非形式化：一種提高數學教學有效性的途徑

張云

摘要：形式化是現代數學的特征之一，但目前數學教學中存在著過度形式化的問題，往往將豐富多彩的數學思想淹沒在形式化的海洋中。適度“非形式化”是要在數學教學中力求“來自生活”，用質樸反映數學的本源。同時，數學教學過程要教會學生在“數學思考”中優化思維，重視學生在發現中詮釋數學的實質，從而在非形式化教學中提高數學教學的有效性。

關鍵詞：非形式化;數學教學;生活;數學思考

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2015）10A-0069-03

英國大哲學家、數學家A·N·懷特在他的教育代表作《教育目的》中指出：“在古代學校里，哲學家們渴望傳授的是智慧，而現代學校，我們降低了目標，教授的是學科。從神圣的智慧淪落到教材知識，標志了多少世紀以來教育上的失敗。”反思我們的數學教學現狀，學生在數學學習的過程中，不斷地被概念和法則所束縛，逐漸喪失了獨立思考和想象的能力，這是應當引起警惕的。抽象是數學的特性，然而，一味地講抽象、嚴謹，除了把不喜歡數學的學生嚇跑之外，并沒有給數學帶來多少好處。要知道，“理性”和“思維”一旦遠離了它實踐的源泉成了“無源之水”，太多“抽象”的近親繁殖，就會使數學學科處于退化的危險之中。目前，正在逐漸深入的課程改革，要求在學生數學入門階段，減少純數學語言，給予他們更多形象化的東西，“數學教學活動必須建立在學生已有的知識經驗基礎之上”。數學課程標準在這些基本理念的觀照下，我們的數學教學正在返璞歸真。

一、來自生活，用質樸反映數學的本源

有過這樣的小事情：一個小孩子在吃飯的時候發筷子，先把筷子在桌上頓一頓，然后選出同樣長短的一雙筷子發出。這在小孩是一個平常的發現或者平常的做法，但在他的作為數學老師的祖父看來，卻大有深意。于是，他在教兩條線段長短比較的時候，舉了孫子頓筷子的例子，在教通分的時候，又舉了這個例子。在他看來，這樣頓一頓就把原來筷子兩頭的矛盾面轉化為一個矛盾面，它反映了一種思想方法。在不同分子，不同分母的分數大小比較問題上，只要像把筷子的一頭頓齊一樣，然后，要比較的只有分子了，問題就簡化了。對生活中事件的感悟，可以形成觀察事物的觀點，數學的學習同樣如此。

解決一個數學問題，首先不是邏輯，而是對這個問題的某種感悟。

分數的意義教學片斷：

教師：當我們看到一個分數的時候，我們可以將下方的數字看成“可能是什么，”上方的數字看成“是什么”。那么，請同學們解釋一下，當一杯橙汁中維生素C的含量是我們每天對維生素C需求量1/2的時候，它指的是什么意思？（板書1/2）

（學生有些茫然）

教師：我們可以用什么詞來描述上方的數字？

學生：一杯橙汁“可能是什么”。

教師：下方的數字呢？

學生：我們每天的需求量“是什么”。

教師：那么，請同學們考慮一個與自身有關的例子。

學生：上一節課我們進行了“英譯漢”比賽，一節課總共40分鐘，我用20分鐘就完成了試卷。

教師：那么，你用怎樣的數來表示這個時間？

學生：用20表示“是什么”，40表示“可能是什么”，上方的數字是下方的一半。哦，我明白了，上面這個1/2的意思是，一杯橙汁可以提供人一天維生素C需求量的一半。

教師：好的，下面我們進行下一個內容。

數學知識盡管表現為形式化的符號，但它可視為具體生活經驗和常識的系統化，它可以在學生的生活背景中找到實體模型。上述案例，教師通過追隨可讓學生回憶起來的心理步驟，讓學生對數學知識進行感悟，而不是就分數的概念講分數的意義。數學的思考是怎樣產生的？學生在做一道題的時候，他的思維是怎樣的？數學家迪厄多內說：“富有創造性的科學家與眾不同的地方，在于他們對所研究的對象有活生生的構想和深刻的了解。”這些構想與了解結合起來，就是所謂的直覺或感悟。事實上，學生可能的數學現實空間比我們想象的大得多，問題是我們沒有使學生對所學的數學知識進行感悟。回顧一下我們自己的教學過程，我們在教學分數大小比較的時候，可曾讓學生在“頓一頓筷子”這樣質樸的事件里去領悟通分的必要性;我們在教學分數的意義時，又是否利用學生獨特的生活經歷來建構他們自己的回答，從而總結出一個過程，以便在類似情境中獨立地使用。也許我們忘了從這樣最質樸的感悟開始，去為學生提供一根木樁，使學生能夠把自己提升至高一級的階梯之上。

感悟所強調的，是體驗、融合、自得，它不是知識的分割和堆積，是對記憶的升華。什么叫“兩個相關聯的量？”只要釣過魚就知道，浮標沉浮的狀態反映著魚吃不吃餌的狀態——非常生動的相關聯現象;把食物放在小狗前面不遠處，小狗箭也似地飛奔過去，跑的決然是一條直線——兩點之間，線段最短。義務教育數學課程標準指出：要把學生從單純的解題技巧和證明中解放出來，讓學生學習真正的數學。西方數學教育界也提出“非形式化的數學教學”。這些都在提醒我們的數學教學要擺脫過度形式化的束縛，聯系學生的日常生活實際，把數學呈現為學生容易接受的“教育形態”。

我們所強調的感悟，正是要把深刻的數學原理附著在生活中淺顯的事例上。

二、數學思維，用發現詮釋數學的實質

德波諾曾經有過這樣一個說法：當我們驅車從A地到B地的時候，常常是因為車速過快，而始終忽視了路旁還有一個C點，C點那里還有一條很好的路，由A到B的路越順暢，忽視C點的可能性就越大。就小學數學教學的現狀分析，課堂教學設計和進行教學的一般程序，首先是設定教學目標，其中最具體的是學科知識的認識性目標，淺者要求達到講清知識，深者要求達到發展能力;其次是設計教學過程，其中除了設計課堂教學的程序之外，重點是按教材邏輯，分解設計一系列問題及練習。課堂上，教師常常為完成教案，無論是問題還是練習，都在培養學生的條列式思維，而不是培養輻射式思維，總在盡可能努力引導學生達到預定文案。沿用德波諾所說，我們總竭力想使學生從A到B走得順暢，而不注意路旁的C。

數學的學習，優化思維應放在第一位，掌握概念或建立法則應放在第二位，訓練同優化思維相比，層次要低得多。

二十以內的加法課堂教學片斷：

教師：（出示口算）1+9=？ 2+8=？ 3+7=？ ?4+6=？ 5+5=？

（學生口答）

教師：（出示7+5=？）這一道題我們怎么計算呢？

學生A：我把7分解為5和2，5+5=10，10+2=12。

教師：很好。請小朋友積極開動腦筋，看還有沒有其它算法，也能“湊十”以后算出結果。

學生B：我把5分解為3和2，7+3=10，10+2=12。

教師：真聰明。（發現還有學生舉手）

學生C：我把7分解為4和3，把5分解為3和2，3+3=6，4+2=6，而最后6+6=12。（這位學生回答后長吁了一口氣。）

教師：哦，太復雜了，不過是對的。

課程改革強調數學學習活動應當是生動活潑、主動的和富有個性的過程，基于理念的轉變和更新，許多教師也鼓勵學生在解決數學問題時使用不同的策略（案例中“還有沒有其它算法”）。但很多情況下，我們的教學一直是以我們成人認為的最優方法為目標進行的，即使讓學生自己尋找結果，也總在使用暗示使之放松“感悟”（案例中“也能湊十”）這不禁讓筆者想起了“霍布森選擇效應”，他在販馬時把馬匹放出來讓顧客挑選，可條件是只允許挑選最靠門邊的那匹馬。你希望學生選擇多種算法，而又限定其“湊十”，學生豈不同樣陷入霍布森選擇效應的困境？

反思我們的教學，就以上案例所呈現的教學內容，我們的教學一直在為“湊十”作準備，于是，教學進程便線性地“循序漸進”。這樣做看似分散難點，學生容易學習，但如果我們僅僅規定“湊十”，就會抹殺掉很多獨有的東西。因為我們限定了“湊十”，學生做了幾個嘗試后，就不用思考了，完全可以依樣畫葫蘆。然而，學生的回答，哪怕時有錯誤，總蘊藏著他的合理性，學生完全有可能有一種特定的情況，如案例中的學生C，他會對6+6情有獨鐘！我們不能總想著讓學生一學就會，一蹴而就，不想有什么地方為難學生，二十以內的加法就“湊十”，那么，等“湊十”湊完了，數學所蘊涵的樂趣也就消退得無影無蹤了。其實，學生在創造了自己的方法和認識了眾多相應方法之后，會高屋建瓴地認識湊十法，在適合的時候自覺地運用湊十法。我們當然也排斥在算法上低水平的重復，只是強調珍視學生獨特的感悟，畢竟湊十也罷，不湊十也罷，對于未來的計算都會變成歷史陳跡，但學生在渴望中的尋找會成為他們永遠的財富。因此，我們應該把重點放在揭示數學知識的本質上（案例中的內容就是分與合方法），在從A往B的路上，不斷思考路旁的C點，而不僅局限于“湊十”這樣的“單打一”。

數學教育家陳仲穆先生早就提出了“淡化形式，注重實質”的主張。確實，局限于類似“湊十”這樣違背學生天性的做法，一旦強化為學生的“第二天性”，那么，學生形成了“路徑依賴”，就無益于學生數學學習時“基?！钡臄U展。我們要防止這種“浮滑”的教學，而把學生在探求知識路上的數學思考當作學習數學新的“基礎”。

“學習數學唯一正確的方法是實行再創造，也就是由學生本人把學習的東西自己去發現和創造出來?！焙商m著名數學家弗賴登塔爾所強調的，正是要求我們教師幫助學生進行這種再創造，而不是把現成的東西灌輸給學生。綜觀國際數學課程改革，許多國家和地區的數學課程目標都在強調養成主動地從自己的經驗中建構和理解數學的概念。實踐中，我們嘗試著在非形式化教學中提高數學教學的有效性，正是要求學生在頭腦中對數學問題進行重新建構，它其實就是創新。巴赫的音樂充斥著數學的對稱，埃及的金字塔也凝聚著“黃金分割”，當我們的學生在足球比賽時運動員的下底傳中認識了角，在“山上有座廟”的故事里明白了數的循環……那么，他們必將會在滴水成河的情景中領略到貝克萊悖論的“無窮”，也會在“理發師不給自己理發”的事實里欣賞到羅素悖論的奧秘。當我們把數學教學與學生的生活緊密聯系起來，不斷地在教學中促進學生的感悟，培養學生一雙能用數學觀察世界的眼睛，一個能用數學思維思考世界的頭腦，那么，數學課堂教學必將成為“溝通教育理想此岸和學生發展彼岸的具有轉換功能的橋梁”！

責任編輯：石萍