概念復習PK實戰演練

謝立平

摘 ?要：作為我國高等教育組成部分。自學考試倡導自學，鼓勵自學，推動自學，為每一個自學者鋪就成才之路。文章在此背景下研究概念復習PK實戰演練，希望對后續研究有所幫助。

關鍵詞：概念;復習;PK;實戰演練

復習鞏固是整個教學環節中最重要的一環。從一題多解中更能培養學生將所學知識進行系統歸納，從而清晰地了解各知識點的相互滲透與聯系，將解決問題的方案進行比較歸納，選出最優方案，從而培養學習者多途徑解決問題的能力，善于從中進行分析、歸納、總結出最優解，進而將解決數學問題的這種能力轉為解決其生活、工作問題的能力。體會到：

①學會從不同角度出發，運用不同的解決方案;

②知識多了，方案多了，就可以進行比較選擇，從而得到最好方案。

例如：解矩陣方程：2 11 2X=1 ?2-1 1，其中X為二階方陣。

解法一：設矩陣X=x ? x x ? x ?，

由題設條件可得矩陣等式：2 11 2x ? x x ? x =1 ?2-1 1

即：2x +x ?2x +x x +2x ?x12+2x =1 ?2-1 1

由矩陣相等定義得2x +x =1x +2x =-1;2x +x =2x +2x =1

解這兩個方程組可得x =1;x =-1;x =1;x =0

所以矩陣X= 1 ?1-1 0

解題時所涉及到的知識點（1）矩陣乘法;（2）矩陣相等。

對各種方法進行評點，將解題中所涉及的知識點進行羅列。這樣可使學生所學的知識點漸漸清晰起來，就能正確選擇方法解決問題。隨著繼續學習矩陣，當學過求矩陣的可逆矩陣后，又有兩種方法解決此題。

分析：矩陣方程有兩類：

第一類：矩陣方程AX=B的解為X=A-1B;

第二類：矩陣方程XA=B的解為X=BA-1

通過分析可知，先求出矩陣A的逆矩陣A-1，然后求得方程的解。

解法二：用伴隨矩陣法求逆矩陣A-1

A=2 11 2=4-1=3

A =2;A =-1;A =-1;A =2

所以矩陣A的伴隨矩陣A =A ?A A ?A =2 -1-1 2

矩陣A的逆矩陣A-1= = = ?- -

所以方程的解為X=A B= ?- - ? ?1 ?2-1 1=1 ?1-1 0

此解法所涉及的知識點：

（1）求矩陣A的伴隨矩陣A =A ?A ?… A A ?A ?… A A ?A ?… A

（2）矩陣A的逆矩陣A =

解法三：用初等行變換求逆矩陣A

分析：先回顧矩陣的初等交換：

（1）交換矩陣A的某兩行（列）;

（2）用一個非零數k乘矩陣A的某一行（列）;

（3）把矩陣A中某一行（列）的k倍加到另一行（列）上。

解：設A=2 11 2;B=1 ?2-1 1

（A，E2）=2 1 1 01 2 0 1 1 2 0 12 1 1 0

→1 2 0 11 2 0 1→1 2 ?0 ?10 1 -

→1 0 ? - 0 1 - ? =E，A

所以A = ?- -

驗證：A A= ?- - ? 2 ?11 ?2=1 ?00 ?1

所以方程的解為X=A B= ?- - ? 1 ?2-1 1=1 ?1-1 0

[點評]解法二，解法三，都是先求出可逆矩陣A ，然后求出方程AX=B的解為X=A B。特別是解法三，它是另一種常用的求解方法。不過，此時，它們都必須做復雜的矩陣乘法運算。

為了簡化求解過程，介紹解法四：對分塊矩陣（A，B）作初等行變換來求解。

解法四：（A，B）=2 1 ?1 21 2 -1 1 1 2 -1 12 1 ?1 2

→1 2 -1 10 -3 3 0→1 2 -1 10 1 -1 0

→1 0 ?1 10 1 -1 0=E，X

所以X=1 ?1-1 0

[點評]最常見的矩陣方程有以下兩類：

（1）設A是n階可逆矩陣，B是n*m矩陣，求出矩陣X，使X滿足矩陣方程AX=B;通過解法四，用初等行變換把分塊矩陣（A，B）化成（E，A-1B），即（A，B） （E，X）， 這種方法更便捷，且正確率更高。

（2）設A是n階可逆矩陣，B是m*n矩陣，求出矩陣X，使X滿足矩陣方程XA=B，用初等行變換把分塊矩陣A ，B ?E ，BA ?化成 ，即A ，B ?E ，BA ?，從而得到x =BA ?，這種方法更便捷，且正確率更高。

通過此題引導學生去思考，及時歸納這題中涉及到哪些知識點，站在一個出題者的角度，他想讓你掌握的知識點有：①矩陣乘法;②矩陣相等;③求矩陣A的逆矩陣。其中求矩陣A的逆矩陣的方法又有：

a.A = ，A =A ?A ?… A A ?A ?… A A ?A ?… A 簡稱伴隨矩陣法;

b.分塊法（A，E） （E，A ）簡稱初等變換法;

通過解法一，復習了知識點：

（1）矩陣乘法;

（2）矩陣相乘的條件;

（3）用克拉默法則求線性方程組的解;

（4）行列式的計算（展開法，對角法）。

通過解法二，求可逆矩陣A ，復習了知識點：

（1）行列式中元素的代數余子式;

（2）矩陣A的伴隨矩陣A =A ?A ?… A A ?A ?… A A ?A ?… A ;

（3）A 與A 的關系式，即A = ?;

參考文獻：

[1]陳榮基.淺談線性代數復習課的教學策略[J].南方論刊，2004.