數學教學應從學生的認知基礎出發

☉四川省宣漢縣中小學教學研究室 趙緒昌

數學教學應從學生的認知基礎出發

☉四川省宣漢縣中小學教學研究室 趙緒昌

美國著名心理學家奧斯貝爾曾經說過：“如果要將教育心理還原為一條原理的話，我將會說，影響學習的最重要的原因是學生已經知道了什么，我們應當根據學生原有的知識狀況去進行教學.”《數學課程標準》指出：“數學教學活動必須建立在學生的認知發展水平和已有的知識經驗基礎之上.”調查、分析、研究、遵循學生認知基礎，對于數學課堂教學具有重要意義.下面以“數學教學應從學生的認知基礎出發”舉例說明.

一、關注學生認知基礎是實施有效教學的根基

案例1“拋物線及其標準方程”的教學片斷.

老教材在橢圓與雙曲線中要學習第二定義，我們知道：按第二定義，當0＜e＜1時，軌跡是橢圓；當e＞1時，軌跡是雙曲線；那么e=1時，軌跡又是什么呢？所以拋物線概念的引出不必花太多工夫，可以開門見山地直奔主題.但是新教材刪除了第二定義，所以引出拋物線的概念就變得相當困難，有的教師把握不準《課程標準》和《學科指導意見》，就或多或少地增加了第二定義的內容，拋物線的教學仍然與老教材的教法一樣；有的教師為了能夠上好拋物線，也增加了第二定義的教學.這種做法“方便”了教學，卻加重了學生的負擔，筆者認為實不可取.

那么到底怎樣設計教學呢？先看看教科書中的導語：“我們知道，二次函數的圖像是一條拋物線，而且研究過它的頂點坐標、對稱軸等問題.那么，拋物線到底有怎樣的幾何特征？它還有哪些幾何性質？”教科書中的這段導語給了筆者一個啟發——從學生已有的知識誘導出新概念.因為學生已經具備橢圓、雙曲線、初中層面拋物線的知識，從中挖掘分析，筆者對拋物線的概念教學進行了如下設計.

1.在學生已有認知基礎上設計問題，使學生初步體驗新概念的一個具體背景

師：前面我們已經學習了橢圓和雙曲線的有關知識，請同學們嘗試解決下面問題：

生1：我利用平方化簡，但沒有做出來.

師：該同學通過平方化簡肯定可以得到答案，只是還需要一些時間，相信他一定能成功！

生2：上面式子表示兩點距離之和，根據橢圓定義可知，P點軌跡是橢圓.

眾生：是的.

眾生：雙曲線.

師：是雙曲線嗎？

生3：應該是雙曲線的上半支.

由于問題1的解決對問題2有著提示和啟發作用，所以問題2幾乎所有學生都不再化簡了，自然地聯想到利用定義的解法來解決，于是教師順勢拋出問題3.

眾生：從條件的含義看，似乎不是橢圓，也不像雙曲線，不太清楚.

師：到底軌跡是什么，學生1解問題1的方法會給我們很好的啟示.

學生再次化簡，片刻后，一致得到軌跡是拋物線，因為它的方程是初中已經學過.

2.剖析問題3條件的幾何意義，并推斷是否具有一般性結論

師：若把條件中的“2”改為其他數字（非零），結果如何？

眾生：軌跡仍然是拋物線，只是方程中的數字不同而已.

師：那么條件所表示的幾何意義又是什么呢？

3.類比推廣，從具體實例中抽象出拋物線的概念

師：從問題3的分析中我們可以看出，滿足這種條件的軌跡都是拋物線.于是我們拋棄這些具體的位置和數據外殼，得出拋物線的定義.哪位同學能根據上面的等式，說出拋物線的定義.

生5：到定點的距離和到定直線的距離相等的點的軌跡是拋物線.

師：不太準確，應該添上“平面內”三字，完整的定義請同學們看課本.我們再用動畫來演示一下這個定義下的軌跡.

教學隨想：對學生認知基礎的關注，是尊重學生、理解學生的標志.如果對學生已有的數學知識和經驗視而不見，把學生當成一張白紙，依然按部就班地照教材講授，那么學生就會對學習失去興趣，課堂教學效率必然降低.案例中，教師從學生已有認知基礎出發，由易到難設計了3個問題，讓學生在問題解決的過程中對比發現，逆推出拋物線的定義，再結合多媒體動畫的演示，給學生留下了深刻的印象.事實上，在探討中也讓學生領悟了一些解析幾何的思想方法，如根據定義判斷軌跡、運算化簡求軌跡等.本課學生對拋物線的來龍去脈清清楚楚，不僅知其然，而且知其所以然.

二、掌握學生認知基礎是實施有效教學的前提

案例2“等比數列性質的探究”的教學片斷.

師：大家已經學習了等差數列，并通過類比歸納出了等比數列的定義與通項公式，現在我們從等差數列的性質出發來探究等比數列的性質，請大家先完成課本（人教A版必修5）中的習題2.2B組第2題：已知等差數列｛a｝的公差為d，求證：，并思考在等比數列中會

n有怎樣的類似結論？

生：利用等差數列的通項公式很容易得出am-an=（m-n）d，形式上稍作調整即可.如果將兩者之差調整為兩者之比，再結合等比數列的通項公式可以得出如下結論：設等比數列｛an｝的公比為q，則

師：這位同學能夠很好地將等差數列中的“差”與等比數列中的“比”聯系起來并進行類比，發現并歸納出合理的結論，事實上它就是課本習題2.4B組中的第1題，下面請大家完成課本第39頁練習第5題：

已知｛an｝是等差數列.

（1）2a5=a3+a7是否成立？2a5=a1+a9呢？為什么？

（2）2an=an-1+an+（1n＞1）是否成立？據此能得出什么結論？2an=an-k+an+k（n＞k＞0）是否成立？你又能得出什么結論？在等比數列中會有怎樣的類似結論？

生：從等差數列的定義與通項出發：

（1）由a5=a3+2d，a5=a7-2d，得2a5=a3+a7；同理可得2a5= a1+a9.

（2）由于an-1，an，an+1（n＞1）成等差數列，則2an=an-1+an+1；同理，若an-k，an，an+k（n＞k＞0）成等差數列，則2an=an-k+an+k，可以從特殊到一般的過程中發現其中的規律：當等差數列中的項數成等差數列時，對應的項也成等差數列.

類似地，若｛an｝是等比數列，則：

師：這位同學能夠從等差數列性質的結構進行分析，并遷移到等比數列中，歸納出很完美的性質，事實上它就是課本第53頁練習第4題，我們不難發現：當等比數列中的項數成等差數列時，對應的項也成等比數列.下面，我們一起來解決習題2.4B組第3題：

就任一等差數列｛an｝，計算a7+a10和a8+a9，a10+a40和a20+ a30，你發現了什么一般規律？你能把你發現的規律作一般化的推廣嗎？從等差數列和函數之間的聯系角度來分析這個問題，在等比數列中會有怎樣的類似結論？

師生一起利用等差數列的定義得出a7=a8-d，a10=a9+ d，從而得到a7+a10=a8+a9；同理a10+a40=a20+a30，并歸納出一般結論：已知等差數列｛an｝，若m+n=p+q（m，n，p，q∈N+），則am+an=ap+aq.

由于等差數列的圖像是某一直線上的一系列點，若從函數的角度來分析，就可借助一次函數的圖像，利用線段的中點或梯形的中位線來解釋此結論.

我們可以自然地類比到等比數列并得到如下類似的結論：在等比數列 ｛bn｝中，同樣可以得出b7b10=b8b9，b10b40=b20b30，一般地，若滿足m+n=p+q（m，n，p，q∈N+），則bm·bn=bp·bq.若從函數的角度來分析，就可借助指數函數的圖像，并結合指數冪運算性質來解釋此結論.

……

教學隨想：認識即是一種以主體已有的知識和經驗為基礎的主動的建構活動.案例中，教師創設遷移的教學情境，根據學生已有的認知基礎：等差數列的定義、通項公式及其性質等，學生運用已掌握的知識進行類比歸納，探究出了等比數列的一系列性質.教師在設計情境時，能夠抓住學生的認知基礎，使學生在教學情境與學習內容的結合中產生類比與遷移，自然而然地領悟學習內容、探索數學規律.由此可以看出：在新概念的建立與新知識的學習過程中，學生原有的認知基礎起著不可低估的作用.

三、發展學生認知基礎是實施有效教學的保證

案例3“函數概念”的教學片斷.

師：今天我們談論的話題是函數.大家在初中已學過函數，你能舉幾個函數的具體例子嗎？

生1：年數增長，年份和年齡.

師：誰是誰的函數？

生1：年齡是年份的函數.

生2：電壓一定，電流是電阻的反比例函數.

生3：買東西，價格隨買東西的增多而增多.

師：是價格還是什么？

生3：哦，價格一定，總價隨買東西的增加而增加.

生4：氫氧化鈣的溶解度隨溫度的升高而升高——一次函數.

師：老師也舉個例子.……上海證交所股指圖，股票指數是時間的函數嗎？

生（齊答）：是！

師：你怎么判斷這就是函數？（停頓）大膽舉手說說.

生5：每一個自變量取值都有唯一對應的數.

師：自變量是什么？

生5：時間.哦，每一個時間都有一個股票價格指數與之對應.

師：她講得很好.先找自變量，再看有幾個與之對應的數，如果是唯一的，就是函數.下面看另一個例子.這是某射擊運動員打靶的序數與環數的對應表.這是一個函數嗎？

序號 1 2 3環數 8 8 8

生：（小聲）是.

師：聲音不大，說明不敢確定.要判斷是否為函數，需要從哪幾個方面說明？

生：解析式.

師：一定要解析式嗎？

生6：不一定.對每一個自變量，有唯一的數與之對應就可以.對每一個序號（數），都有唯一的一個環數與之對應.

師：如果第三次脫靶了，是不是函數？為什么？

生7：是.脫靶是0環，還是有唯一的數與之對應.

師：有不同意見嗎？

生8：0環和脫靶不一樣，這時沒有記錄，因此沒有與之對應的數.

師：兩種意見.思考一下，矛盾是怎么產生的？

生9：矛盾在于脫靶是沒有記錄還是為0環.如果是0環，那就是函數，否則不是.

教學隨想：案例中，學生對初中的函數定義有記憶，但有的已經有些模糊，特別是對“函數值隨自變量的變化而變化”的把握不到位.老師在這樣的地方展開“追問”，有效地強化了概念理解.學生舉的例子局限于“有解析式的函數”，這對引入“對應說”有不利影響.因此，老師及時補充上述兩個例子，并提問“你怎么判斷這就是函數？”意在引導學生“用概念思維”.當學生給出抽象的回答后，再追問“自變量是什么？”在學生回答“每一個時間都有一個股票價格指數與之對應”后，及時指出“先找自變量，再看有幾個與之對應的數，如果是唯一的，就是函數”，這就強化了用概念作判斷的“操作規范”.對于表格是否表示函數，學生的反應是猶豫的.老師以“要判斷是否為函數，需要從哪幾個方面說明”為引導.學生說“解析式”，正好進入“圈套”，老師以“一定要解析式嗎”繼續推動思考，使學生自己得出“對每一個自變量，有唯一的數與之對應就可以”的結論.然后，又以“脫靶是否表示函數”的問題情境引發學生討論，進一步明確了“對于每一個自變量，都有唯一的數與之對應”這一函數的本質屬性，思維從從膚淺走向深刻.每個學生都有自己的生活經驗和知識基礎，面對同一問題都有各自不同的思維方式，教師只有充分意識到這一點，才能最大限度地激發學生的創造性.

四、豐富學生認知基礎是實施有效教學的追求

案例4 在理科數學選修2-1“曲線的交點”一節，教師出示了一道例題：拋物線y2=4x與直線y=x-1相交于A、B兩點，求線段AB的長.

（教師留了3～4分鐘時間讓學生思考，之后交流）

生2：解方程組時消去x，得y2-4y-4=0，再求A、B兩點坐標（略）.

生3：不需要求出A、B兩點坐標，只要設A（x1，y1），B（x2，y2），得AB=將y=x-1代入，得再利用根與系數關系x1+x2=6，x·1x2=-1，獲解.

生4：拋物線的焦點坐標為（1，0），在直線y=x-1上，設A（x1，y1），B（x2，y2），利用拋物線的定義知，AB=x1+x2+ p，利用根與系數關系x1+x2=6可求解.

師：你們評價一下，哪一種解法更簡單，為什么？

生5：利用拋物線定義最簡單，在解方程組時，只要求得一元二次方程，利用根與系數關系，減少了許多計算；同時利用拋物線定義比運用兩點間距離公式容易，既不需要將y1，y2轉化為x1，x2，也不需要為了求（x1-x2）2而配方了.

師：說得很好！如果把直線改為y=x+1，還能用拋物線定義嗎？

生（不少）：不能！

師：利用定義，是要有條件的.你們能否說出生3與生1兩種解法的區別與聯系嗎？

生6：生3和生1都是先消元，但生1要求出y，而生3不用求y，是把目標式整體轉化為關于x的式子，利用根與系數的關系求解.

此時，學生7突然站起來就說：解方程組消去x后，利用根與系數關系y1+y2=4，AB=x1+x2+p=y1+1+y2+1+p=8（這樣的情況不在教師的預設之中）.

師：萬變不離其宗，各種方法的共同之處是什么？

生7：都需要解方程組.

師：請大家一起品嘗一下每一種解法的優劣？

生8：解方程組求兩個交點的坐標，如果這兩個交點的坐標非常簡單，這樣做就很方便，否則會很麻煩.

生9：解方程組是消去x還是消去y，不同的問題需要不同對待，“簡單”只是一個方面，它與我們的需求有關.

生10：利用定義求弦長雖然簡單，但它必須是過焦點的弦才能用；在方程有實數根的前提下，通過根與系數關系和兩點間距離公式求弦長，雖然有些煩瑣，但它是求弦長的一般方法.

師：運算問題一直是解析幾何的棘手問題，追求簡單化是我們的方向之一，但消元、轉化等思想方法是解決這一類問題的通性通法，切不可丟.

教學隨想：案例中，教師考慮到學生已有的認知基礎，以學生為主體，致力于培養學生在學習過程中的自主性和參與性，設計具有探究空間的問題，通過一題多解，在于訓練知識、方法，但教師不止步于此，又拋出問題：請評價一下哪一種解法更簡單，為什么會簡單？給學生評價的機會.學生就需要對比幾種方法的優劣，給出理由；經過教師的追問，脫離了束縛之后的學生，往往會發現一些教師預設之外的新的東西，還給教師不少精彩的回答.生9指出與需求有關，說得好極了，體現了辯證法的思想；生10的回答發現求弦長的一般方法和特殊方法，抓住了事物的本質屬性.把評價還給學生，每個學生都能有一點獨特見解，能在課堂舞臺上張揚一番，使得課堂變成有意義的學習的舞臺.讓學生參與評價的過程，就是給學生一次感悟的機會，有了悟性、執行操作，就容易獲得成功.把評價還給學生，還能提升學生的主人翁意識，更好地激發其學習的主動性和創造性.

五、提升學生認知基礎是實施有效教學的目標

案例5 拋物線y=kx2-7x-7和x軸有交點，則k的取值范圍為__________.

（學生思考2分鐘后回答）

師：這個結果……（故意拉長音）

生2：因為圖像是拋物線，所以y=kx2-7x-7是二次函數，二次項系數k值不能等于0，所以k且k≠0.

師：生2考慮問題細膩，生1得向生2看齊啊！

師：從二次函數和相對應的一元二次方程的聯系中，誰能試著變化一下這個題呢？

生3：一元二次方程kx2-7x-7=0有實數根，則k的取值范圍為________.

生4：二次函數和相對應的一元二次方程能相互轉換，結果是相同的，且k≠0.

生5：方程kx2-7x-7=0有兩個實數根，則k的取值范圍為________.

師：大家仔細看下生5和生3的兩個題，在已知條件上有什么不同？結果上有無區別？

生6：“有兩個實數根”意味著這個方程是一元二次方程，所以結果仍不變.

師：生6注意到問題中的隱含條件，又分析得到位.那么還有……（長音）

生7：方程kx2-7x-7=0有實數根，則k的取值范圍為________.

師：注意關鍵字、詞的變化，可不要掉入陷阱啊！

生8：從表面上看，kx2-7x-7=0是一元二次方程，但沒有注明二次項系數k值是否等于0，也沒有“兩個”實數根的字眼，因此，還有可能為一元一次方程，如此允許k= 0，故此k

師：生8從問題的現象到本質分析得很透徹，值得大家去學習啊！

生9：我將“拋物線”換成“函數”，改成：函數y=kx2-7x-7的圖像和x軸有交點，則k的取值范圍為________.

師：改得好，誰能說一說他和哪位學生的“考題”有聯系？

生10：生9的考題和生7的考題咋一看考查兩個知識，但解法是相通的.

師：說得太好了.大家還能……（拔高了聲調，帶有挑戰性）

生11：老師，我想把上題的“x軸”換成“坐標軸”，改成：函數y=kx2-7x-7的圖像和坐標軸有交點，則k的取值范圍為________.

師：說句實話，老師也沒想到這種情況，這名學生這樣去改，很有勇氣.那我們也拿出勇氣來挑戰一下吧！

生12：這個函數無論是一次還是二次，其圖像和y軸都有交點，允許k=0，所以答案為k

師：大家還有不同的看法嗎？

生13：生12還有一種情況沒有考慮到，拋物線和x軸沒有交點的情形也是符合題意的，即k.故此，k取全體實數.

師：大家相互啟發，相互補充，使一道題派生出若干道題來.同學們，一個人橫越太平洋，是很難的，若大家共同揚帆啟程，則是能穿越的.請同學們課后繼續搜集“這樣”的類型題，爭取做一個題會解一類題.

教學隨想：美國教育家布魯巴克指出：“最精湛的教學藝術，遵循的最高準則是讓學生自己提出問題.”從某種意義上講，發現和提出一個有價值的問題就是創新，有時甚至比解決問題本身更為重要.讓學生帶著問題走進教室，再讓學生帶著問題離開教室，應該是有效課堂的標志之一.案例中，教師通過“從二次函數和相對應的一元二次方程的聯系中，誰能試著變化一下這個題呢？”“大家仔細看下生5和生3的兩個題，在已知條件上有什么不同？結果上有無區別？”“改得好，誰能說一說他和哪位學生的‘考題’有聯系？”“大家還有不同的看法嗎？”等問題的引導，學生積極思考、勇于交流，使一道題派生出了若干題來，實現了做一個題會解一類題，達到了“減負增效”的效果.學生已經清楚的知識不必再講，學生不清楚的、未知的知識在教學中應作為關鍵點來突破，從而使教學實現了從以課本、教師為中心到以學生的學習、發展為中心的轉化.所以，教師只有了解了學生原有的知識結構，意識到學生已有知識和經驗的重要性，才能真正做到有的放矢，實現有效教學.

當然，數學教學應從學生的認知基礎出發，遠不止上述這些方面，限于篇幅，不再贅述.F