(fā)現(xiàn)，隨著次數(shù)的增加，其相差數(shù)趨于越來越大，而不是越來越接近。

■

從相差數(shù)來看，試驗(yàn)結(jié)果不可能呈現(xiàn)出“拋硬幣的次數(shù)越多，拋到正面朝上和反面朝上的次數(shù)越來越接近”。所以我們希望學(xué)生得到的數(shù)據(jù)能直觀地表現(xiàn)為“拋硬幣的次數(shù)越多，拋到正面朝上和反面朝上的次數(shù)越來越接近”是不可能實(shí)現(xiàn)的。只能說數(shù)學(xué)家的千萬次試驗(yàn)，出現(xiàn)正面朝上的頻率都非常接近，而且隨著試驗(yàn)次數(shù)的不斷增多，頻率將穩(wěn)定于這個常數(shù)。

為什么呢？因?yàn)橐粋€隨機(jī)事件的發(fā)生既有隨機(jī)性（對單次試驗(yàn)來說），又存在統(tǒng)計規(guī)律性（對大量重復(fù)試驗(yàn)來說），是偶然性與必然性的統(tǒng)一。隨機(jī)事件的統(tǒng)計規(guī)律表現(xiàn)在：隨機(jī)事件的頻率（即事件發(fā)生的次數(shù)（頻數(shù)）與試驗(yàn)總次數(shù)的比值）具有穩(wěn)定性，總是在某個常數(shù)附近擺動，這個常數(shù)就叫做隨機(jī)事件的概率。概率的這種統(tǒng)計定義隱含著另一層意義，常常被大家忽略，那就是：我們沒有理由認(rèn)為取Ｘ＋１次試驗(yàn)結(jié)果的頻率會比Ｘ次試驗(yàn)結(jié)果的頻率更逼近事件發(fā)生的頻率。在課堂上引入隨機(jī)試驗(yàn)，既不是讓學(xué)生得出次數(shù)相等的結(jié)果，也不是要驗(yàn)證、證明規(guī)則的公平性，更不是要利用試驗(yàn)得到概率的估計值，而是希望學(xué)生在進(jìn)行隨機(jī)試驗(yàn)和收集數(shù)據(jù)的過程中，進(jìn)一步體會隨機(jī)的思想，感受、領(lǐng)悟等可能性。

思考三：執(zhí)教者“從容”出于什么？——從容出于無奈。

從以上分析看出，執(zhí)教者的“從容”有其合理的一面，但這種“從容”更多的是出于無奈。結(jié)合上文所述的隨機(jī)試驗(yàn)的特點(diǎn)，筆者認(rèn)為出現(xiàn)上述現(xiàn)象的原因，是因?yàn)榻處熀雎粤酥匾囊稽c(diǎn)，就是在隨機(jī)試驗(yàn)中，用試驗(yàn)的方法得出的頻率只是概率的估計值，要想得到近似程度較高的概率估計值，通常需要大量的試驗(yàn)，在有限的課堂時間中，不容易做到。正因如此，部分教師認(rèn)為，“理想化”的結(jié)果出現(xiàn)時，教師不必震驚，“等可能性”可以從概率的古典定義的角度去認(rèn)識——因?yàn)閽伒慕Y(jié)果只有兩種可能，且兩種結(jié)果的可能性相等，所以該隨機(jī)事件的概率是■，卻不能通過試驗(yàn)、游戲來驗(yàn)證、證明。試驗(yàn)、游戲則可以讓學(xué)生初步感悟統(tǒng)計概率是偶然性與必然性的統(tǒng)一，從而培養(yǎng)學(xué)生的隨機(jī)思維。

通過討論，我們的共識是“等可能性”的教學(xué)可以用“猜想——試驗(yàn)——分析——推斷”的模式來進(jìn)行，試驗(yàn)的過程可以提到課前進(jìn)行，為課堂統(tǒng)計數(shù)據(jù)節(jié)省大量時間，并用制條形統(tǒng)計圖的辦法來分析推斷比較合適。有了這些基本的認(rèn)識，我們的教師就不會因自己的缺失而無奈，我們的學(xué)生也不會因教師的無奈而缺失。

（責(zé)編金鈴）

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［背景描述］

在“同課異構(gòu)”校本研修活動中，一位教師在上人教版五年級上冊“等可能性”時，意想不到地出現(xiàn)了“理想化”的結(jié)果，就是在統(tǒng)計全班學(xué)生拋硬幣的結(jié)果時，出現(xiàn)了正、反面朝上的次數(shù)正好相等的情況。對這一突如其來的“理想化”結(jié)果，學(xué)生喝彩，執(zhí)教者在震驚之后倒顯“從容”，馬上改變教學(xué)預(yù)案，刪除了展示數(shù)學(xué)家們實(shí)驗(yàn)結(jié)果的環(huán)節(jié)，直接總結(jié)拋硬幣的公平性。對執(zhí)教者的處理，聽課教師均為之詫異。

［片段回放］

一、……

二、動手實(shí)驗(yàn)，獲取數(shù)據(jù)

１．四人小組試驗(yàn)

師：這種用拋硬幣的方法決定誰先開球，到底公不公平呢？下面我們就四人一小組，一起來做一個實(shí)驗(yàn)。請同學(xué)們按下列試驗(yàn)要求，每人親自動手拋一拋硬幣，并填好記錄單。

試驗(yàn)要求：

（1）每人拋硬幣１０次，拋硬幣時用力均勻，高度適中；

（2）以小組為單位分別統(tǒng)計相關(guān)數(shù)據(jù)，填入試驗(yàn)記錄單；

（3）小組成員分工協(xié)作，看哪個小組合作得最好，完成得最快。

（各小組試驗(yàn)填表，教師巡視指導(dǎo)）

２．四大組分別匯總數(shù)據(jù)

師：請各小組將填好的記錄單交給各大組的組長，由組長匯總并填好大組匯總表。

（各大組匯總填表，教師巡視指導(dǎo)）

３．全班匯總數(shù)據(jù)

各組長匯報，教師填寫匯總表如下：

■

三、分析數(shù)據(jù)，初步體驗(yàn)

師：今天真巧，出現(xiàn)正、反面朝上的次數(shù)正好相等，從以上結(jié)果你能判斷這樣開球公平嗎？為什么？

生１：公平，因?yàn)槌霈F(xiàn)兩個面朝上的次數(shù)相等。

生２：是公平的，因?yàn)檎檬且话雽σ话搿?/p>

師：兩個面朝上的次數(shù)相等，正反面朝上的次數(shù)剛好一半對一半，就是出現(xiàn)正反面朝上的可能性相等，所以是公平的。

［案例透析］

這一課，筆者上過，也聽過多節(jié)，出現(xiàn)這一小概率事件還是第一次。面對這一案例，教師都感到困惑多多，深感概率知識儲備不足，為此我們開展了專題研討活動。現(xiàn)就研討中的收獲與思考，談點(diǎn)認(rèn)識。

思考一：學(xué)生喝彩什么？——喝彩試驗(yàn)既快又對地驗(yàn)證了自己的猜想。

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀》一書中指出：“統(tǒng)計與概率”中推理（也稱統(tǒng)計推理）屬于合情推理的范疇，是一種可能性的推理，與其他推理不同的是，由統(tǒng)計推理得到的結(jié)論無法用邏輯的方法去檢驗(yàn)。那何必進(jìn)行試驗(yàn)?zāi)兀看鸢甘强隙ǖ摹Ｒ驗(yàn)殡S機(jī)現(xiàn)象的隨機(jī)性和統(tǒng)計規(guī)律性是不可分割的，且后者需從大量數(shù)據(jù)中抽象出來。這些單憑口述、思考是無法讓人接受的。因此，教材創(chuàng)設(shè)球賽的開球情境，實(shí)際上是讓學(xué)生通過試驗(yàn)，在親歷活動中體會、理解隨機(jī)現(xiàn)象的特點(diǎn)，即“單一事件的不確定性和不可預(yù)見性，事件在經(jīng)歷大量重復(fù)試驗(yàn)中表現(xiàn)出規(guī)律性”，并不是用通過游戲的結(jié)果來猜測游戲的規(guī)則是否公平。讓學(xué)生用概率的眼光去觀察世界，用概率的頭腦去思考問題，不僅僅是以確定的，一成不變的思維方式去理解事物，這才是小學(xué)階段學(xué)習(xí)概率的目的。但在實(shí)際教學(xué)中，由于知識儲備的不足并缺乏對隨機(jī)試驗(yàn)的深切體驗(yàn)和深刻認(rèn)識，一些教師往往會在潛意識中對試驗(yàn)結(jié)果有一些錯誤的希望。如在教學(xué)“游戲規(guī)則的公平性”時，試圖用概率的統(tǒng)計意義（即用頻率估計概率的方法），引導(dǎo)學(xué)生用“猜想——驗(yàn)證”的方式來讓學(xué)生理解等可能性，或證明設(shè)計的游戲規(guī)則是否公平，這是不妥當(dāng)?shù)摹?/p>

學(xué)生的喝彩來自無知，但教師不能無為。正是教師的“無為”給了學(xué)生一個錯誤的概率觀，那就是使學(xué)生誤認(rèn)為可能性相同就是次數(shù)完全一樣。對于這些隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，教師要注意根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平和教學(xué)需要，結(jié)合試驗(yàn)中單次試驗(yàn)結(jié)果的隨機(jī)性和大量重復(fù)試驗(yàn)表現(xiàn)出的規(guī)律性對學(xué)生進(jìn)行必要的引導(dǎo)和說明，使學(xué)生在體驗(yàn)中初步感悟統(tǒng)計概率是偶然性與必然性的統(tǒng)一。

思考二：聽課者詫異源自何方？——詫異源自執(zhí)教者統(tǒng)計概率知識的缺失。

不少聽課教師認(rèn)為，執(zhí)教者不應(yīng)去掉以上環(huán)節(jié)，要讓學(xué)生經(jīng)歷頻率逼近■的過程，對這一小概率事件的出現(xiàn)可以給予肯定，但必須予以解釋。也有教師施計：可以退一步，去掉某一組的數(shù)據(jù)重新統(tǒng)計，就能看出正面朝上的次數(shù)和反面朝上的次數(shù)將越來越接近，也就不會讓學(xué)生誤認(rèn)為可能性相同就是次數(shù)完全一樣。以上觀點(diǎn)都是認(rèn)為“隨著試驗(yàn)的次數(shù)不斷增多，硬幣落地后正面朝上的次數(shù)和反面朝上的次數(shù)將越來越接近”。

也難怪教師會有這種認(rèn)識，人教版的教材培訓(xùn)和蘇教版的教參中提供的說法就是如此（受小學(xué)生認(rèn)知水平的限制，這種說法是學(xué)生比較容易理解的），從嚴(yán)格意義上講這是不科學(xué)的說法。根據(jù)統(tǒng)計數(shù)學(xué)家試驗(yàn)數(shù)據(jù)的相差數(shù)就會發(fā)現(xiàn)，隨著次數(shù)的增加，其相差數(shù)趨于越來越大，而不是越來越接近。

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從相差數(shù)來看，試驗(yàn)結(jié)果不可能呈現(xiàn)出“拋硬幣的次數(shù)越多，拋到正面朝上和反面朝上的次數(shù)越來越接近”。所以我們希望學(xué)生得到的數(shù)據(jù)能直觀地表現(xiàn)為“拋硬幣的次數(shù)越多，拋到正面朝上和反面朝上的次數(shù)越來越接近”是不可能實(shí)現(xiàn)的。只能說數(shù)學(xué)家的千萬次試驗(yàn)，出現(xiàn)正面朝上的頻率都非常接近，而且隨著試驗(yàn)次數(shù)的不斷增多，頻率將穩(wěn)定于這個常數(shù)。

為什么呢？因?yàn)橐粋€隨機(jī)事件的發(fā)生既有隨機(jī)性（對單次試驗(yàn)來說），又存在統(tǒng)計規(guī)律性（對大量重復(fù)試驗(yàn)來說），是偶然性與必然性的統(tǒng)一。隨機(jī)事件的統(tǒng)計規(guī)律表現(xiàn)在：隨機(jī)事件的頻率（即事件發(fā)生的次數(shù)（頻數(shù)）與試驗(yàn)總次數(shù)的比值）具有穩(wěn)定性，總是在某個常數(shù)附近擺動，這個常數(shù)就叫做隨機(jī)事件的概率。概率的這種統(tǒng)計定義隱含著另一層意義，常常被大家忽略，那就是：我們沒有理由認(rèn)為取Ｘ＋１次試驗(yàn)結(jié)果的頻率會比Ｘ次試驗(yàn)結(jié)果的頻率更逼近事件發(fā)生的頻率。在課堂上引入隨機(jī)試驗(yàn)，既不是讓學(xué)生得出次數(shù)相等的結(jié)果，也不是要驗(yàn)證、證明規(guī)則的公平性，更不是要利用試驗(yàn)得到概率的估計值，而是希望學(xué)生在進(jìn)行隨機(jī)試驗(yàn)和收集數(shù)據(jù)的過程中，進(jìn)一步體會隨機(jī)的思想，感受、領(lǐng)悟等可能性。

思考三：執(zhí)教者“從容”出于什么？——從容出于無奈。

從以上分析看出，執(zhí)教者的“從容”有其合理的一面，但這種“從容”更多的是出于無奈。結(jié)合上文所述的隨機(jī)試驗(yàn)的特點(diǎn)，筆者認(rèn)為出現(xiàn)上述現(xiàn)象的原因，是因?yàn)榻處熀雎粤酥匾囊稽c(diǎn)，就是在隨機(jī)試驗(yàn)中，用試驗(yàn)的方法得出的頻率只是概率的估計值，要想得到近似程度較高的概率估計值，通常需要大量的試驗(yàn)，在有限的課堂時間中，不容易做到。正因如此，部分教師認(rèn)為，“理想化”的結(jié)果出現(xiàn)時，教師不必震驚，“等可能性”可以從概率的古典定義的角度去認(rèn)識——因?yàn)閽伒慕Y(jié)果只有兩種可能，且兩種結(jié)果的可能性相等，所以該隨機(jī)事件的概率是■，卻不能通過試驗(yàn)、游戲來驗(yàn)證、證明。試驗(yàn)、游戲則可以讓學(xué)生初步感悟統(tǒng)計概率是偶然性與必然性的統(tǒng)一，從而培養(yǎng)學(xué)生的隨機(jī)思維。

通過討論，我們的共識是“等可能性”的教學(xué)可以用“猜想——試驗(yàn)——分析——推斷”的模式來進(jìn)行，試驗(yàn)的過程可以提到課前進(jìn)行，為課堂統(tǒng)計數(shù)據(jù)節(jié)省大量時間，并用制條形統(tǒng)計圖的辦法來分析推斷比較合適。有了這些基本的認(rèn)識，我們的教師就不會因自己的缺失而無奈，我們的學(xué)生也不會因教師的無奈而缺失。

（責(zé)編金鈴）

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