巧用數(shù)軸,演繹精彩課堂

戴小軍

案例背景：

我認為要上好復(fù)習(xí)課，首先要引導(dǎo)學(xué)生溫故知新，其次要突出復(fù)習(xí)課承上啟下的作用。溫州市小學(xué)數(shù)學(xué)六年級備課會以“如何上好復(fù)習(xí)課”為主題展開研討，在確定要教學(xué)“數(shù)的認識”一課時，我發(fā)現(xiàn)這一課的概念非常多，而且容易混淆。如何讓學(xué)生清晰地建立數(shù)的概念體系，是這一課的教學(xué)難點。基于以上認識，我以數(shù)形結(jié)合和溫故知新為主線，設(shè)計“數(shù)的認識”一課的教學(xué)。

案例描述：

課始，先讓學(xué)生對所學(xué)的數(shù)進行系統(tǒng)梳理，把小學(xué)階段學(xué)過的數(shù)分為負數(shù)、０、正數(shù)三類，形成一個完整的知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖，再把復(fù)習(xí)范圍確定在正數(shù)以內(nèi)，引導(dǎo)學(xué)生回憶正數(shù)范圍內(nèi)學(xué)過的數(shù)有分數(shù)、小數(shù)、百分數(shù)等，然后對這些數(shù)逐一復(fù)習(xí)。

教學(xué)片斷一：

師：誰來介紹自然數(shù)２和９？

生１：２是偶數(shù)，并且是最小的偶數(shù)。

生２：２既是質(zhì)數(shù)，也是８的因數(shù)。

生３：９既是奇數(shù)，也是合數(shù)。

生４：９既是１８的因數(shù)，也是３的倍數(shù)。

師：先說一說什么是因數(shù)、倍數(shù)，然后找出８的因數(shù)與倍數(shù)并在數(shù)軸上表示出來。

生５：■

師：仔細觀察數(shù)軸，因數(shù)與倍數(shù)各有什么特征？

生６：我發(fā)現(xiàn)一個數(shù)的因數(shù)個數(shù)是有限的，而倍數(shù)的個數(shù)是無限的。

生７：我發(fā)現(xiàn)一個數(shù)最大的因數(shù)是它本身，最小的倍數(shù)也是它本身。

……

通過問題，引導(dǎo)學(xué)生回顧所學(xué)知識并逐一進行梳理。

教學(xué)片斷二：

師：什么叫奇數(shù)、偶數(shù)？奇數(shù)有哪些？偶數(shù)有哪些？奇數(shù)、偶數(shù)的個數(shù)有多少？

師：什么叫質(zhì)數(shù)、合數(shù)？質(zhì)數(shù)有哪些？合數(shù)有哪些？（讓學(xué)生以“開火車”的形式報２０以內(nèi)的質(zhì)數(shù)、合數(shù)）質(zhì)數(shù)、合數(shù)的個數(shù)有多少？

師（出示下圖）：觀察奇數(shù)、偶數(shù)與質(zhì)數(shù)、合數(shù)的數(shù)軸，它們有什么區(qū)別？

■

生１：從分布上看，奇數(shù)、偶數(shù)出現(xiàn)得很有規(guī)律，都是相差２，而質(zhì)數(shù)與合數(shù)的分布是雜亂無章的。

生２：從分類上看，所有非零自然數(shù)是按是否是２的倍數(shù)分為奇數(shù)、偶數(shù)，而按因數(shù)的個數(shù)來分，除了質(zhì)數(shù)、合數(shù)外，還有一個１。

生３：所有的奇數(shù)不一定是質(zhì)數(shù)，也有合數(shù)；所有的偶數(shù)除了２是質(zhì)數(shù)外，其余的都是合數(shù)。

生４：數(shù)軸越往右，質(zhì)數(shù)出現(xiàn)的頻率越低，合數(shù)出現(xiàn)的頻率越高。

生５：從質(zhì)數(shù)的數(shù)軸上看，除了２、３兩個連續(xù)的自然數(shù)都是質(zhì)數(shù)外，在右邊的數(shù)中就再也找不到兩個連續(xù)自然數(shù)都是質(zhì)數(shù)了。

生６：從合數(shù)的數(shù)軸上看，有三個連續(xù)的自然數(shù)都是合數(shù)，也有四個連續(xù)的自然數(shù)都是合數(shù)，那最多有幾個連續(xù)的自然數(shù)都是合數(shù)呢？

……

通過以上討論，使學(xué)生深刻理解了這些數(shù)的概念。

教學(xué)片斷三：

師：首先，請同學(xué)們在數(shù)軸上標出０．１、２．２５、一個無限小數(shù)這三個數(shù)。

師：同學(xué)們標出前兩個小數(shù)沒有問題，那你們能找到一個無限小數(shù)嗎？

生：■、■……

師：剛才同學(xué)們找的都是無限循環(huán)小數(shù)，那你能找出一個無限不循環(huán)小數(shù)嗎？

（學(xué)生陷入深深的沉思）

師：同學(xué)們到了初中后，就可以找到很多無限不循環(huán)小數(shù)了。

……

這樣進行復(fù)習(xí)教學(xué)，讓學(xué)生厘清了小數(shù)的分類情況（小數(shù)可以分為有限小數(shù)、無限小數(shù)，無限小數(shù)又可分為無限循環(huán)小數(shù)和無限不循環(huán)小數(shù)），對學(xué)生的思維也提出了更高的要求。如學(xué)生只知道一個無限不循環(huán)小數(shù)π，但又無法找到一個具體的點表示π。教學(xué)中，教師可以告訴學(xué)生“初中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時可以找到很多點表示無限不循環(huán)小數(shù)”，以此激發(fā)學(xué)生的求知欲望。

教學(xué)片斷四：

師：這兩個分數(shù)又在數(shù)軸上的哪一個點？

師：同學(xué)們，所有的分數(shù)可以分為哪幾類？

生１：我將分數(shù)分為真分數(shù)、假分數(shù)兩大類。

師：什么叫真、假分數(shù)？

生1：看分母與分子的大小。

師：在數(shù)軸上看，真分數(shù)、假分數(shù)都分布在哪里？（生答略）

師（出示下圖）：請同學(xué)們仔細觀察，是真分數(shù)多，還是假分數(shù)多？

■

生２：從數(shù)軸上看，假分數(shù)的范圍更廣，所以我認為假分數(shù)多。

生３：我認為真分數(shù)、假分數(shù)都是無限個，所以無法比較。

生４：假分數(shù)的分布廣，所以多。

……

師：我們來做個報數(shù)的游戲，你們報一個數(shù)，我報一個數(shù)，并想一想從中發(fā)現(xiàn)了什么。（師生玩報數(shù)游戲）

生５：我報一個數(shù)，老師也能報一個數(shù)，所以報的數(shù)一樣多。

……

通過游戲，讓學(xué)生真正感受到真、假分數(shù)可以一一對應(yīng)，使學(xué)生初步感知所學(xué)內(nèi)容，為后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

教學(xué)反思：

１．?dāng)?shù)形結(jié)合，突破難點

小學(xué)階段所學(xué)的數(shù)的概念非常多，很多數(shù)的概念只是一字之差，意思則完全不同，導(dǎo)致學(xué)生對這些數(shù)的概念容易產(chǎn)生混淆。如何在六年級的最后階段讓學(xué)生深刻理解數(shù)的概念的本質(zhì)特征，更好地溝通它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，一直是困擾我們教師的重要問題。

數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法。所謂數(shù)形結(jié)合，就是在研究數(shù)學(xué)問題時，由數(shù)思形、見形思數(shù)，使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動化、簡單化，變抽象思維為形象思維，有助于學(xué)生把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)。正如著名數(shù)學(xué)家華羅庚所說的“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”。因此，本堂課以數(shù)軸為主線，幫助學(xué)生梳理小學(xué)階段所有的數(shù)的概念。小學(xué)階段學(xué)的數(shù)都屬于實數(shù)，實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的。所以，課堂中運用數(shù)形結(jié)合的思想方法進行教學(xué)，使學(xué)生對數(shù)的概念的理解清晰、深刻，既突破了教學(xué)難點，又為學(xué)生初中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下扎實的基礎(chǔ)。

如在復(fù)習(xí)因數(shù)、倍數(shù)的環(huán)節(jié)中，通過數(shù)軸既使學(xué)生直觀地理解因數(shù)與倍數(shù)的特征、一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的、因數(shù)的個數(shù)是有限的，又使學(xué)生形象地看到一個數(shù)的最大因數(shù)與最小倍數(shù)都是它本身。又如，在復(fù)習(xí)奇數(shù)、偶數(shù)和質(zhì)數(shù)、合數(shù)時，通過對數(shù)軸的觀察，學(xué)生可以清晰地發(fā)現(xiàn)奇數(shù)、偶數(shù)與質(zhì)數(shù)、合數(shù)的分布存在明顯區(qū)別，即奇數(shù)、偶數(shù)分布十分規(guī)則，而質(zhì)數(shù)、合數(shù)的分布是雜亂無章的。通過想象數(shù)軸上質(zhì)數(shù)、合數(shù)的出現(xiàn)頻率，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)質(zhì)數(shù)出現(xiàn)的頻率不斷下降，而合數(shù)出現(xiàn)的頻率不斷上升，從而培養(yǎng)了學(xué)生的觀察和概括能力。再如，在復(fù)習(xí)、梳理分數(shù)的過程中，通過讓學(xué)生尋找真分數(shù)、假分數(shù)在數(shù)軸上的區(qū)域，讓學(xué)生深刻地理解了真分數(shù)、假分數(shù)的意義，同時引發(fā)學(xué)生對真分數(shù)、假分數(shù)究竟誰多誰少的思考。從數(shù)軸上看，大部分學(xué)生會認為假分數(shù)多，但也有的學(xué)生認為不一定，學(xué)生在爭論這一問題的過程中，提高了他們的辨析能力。這一問題也讓學(xué)生在形象思維與抽象思維之間架起了一座溝通的橋梁，并通過報數(shù)游戲，向?qū)W生滲透了一一對應(yīng)的思想。數(shù)形結(jié)合既讓學(xué)生清晰地梳理了小學(xué)階段學(xué)過的數(shù)，解決了數(shù)的概念復(fù)習(xí)的疑難問題，又提高了學(xué)生的分析能力和解決數(shù)學(xué)問題的能力。

２．形成網(wǎng)絡(luò)圖，溫故知新

新課程理念下的復(fù)習(xí)課有兩大任務(wù)：一是理，即對所學(xué)的知識進行系統(tǒng)整理，使之豎成線、橫成片、結(jié)成網(wǎng)；二是通，即將所學(xué)知識融會貫通，弄清知識的來龍去脈，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下扎實的基礎(chǔ)。

小學(xué)數(shù)學(xué)中數(shù)的概念繁多雜亂，猶如一顆顆斷了線的“珍珠”，如何在復(fù)習(xí)課中把這些散落的“珍珠”串成線、織成網(wǎng)，使數(shù)的概念形成一個整體呢？本節(jié)課教學(xué)以數(shù)軸為主線，以實數(shù)與數(shù)軸一一對應(yīng)為核心，引導(dǎo)學(xué)生系統(tǒng)地梳理了小學(xué)階段學(xué)過的數(shù)，使學(xué)生對數(shù)的概念清晰、深刻。小學(xué)數(shù)學(xué)的大部分數(shù)都屬于正數(shù)范圍內(nèi)，那么正數(shù)范圍內(nèi)的數(shù)有非零自然數(shù)和分數(shù)、小數(shù)，以這條主線梳理數(shù)的概念十分清晰，能讓學(xué)生構(gòu)成知識網(wǎng)絡(luò)圖（如下）。

■

古代大教育家孔子曰：“溫故而知新?！痹趶?fù)習(xí)課教學(xué)中，教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生“溫故”，更要使學(xué)生“知新”。如在復(fù)習(xí)奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)時，讓學(xué)生觀察數(shù)在數(shù)軸上的分布規(guī)律，感知奇數(shù)、偶數(shù)分布的規(guī)則和質(zhì)數(shù)、合數(shù)分布的不規(guī)則；讓學(xué)生想象質(zhì)數(shù)、合數(shù)在數(shù)軸上的出現(xiàn)頻率，培養(yǎng)學(xué)生的觀察和概括能力；辨析是否還有像２、３兩個連續(xù)自然數(shù)都是質(zhì)數(shù)的情況，思考最多有幾個連續(xù)自然數(shù)都是合數(shù)的問題，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維方式；當(dāng)學(xué)生找到無限小數(shù)時，追問學(xué)生能否在數(shù)軸上找到一個點表示無限不循環(huán)小數(shù)，這樣既引導(dǎo)學(xué)生梳理了小數(shù)的分類，又極大地激發(fā)了學(xué)生的求知欲望；讓學(xué)生辨析真分數(shù)多還是假分數(shù)多時，既是對學(xué)生思維方式的一次突破，又滲透了一一對應(yīng)的思想……

這樣巧用數(shù)軸進行數(shù)的概念的復(fù)習(xí)教學(xué)，充分體現(xiàn)了復(fù)習(xí)課不僅要“溫故”，而且要“知新”，使學(xué)生獲得真正的發(fā)展。

（責(zé)編杜華）

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案例背景：

我認為要上好復(fù)習(xí)課，首先要引導(dǎo)學(xué)生溫故知新，其次要突出復(fù)習(xí)課承上啟下的作用。溫州市小學(xué)數(shù)學(xué)六年級備課會以“如何上好復(fù)習(xí)課”為主題展開研討，在確定要教學(xué)“數(shù)的認識”一課時，我發(fā)現(xiàn)這一課的概念非常多，而且容易混淆。如何讓學(xué)生清晰地建立數(shù)的概念體系，是這一課的教學(xué)難點?；谝陨险J識，我以數(shù)形結(jié)合和溫故知新為主線，設(shè)計“數(shù)的認識”一課的教學(xué)。

案例描述：

課始，先讓學(xué)生對所學(xué)的數(shù)進行系統(tǒng)梳理，把小學(xué)階段學(xué)過的數(shù)分為負數(shù)、０、正數(shù)三類，形成一個完整的知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖，再把復(fù)習(xí)范圍確定在正數(shù)以內(nèi)，引導(dǎo)學(xué)生回憶正數(shù)范圍內(nèi)學(xué)過的數(shù)有分數(shù)、小數(shù)、百分數(shù)等，然后對這些數(shù)逐一復(fù)習(xí)。

教學(xué)片斷一：

師：誰來介紹自然數(shù)２和９？

生１：２是偶數(shù)，并且是最小的偶數(shù)。

生２：２既是質(zhì)數(shù)，也是８的因數(shù)。

生３：９既是奇數(shù)，也是合數(shù)。

生４：９既是１８的因數(shù)，也是３的倍數(shù)。

師：先說一說什么是因數(shù)、倍數(shù)，然后找出８的因數(shù)與倍數(shù)并在數(shù)軸上表示出來。

生５：■

師：仔細觀察數(shù)軸，因數(shù)與倍數(shù)各有什么特征？

生６：我發(fā)現(xiàn)一個數(shù)的因數(shù)個數(shù)是有限的，而倍數(shù)的個數(shù)是無限的。

生７：我發(fā)現(xiàn)一個數(shù)最大的因數(shù)是它本身，最小的倍數(shù)也是它本身。

……

通過問題，引導(dǎo)學(xué)生回顧所學(xué)知識并逐一進行梳理。

教學(xué)片斷二：

師：什么叫奇數(shù)、偶數(shù)？奇數(shù)有哪些？偶數(shù)有哪些？奇數(shù)、偶數(shù)的個數(shù)有多少？

師：什么叫質(zhì)數(shù)、合數(shù)？質(zhì)數(shù)有哪些？合數(shù)有哪些？（讓學(xué)生以“開火車”的形式報２０以內(nèi)的質(zhì)數(shù)、合數(shù)）質(zhì)數(shù)、合數(shù)的個數(shù)有多少？

師（出示下圖）：觀察奇數(shù)、偶數(shù)與質(zhì)數(shù)、合數(shù)的數(shù)軸，它們有什么區(qū)別？

■

生１：從分布上看，奇數(shù)、偶數(shù)出現(xiàn)得很有規(guī)律，都是相差２，而質(zhì)數(shù)與合數(shù)的分布是雜亂無章的。

生２：從分類上看，所有非零自然數(shù)是按是否是２的倍數(shù)分為奇數(shù)、偶數(shù)，而按因數(shù)的個數(shù)來分，除了質(zhì)數(shù)、合數(shù)外，還有一個１。

生３：所有的奇數(shù)不一定是質(zhì)數(shù)，也有合數(shù)；所有的偶數(shù)除了２是質(zhì)數(shù)外，其余的都是合數(shù)。

生４：數(shù)軸越往右，質(zhì)數(shù)出現(xiàn)的頻率越低，合數(shù)出現(xiàn)的頻率越高。

生５：從質(zhì)數(shù)的數(shù)軸上看，除了２、３兩個連續(xù)的自然數(shù)都是質(zhì)數(shù)外，在右邊的數(shù)中就再也找不到兩個連續(xù)自然數(shù)都是質(zhì)數(shù)了。

生６：從合數(shù)的數(shù)軸上看，有三個連續(xù)的自然數(shù)都是合數(shù)，也有四個連續(xù)的自然數(shù)都是合數(shù)，那最多有幾個連續(xù)的自然數(shù)都是合數(shù)呢？

……

通過以上討論，使學(xué)生深刻理解了這些數(shù)的概念。

教學(xué)片斷三：

師：首先，請同學(xué)們在數(shù)軸上標出０．１、２．２５、一個無限小數(shù)這三個數(shù)。

師：同學(xué)們標出前兩個小數(shù)沒有問題，那你們能找到一個無限小數(shù)嗎？

生：■、■……

師：剛才同學(xué)們找的都是無限循環(huán)小數(shù)，那你能找出一個無限不循環(huán)小數(shù)嗎？

（學(xué)生陷入深深的沉思）

師：同學(xué)們到了初中后，就可以找到很多無限不循環(huán)小數(shù)了。

……

這樣進行復(fù)習(xí)教學(xué)，讓學(xué)生厘清了小數(shù)的分類情況（小數(shù)可以分為有限小數(shù)、無限小數(shù)，無限小數(shù)又可分為無限循環(huán)小數(shù)和無限不循環(huán)小數(shù)），對學(xué)生的思維也提出了更高的要求。如學(xué)生只知道一個無限不循環(huán)小數(shù)π，但又無法找到一個具體的點表示π。教學(xué)中，教師可以告訴學(xué)生“初中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時可以找到很多點表示無限不循環(huán)小數(shù)”，以此激發(fā)學(xué)生的求知欲望。

教學(xué)片斷四：

師：這兩個分數(shù)又在數(shù)軸上的哪一個點？

師：同學(xué)們，所有的分數(shù)可以分為哪幾類？

生１：我將分數(shù)分為真分數(shù)、假分數(shù)兩大類。

師：什么叫真、假分數(shù)？

生1：看分母與分子的大小。

師：在數(shù)軸上看，真分數(shù)、假分數(shù)都分布在哪里？（生答略）

師（出示下圖）：請同學(xué)們仔細觀察，是真分數(shù)多，還是假分數(shù)多？

■

生２：從數(shù)軸上看，假分數(shù)的范圍更廣，所以我認為假分數(shù)多。

生３：我認為真分數(shù)、假分數(shù)都是無限個，所以無法比較。

生４：假分數(shù)的分布廣，所以多。

……

師：我們來做個報數(shù)的游戲，你們報一個數(shù)，我報一個數(shù)，并想一想從中發(fā)現(xiàn)了什么。（師生玩報數(shù)游戲）

生５：我報一個數(shù)，老師也能報一個數(shù)，所以報的數(shù)一樣多。

……

通過游戲，讓學(xué)生真正感受到真、假分數(shù)可以一一對應(yīng)，使學(xué)生初步感知所學(xué)內(nèi)容，為后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

教學(xué)反思：

１．?dāng)?shù)形結(jié)合，突破難點

小學(xué)階段所學(xué)的數(shù)的概念非常多，很多數(shù)的概念只是一字之差，意思則完全不同，導(dǎo)致學(xué)生對這些數(shù)的概念容易產(chǎn)生混淆。如何在六年級的最后階段讓學(xué)生深刻理解數(shù)的概念的本質(zhì)特征，更好地溝通它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，一直是困擾我們教師的重要問題。

數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法。所謂數(shù)形結(jié)合，就是在研究數(shù)學(xué)問題時，由數(shù)思形、見形思數(shù)，使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動化、簡單化，變抽象思維為形象思維，有助于學(xué)生把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)。正如著名數(shù)學(xué)家華羅庚所說的“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”。因此，本堂課以數(shù)軸為主線，幫助學(xué)生梳理小學(xué)階段所有的數(shù)的概念。小學(xué)階段學(xué)的數(shù)都屬于實數(shù)，實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的。所以，課堂中運用數(shù)形結(jié)合的思想方法進行教學(xué)，使學(xué)生對數(shù)的概念的理解清晰、深刻，既突破了教學(xué)難點，又為學(xué)生初中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下扎實的基礎(chǔ)。

如在復(fù)習(xí)因數(shù)、倍數(shù)的環(huán)節(jié)中，通過數(shù)軸既使學(xué)生直觀地理解因數(shù)與倍數(shù)的特征、一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的、因數(shù)的個數(shù)是有限的，又使學(xué)生形象地看到一個數(shù)的最大因數(shù)與最小倍數(shù)都是它本身。又如，在復(fù)習(xí)奇數(shù)、偶數(shù)和質(zhì)數(shù)、合數(shù)時，通過對數(shù)軸的觀察，學(xué)生可以清晰地發(fā)現(xiàn)奇數(shù)、偶數(shù)與質(zhì)數(shù)、合數(shù)的分布存在明顯區(qū)別，即奇數(shù)、偶數(shù)分布十分規(guī)則，而質(zhì)數(shù)、合數(shù)的分布是雜亂無章的。通過想象數(shù)軸上質(zhì)數(shù)、合數(shù)的出現(xiàn)頻率，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)質(zhì)數(shù)出現(xiàn)的頻率不斷下降，而合數(shù)出現(xiàn)的頻率不斷上升，從而培養(yǎng)了學(xué)生的觀察和概括能力。再如，在復(fù)習(xí)、梳理分數(shù)的過程中，通過讓學(xué)生尋找真分數(shù)、假分數(shù)在數(shù)軸上的區(qū)域，讓學(xué)生深刻地理解了真分數(shù)、假分數(shù)的意義，同時引發(fā)學(xué)生對真分數(shù)、假分數(shù)究竟誰多誰少的思考。從數(shù)軸上看，大部分學(xué)生會認為假分數(shù)多，但也有的學(xué)生認為不一定，學(xué)生在爭論這一問題的過程中，提高了他們的辨析能力。這一問題也讓學(xué)生在形象思維與抽象思維之間架起了一座溝通的橋梁，并通過報數(shù)游戲，向?qū)W生滲透了一一對應(yīng)的思想。數(shù)形結(jié)合既讓學(xué)生清晰地梳理了小學(xué)階段學(xué)過的數(shù)，解決了數(shù)的概念復(fù)習(xí)的疑難問題，又提高了學(xué)生的分析能力和解決數(shù)學(xué)問題的能力。

２．形成網(wǎng)絡(luò)圖，溫故知新

新課程理念下的復(fù)習(xí)課有兩大任務(wù)：一是理，即對所學(xué)的知識進行系統(tǒng)整理，使之豎成線、橫成片、結(jié)成網(wǎng)；二是通，即將所學(xué)知識融會貫通，弄清知識的來龍去脈，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下扎實的基礎(chǔ)。

小學(xué)數(shù)學(xué)中數(shù)的概念繁多雜亂，猶如一顆顆斷了線的“珍珠”，如何在復(fù)習(xí)課中把這些散落的“珍珠”串成線、織成網(wǎng)，使數(shù)的概念形成一個整體呢？本節(jié)課教學(xué)以數(shù)軸為主線，以實數(shù)與數(shù)軸一一對應(yīng)為核心，引導(dǎo)學(xué)生系統(tǒng)地梳理了小學(xué)階段學(xué)過的數(shù)，使學(xué)生對數(shù)的概念清晰、深刻。小學(xué)數(shù)學(xué)的大部分數(shù)都屬于正數(shù)范圍內(nèi)，那么正數(shù)范圍內(nèi)的數(shù)有非零自然數(shù)和分數(shù)、小數(shù)，以這條主線梳理數(shù)的概念十分清晰，能讓學(xué)生構(gòu)成知識網(wǎng)絡(luò)圖（如下）。

■

古代大教育家孔子曰：“溫故而知新。”在復(fù)習(xí)課教學(xué)中，教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生“溫故”，更要使學(xué)生“知新”。如在復(fù)習(xí)奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)時，讓學(xué)生觀察數(shù)在數(shù)軸上的分布規(guī)律，感知奇數(shù)、偶數(shù)分布的規(guī)則和質(zhì)數(shù)、合數(shù)分布的不規(guī)則；讓學(xué)生想象質(zhì)數(shù)、合數(shù)在數(shù)軸上的出現(xiàn)頻率，培養(yǎng)學(xué)生的觀察和概括能力；辨析是否還有像２、３兩個連續(xù)自然數(shù)都是質(zhì)數(shù)的情況，思考最多有幾個連續(xù)自然數(shù)都是合數(shù)的問題，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維方式；當(dāng)學(xué)生找到無限小數(shù)時，追問學(xué)生能否在數(shù)軸上找到一個點表示無限不循環(huán)小數(shù)，這樣既引導(dǎo)學(xué)生梳理了小數(shù)的分類，又極大地激發(fā)了學(xué)生的求知欲望；讓學(xué)生辨析真分數(shù)多還是假分數(shù)多時，既是對學(xué)生思維方式的一次突破，又滲透了一一對應(yīng)的思想……

這樣巧用數(shù)軸進行數(shù)的概念的復(fù)習(xí)教學(xué)，充分體現(xiàn)了復(fù)習(xí)課不僅要“溫故”，而且要“知新”，使學(xué)生獲得真正的發(fā)展。

（責(zé)編杜華）

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案例背景：

我認為要上好復(fù)習(xí)課，首先要引導(dǎo)學(xué)生溫故知新，其次要突出復(fù)習(xí)課承上啟下的作用。溫州市小學(xué)數(shù)學(xué)六年級備課會以“如何上好復(fù)習(xí)課”為主題展開研討，在確定要教學(xué)“數(shù)的認識”一課時，我發(fā)現(xiàn)這一課的概念非常多，而且容易混淆。如何讓學(xué)生清晰地建立數(shù)的概念體系，是這一課的教學(xué)難點?；谝陨险J識，我以數(shù)形結(jié)合和溫故知新為主線，設(shè)計“數(shù)的認識”一課的教學(xué)。

案例描述：

課始，先讓學(xué)生對所學(xué)的數(shù)進行系統(tǒng)梳理，把小學(xué)階段學(xué)過的數(shù)分為負數(shù)、０、正數(shù)三類，形成一個完整的知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖，再把復(fù)習(xí)范圍確定在正數(shù)以內(nèi)，引導(dǎo)學(xué)生回憶正數(shù)范圍內(nèi)學(xué)過的數(shù)有分數(shù)、小數(shù)、百分數(shù)等，然后對這些數(shù)逐一復(fù)習(xí)。

教學(xué)片斷一：

師：誰來介紹自然數(shù)２和９？

生１：２是偶數(shù)，并且是最小的偶數(shù)。

生２：２既是質(zhì)數(shù)，也是８的因數(shù)。

生３：９既是奇數(shù)，也是合數(shù)。

生４：９既是１８的因數(shù)，也是３的倍數(shù)。

師：先說一說什么是因數(shù)、倍數(shù)，然后找出８的因數(shù)與倍數(shù)并在數(shù)軸上表示出來。

生５：■

師：仔細觀察數(shù)軸，因數(shù)與倍數(shù)各有什么特征？

生６：我發(fā)現(xiàn)一個數(shù)的因數(shù)個數(shù)是有限的，而倍數(shù)的個數(shù)是無限的。

生７：我發(fā)現(xiàn)一個數(shù)最大的因數(shù)是它本身，最小的倍數(shù)也是它本身。

……

通過問題，引導(dǎo)學(xué)生回顧所學(xué)知識并逐一進行梳理。

教學(xué)片斷二：

師：什么叫奇數(shù)、偶數(shù)？奇數(shù)有哪些？偶數(shù)有哪些？奇數(shù)、偶數(shù)的個數(shù)有多少？

師：什么叫質(zhì)數(shù)、合數(shù)？質(zhì)數(shù)有哪些？合數(shù)有哪些？（讓學(xué)生以“開火車”的形式報２０以內(nèi)的質(zhì)數(shù)、合數(shù)）質(zhì)數(shù)、合數(shù)的個數(shù)有多少？

師（出示下圖）：觀察奇數(shù)、偶數(shù)與質(zhì)數(shù)、合數(shù)的數(shù)軸，它們有什么區(qū)別？

■

生１：從分布上看，奇數(shù)、偶數(shù)出現(xiàn)得很有規(guī)律，都是相差２，而質(zhì)數(shù)與合數(shù)的分布是雜亂無章的。

生２：從分類上看，所有非零自然數(shù)是按是否是２的倍數(shù)分為奇數(shù)、偶數(shù)，而按因數(shù)的個數(shù)來分，除了質(zhì)數(shù)、合數(shù)外，還有一個１。

生３：所有的奇數(shù)不一定是質(zhì)數(shù)，也有合數(shù)；所有的偶數(shù)除了２是質(zhì)數(shù)外，其余的都是合數(shù)。

生４：數(shù)軸越往右，質(zhì)數(shù)出現(xiàn)的頻率越低，合數(shù)出現(xiàn)的頻率越高。

生５：從質(zhì)數(shù)的數(shù)軸上看，除了２、３兩個連續(xù)的自然數(shù)都是質(zhì)數(shù)外，在右邊的數(shù)中就再也找不到兩個連續(xù)自然數(shù)都是質(zhì)數(shù)了。

生６：從合數(shù)的數(shù)軸上看，有三個連續(xù)的自然數(shù)都是合數(shù)，也有四個連續(xù)的自然數(shù)都是合數(shù)，那最多有幾個連續(xù)的自然數(shù)都是合數(shù)呢？

……

通過以上討論，使學(xué)生深刻理解了這些數(shù)的概念。

教學(xué)片斷三：

師：首先，請同學(xué)們在數(shù)軸上標出０．１、２．２５、一個無限小數(shù)這三個數(shù)。

師：同學(xué)們標出前兩個小數(shù)沒有問題，那你們能找到一個無限小數(shù)嗎？

生：■、■……

師：剛才同學(xué)們找的都是無限循環(huán)小數(shù)，那你能找出一個無限不循環(huán)小數(shù)嗎？

（學(xué)生陷入深深的沉思）

師：同學(xué)們到了初中后，就可以找到很多無限不循環(huán)小數(shù)了。

……

這樣進行復(fù)習(xí)教學(xué)，讓學(xué)生厘清了小數(shù)的分類情況（小數(shù)可以分為有限小數(shù)、無限小數(shù)，無限小數(shù)又可分為無限循環(huán)小數(shù)和無限不循環(huán)小數(shù)），對學(xué)生的思維也提出了更高的要求。如學(xué)生只知道一個無限不循環(huán)小數(shù)π，但又無法找到一個具體的點表示π。教學(xué)中，教師可以告訴學(xué)生“初中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時可以找到很多點表示無限不循環(huán)小數(shù)”，以此激發(fā)學(xué)生的求知欲望。

教學(xué)片斷四：

師：這兩個分數(shù)又在數(shù)軸上的哪一個點？

師：同學(xué)們，所有的分數(shù)可以分為哪幾類？

生１：我將分數(shù)分為真分數(shù)、假分數(shù)兩大類。

師：什么叫真、假分數(shù)？

生1：看分母與分子的大小。

師：在數(shù)軸上看，真分數(shù)、假分數(shù)都分布在哪里？（生答略）

師（出示下圖）：請同學(xué)們仔細觀察，是真分數(shù)多，還是假分數(shù)多？

■

生２：從數(shù)軸上看，假分數(shù)的范圍更廣，所以我認為假分數(shù)多。

生３：我認為真分數(shù)、假分數(shù)都是無限個，所以無法比較。

生４：假分數(shù)的分布廣，所以多。

……

師：我們來做個報數(shù)的游戲，你們報一個數(shù)，我報一個數(shù)，并想一想從中發(fā)現(xiàn)了什么。（師生玩報數(shù)游戲）

生５：我報一個數(shù)，老師也能報一個數(shù)，所以報的數(shù)一樣多。

……

通過游戲，讓學(xué)生真正感受到真、假分數(shù)可以一一對應(yīng)，使學(xué)生初步感知所學(xué)內(nèi)容，為后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

教學(xué)反思：

１．?dāng)?shù)形結(jié)合，突破難點

小學(xué)階段所學(xué)的數(shù)的概念非常多，很多數(shù)的概念只是一字之差，意思則完全不同，導(dǎo)致學(xué)生對這些數(shù)的概念容易產(chǎn)生混淆。如何在六年級的最后階段讓學(xué)生深刻理解數(shù)的概念的本質(zhì)特征，更好地溝通它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，一直是困擾我們教師的重要問題。

數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法。所謂數(shù)形結(jié)合，就是在研究數(shù)學(xué)問題時，由數(shù)思形、見形思數(shù)，使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動化、簡單化，變抽象思維為形象思維，有助于學(xué)生把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)。正如著名數(shù)學(xué)家華羅庚所說的“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”。因此，本堂課以數(shù)軸為主線，幫助學(xué)生梳理小學(xué)階段所有的數(shù)的概念。小學(xué)階段學(xué)的數(shù)都屬于實數(shù)，實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的。所以，課堂中運用數(shù)形結(jié)合的思想方法進行教學(xué)，使學(xué)生對數(shù)的概念的理解清晰、深刻，既突破了教學(xué)難點，又為學(xué)生初中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下扎實的基礎(chǔ)。

如在復(fù)習(xí)因數(shù)、倍數(shù)的環(huán)節(jié)中，通過數(shù)軸既使學(xué)生直觀地理解因數(shù)與倍數(shù)的特征、一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的、因數(shù)的個數(shù)是有限的，又使學(xué)生形象地看到一個數(shù)的最大因數(shù)與最小倍數(shù)都是它本身。又如，在復(fù)習(xí)奇數(shù)、偶數(shù)和質(zhì)數(shù)、合數(shù)時，通過對數(shù)軸的觀察，學(xué)生可以清晰地發(fā)現(xiàn)奇數(shù)、偶數(shù)與質(zhì)數(shù)、合數(shù)的分布存在明顯區(qū)別，即奇數(shù)、偶數(shù)分布十分規(guī)則，而質(zhì)數(shù)、合數(shù)的分布是雜亂無章的。通過想象數(shù)軸上質(zhì)數(shù)、合數(shù)的出現(xiàn)頻率，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)質(zhì)數(shù)出現(xiàn)的頻率不斷下降，而合數(shù)出現(xiàn)的頻率不斷上升，從而培養(yǎng)了學(xué)生的觀察和概括能力。再如，在復(fù)習(xí)、梳理分數(shù)的過程中，通過讓學(xué)生尋找真分數(shù)、假分數(shù)在數(shù)軸上的區(qū)域，讓學(xué)生深刻地理解了真分數(shù)、假分數(shù)的意義，同時引發(fā)學(xué)生對真分數(shù)、假分數(shù)究竟誰多誰少的思考。從數(shù)軸上看，大部分學(xué)生會認為假分數(shù)多，但也有的學(xué)生認為不一定，學(xué)生在爭論這一問題的過程中，提高了他們的辨析能力。這一問題也讓學(xué)生在形象思維與抽象思維之間架起了一座溝通的橋梁，并通過報數(shù)游戲，向?qū)W生滲透了一一對應(yīng)的思想。數(shù)形結(jié)合既讓學(xué)生清晰地梳理了小學(xué)階段學(xué)過的數(shù)，解決了數(shù)的概念復(fù)習(xí)的疑難問題，又提高了學(xué)生的分析能力和解決數(shù)學(xué)問題的能力。

２．形成網(wǎng)絡(luò)圖，溫故知新

新課程理念下的復(fù)習(xí)課有兩大任務(wù)：一是理，即對所學(xué)的知識進行系統(tǒng)整理，使之豎成線、橫成片、結(jié)成網(wǎng)；二是通，即將所學(xué)知識融會貫通，弄清知識的來龍去脈，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下扎實的基礎(chǔ)。

小學(xué)數(shù)學(xué)中數(shù)的概念繁多雜亂，猶如一顆顆斷了線的“珍珠”，如何在復(fù)習(xí)課中把這些散落的“珍珠”串成線、織成網(wǎng)，使數(shù)的概念形成一個整體呢？本節(jié)課教學(xué)以數(shù)軸為主線，以實數(shù)與數(shù)軸一一對應(yīng)為核心，引導(dǎo)學(xué)生系統(tǒng)地梳理了小學(xué)階段學(xué)過的數(shù)，使學(xué)生對數(shù)的概念清晰、深刻。小學(xué)數(shù)學(xué)的大部分數(shù)都屬于正數(shù)范圍內(nèi)，那么正數(shù)范圍內(nèi)的數(shù)有非零自然數(shù)和分數(shù)、小數(shù)，以這條主線梳理數(shù)的概念十分清晰，能讓學(xué)生構(gòu)成知識網(wǎng)絡(luò)圖（如下）。

■

古代大教育家孔子曰：“溫故而知新?！痹趶?fù)習(xí)課教學(xué)中，教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生“溫故”，更要使學(xué)生“知新”。如在復(fù)習(xí)奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)時，讓學(xué)生觀察數(shù)在數(shù)軸上的分布規(guī)律，感知奇數(shù)、偶數(shù)分布的規(guī)則和質(zhì)數(shù)、合數(shù)分布的不規(guī)則；讓學(xué)生想象質(zhì)數(shù)、合數(shù)在數(shù)軸上的出現(xiàn)頻率，培養(yǎng)學(xué)生的觀察和概括能力；辨析是否還有像２、３兩個連續(xù)自然數(shù)都是質(zhì)數(shù)的情況，思考最多有幾個連續(xù)自然數(shù)都是合數(shù)的問題，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維方式；當(dāng)學(xué)生找到無限小數(shù)時，追問學(xué)生能否在數(shù)軸上找到一個點表示無限不循環(huán)小數(shù)，這樣既引導(dǎo)學(xué)生梳理了小數(shù)的分類，又極大地激發(fā)了學(xué)生的求知欲望；讓學(xué)生辨析真分數(shù)多還是假分數(shù)多時，既是對學(xué)生思維方式的一次突破，又滲透了一一對應(yīng)的思想……

這樣巧用數(shù)軸進行數(shù)的概念的復(fù)習(xí)教學(xué)，充分體現(xiàn)了復(fù)習(xí)課不僅要“溫故”，而且要“知新”，使學(xué)生獲得真正的發(fā)展。

（責(zé)編杜華）

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