期望效用最大限制下保險公司的最優(yōu)策略

劉潔　初元紅

摘 要：假定保險公司既可以投資在風(fēng)險資產(chǎn)上，同時又允許混合再保險。用經(jīng)典的Cramér-Lundberg模型來近似保險公司的盈余過程，考慮在期望效用最大限制下保險公司的最優(yōu)投資和再保策略滿足的方程，證明了解的存在性和最優(yōu)性。

關(guān)鍵詞：期望效用；混合再保；投資

中圖分類號：F840 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1673-291X（2015）09-0020-03

一、引言

隨機(jī)控制理論作為解決動態(tài)問題的強(qiáng)有力的工具，在保險方面應(yīng)用廣泛。Hipp and Plum[1]考慮的是經(jīng)典的Cramér-Lundberg保險公司盈余過程模型，保險公司允許投資于股票市場，風(fēng)險資產(chǎn)價格過程服從幾何布朗運動，在破產(chǎn)概率最小限制下的最優(yōu)投資策略問題。證明了解的存在性和最優(yōu)性，在理賠分布服從指數(shù)分布時給出了精確解，但沒考慮無風(fēng)險資產(chǎn)和再保險；在無投資時，Schmidli[2]研究了經(jīng)典Cramér-Lundberg模型中在破產(chǎn)概率最小限制下的最優(yōu)比例再保險策略；Schmidli[3]考慮的是在經(jīng)典Cramér-Lundberg模型下保險公司既允許投資又允許比例再保險的情況，但只是證明了在破產(chǎn)概率最小時對應(yīng)HJB方程解的存在性和最優(yōu)性；Michael，T.，Charlotte，M.[4]。考慮了保險公司的風(fēng)險過程為跳擴(kuò)散模型時，保險公司允許投資在風(fēng)險資產(chǎn)時和無風(fēng)險資產(chǎn)時在終值期望效用最大限制下保險公司的最優(yōu)投資策略和此時對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值，同時給出了破產(chǎn)概率最小時對應(yīng)的HJB方程但沒考慮再保險的情況；Irgend，C，and Paulsen，J.[5]，考慮了盈余過程為經(jīng)典Cramér-Lundberg模型時保險公司允許投資在風(fēng)險資產(chǎn)和無風(fēng)險資產(chǎn)，且為了降低風(fēng)險，允許混合再保時在終值期望效用最大限制下得最優(yōu)投資和再保問題，而本文要考慮的保險公司允許投資于股票市場且股票的價格過程服從幾何布朗運動，同時為了降低風(fēng)險允許混合再保，即：保險公司允許一部分比例再保，剩下的風(fēng)險用買超額再保來降低。在期望效用最大限制下考慮保險公司的最優(yōu)投資和混合再保策略。

二、模型假設(shè)

假設(shè)以下討論是在一個完備概率空間（Ω，F(xiàn)，F(xiàn)t≤T，P）上，其中（Ft）t≤T代表由布朗運動和泊松跳產(chǎn)生的信息流，是T時刻前全部市場信息的集合。保險公司的盈余過程為Yt=x+ct-Zi，其中c為保費率，在這里采用期望值原則來計算。x為初始資本，N（t）為代表理賠次數(shù)的泊松過程，強(qiáng)度為λ，μ1=EZi。

保險公司允許連續(xù)比例再保，剩下的一部分風(fēng)險用買超額再保險來承擔(dān)——混合再保，此時帶混合再保的保險公司盈余過程為：Yt=[ac+（1-a）cq-qXLλρa(bǔ)（D）]ds-min{aZi，D}，其中a為比例再保，是關(guān)于財富過程Xt的函數(shù)，是可料的（即at-1關(guān)于Ft-1可測），D為超額再保，（1-a）cq為保險公司支付給再保險公司的一部分委托費，q是個百分比，qXL為負(fù)載因子且qXL>1，ρa(bǔ)（D）=E[（aZi-D）+]。

若保險公司允許投資在風(fēng)險資產(chǎn)，投資錢數(shù)為A（t），{At，t≥0}是自融資的適應(yīng)過程（即交易前后沒有資金的注入和撤出，關(guān)于Ft可測）且對于所有T<∞滿足[At]2dt<∞，a.e.且風(fēng)險資產(chǎn)的價格過程滿足：

dS（t）=S（t）（μdt+σdW（t））

假設(shè)無風(fēng)險資產(chǎn)價格為1，則保險公司此時對應(yīng)的盈余過程為：

dX（t）=A（t）+[ac+（1-a）cq-qXLλρa(bǔ)（D）]dt-dmin{aZi，D}

因此，對應(yīng)的無窮小生成算子為：

Lg（t，x）=[μAt+ac+（1-a）cq-λqXLλρa(bǔ)（D）]gx+A2σ2gxx+λE{g[x-min{aZi，D）]-g（x）}

假設(shè)效用函數(shù)取為指數(shù)效用U（x）=e-γx

，其中γ>0為風(fēng)險厭惡指數(shù)。

研究目標(biāo)是：E[e-γX（t）

]

定理：若Xt如上所給，令k1（a，D）=acγ+（1-a）qcγ-γqXLλρa(bǔ)（D）-λ（E[eγmin{aZi，D}

]-1），k2（A）=γA-A2σ2γ2，μ=EZi

（1）若（1-qp）c

（2）若（1-qp）c>qXLλμ，則策略π*=（a*，D*，A*）是所有策略中最優(yōu)的，且對應(yīng)的最大期望效用值為：V（t，x）=-e-η*（T-t）-γx

，其中η*=k1（a*，D*）+k2（A*）。

（3）（1-qp）c=qXLλμ，則存在最優(yōu)策略當(dāng)且僅當(dāng)qXL≤1。

證明：由分部積分求出E[eγmin{aZi，D}

]，從而對D求偏導(dǎo)得：k1（a，D）=γλF1（）（qXL-eγD

）。

求出F1（x）=1-F1（x）的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)，很容易得出F1（x）在有跳，因此D*=（lnqXL）+。而且可以得到D*關(guān)于γ是遞減的，關(guān)于qXL是遞減的。

若qXL≤1，k1（a，D*）=k1（a，0），是凹的且最大值在a*=處取得。要使a存在就必須滿足（1-qp）c

假設(shè)qXL>1，F(xiàn)1（x）=f（y）dy+cp，iI

[xp，i，∞）（x），其中xp，i是離散的，i為數(shù)學(xué)狀態(tài)，即：對于所有的i存在εi>0使得xp，i?（x

p，i-εi，x

p，i+εi），因此我們得到：k1（a，D）=qpcγ+（1-qp）acγ-γqXLaλμ-aγλ（eγax-qXL）F1（x）dx。

因為eγD*

=qXLk1（a，D*）關(guān)于a是可微的，故有：k1（a，D*）=（1-qp）cγ-γλE[eγmin{aZ，D*}

]。

容易看出k1（a，D*）是遞減的，因此k1（a，D*）在a處是凹的而且最優(yōu)策略a*存在當(dāng)且僅當(dāng)（1-qp）c

顯然k2是凹的，且由k2'（A）=γ（μ-Aσ2γ）=0得A*=，尤其有k2'（0）=γμ>0，故A*存在且有限。（1）得證。

令（x）=-U（x），即問題轉(zhuǎn)化為最小化（x），對應(yīng)的HJB方程為：

（Vt（t，x）+[μAt+ac+（1-a）cq-qXLλρa(bǔ)（D）]Vx+σ2A2Vxx+

λE{V[x-min（aZ，D）]-V（x）}=0

邊界條件為：V（T，x）=e-γx

假設(shè)HJB方程的解具有形式：V（t，x）=h3（t）e-γx則求出Vt代入HJB方程得：

+（-k1（a，D）-k2（A））=-k1（a，D）-k2（A）=0

利用邊界條件h3（t）=1，上面HJB方程的解為：V（t，x）=

e-η*（T-t）

e-γx。

由It公式得：dV（t，Xt）=V（t，Xt）dZt。其中Zt=hsds-

γσAdWt+（eγmin{aZ，D} -1）。

而h3=-η*-ascP-（1-as）qpcγ-qXLλρa(bǔ)（D）+A2σ2γ2-γμA

策略π*=（A*，a*，D*）的最優(yōu)性用鞅最優(yōu)原則可證。（2）得證。

當(dāng)（1-qp）c=qXLλμ時，k1（a，D*）=λ（E[emin{aZi，D}

]-1）=λ（qXL-

（γeγx-1））F1（）dx。

若qXL≤1，D*=0，那么A*=0是最優(yōu)的。若qXL≥1，k1（a，D*）在a是遞增的；因此不存在有限的最優(yōu)的A*，但是由單調(diào)收斂定理，當(dāng)A→∞時，k1（a，D*）→λ（qXL-1-eqXL

）。

三、結(jié)束語

本文考慮的是保險公司風(fēng)險過程用幾何布朗運動來近似時，期望效用最大限制下保險公司的最優(yōu)策略，還可以考慮風(fēng)險過程為跳擴(kuò)散過程時在其他限制條件下保險公司的最優(yōu)策略選擇問題。