例析應用勾股定理的幾個誤區

周建明

【關鍵詞】 數學教學；勾股定理；誤區

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 C

【文章編號】 1004—0463（2015）07—0114—01

勾股定理是幾何中的一條重要定理，在解決直角三角形問題中，可以說它無處不在.但是，在實際解題過程中，常常受思維限制，極易造成錯解.將學生學習中產生的錯誤進行收集和整理，并合理利用這些錯題資源，能夠更好地培養學生的反思能力和創新思維，從而提高教學效率，達到“減負增效”的目的.下面，筆者舉例淺析應用勾股定理的幾個誤區.

一、忽略定理應用的條件

例1 已知△ABC中，三邊長a、b、c為整數，其中a=3，b=4，求第三邊c的長.

錯解：由勾股定理，得a2+b2=c2，∴c2=32+42=25，∴c=5.

剖析：應用勾股定理的前提條件必須是“在直角三角形中”，本題解法是受“勾3股4弦5”的影響，錯把△ABC當成直角三角形，導致錯誤的使用勾股定理.

正解：由三角形三邊關系可得b-a二、理解不透，直接套用公式

例2 在Rt△ABC中，a=8，b=10，∠B=90°，求第三邊c的長.

錯解：由勾股定理，得c2=a2+b2=82+102=164，∴c=.

所以第三邊長為.

剖析：本題解法中錯在對公式理解不透，只注意公式的表面形式a2+b2=c2，沒有分辨清楚哪個是斜邊，哪些是直角邊，本題忽視了∠B=90°，由于∠B=90°，所以b應為斜邊，而不是c.

正解：因為∠B=90°，∴b2=a2+c2，∴c2=b2-a2=102-82=36，∴c=6，故第三邊c長為6.

三、不加診斷，求邊漏解

例3 在Rt△ABC中，已知兩邊長為3、4，求第三邊的長.

錯解：因為△ABC是直角三角形，∴△ABC的第三邊長為=5.

剖析：本題錯在將3、4都當成了直角邊，事實上，本題并沒有明確告訴我們哪個角是直角，因此4也可以作為斜邊，所以須分類討論.

正解：1.若4為直角邊，則第三邊的長為=5；

2.若4為斜邊，則第三邊的長為=.故第三邊長為5或.

四、注意分類討論

例4 已知在△ABC中，AB=4，AC=3，BC邊上的高等于2.4，求△ABC的周長.

錯解：如圖1所示，

由勾股定理，得BD==，

CD==，

∴BC=BD+DC=+=5.

∴△ABC的周長為AB+BC+CA=4+5+3=12.

剖析：上面解法中，只考慮了三角形的高在三角形內部的情況，忽視了高在三角形外的情況，即當△ABC是鈍角三角形時.因此須分類討論.

正解：1.若∠C是銳角（如圖1），由勾股定理，得BD==，CD==.

則BC=BD+DC=+=5，這時△ABC的周長為AB+BC+CA=4+5+3=12；

2.若∠C是鈍角（如圖2），則BC=BD-DC=-=，這時△ABC的周長為AB+BC+CA=4++3=.所以△ABC的周長為12或.

總之，應用勾股定理解題時容易犯錯之處不僅僅是上述這些，錯誤也多種多樣，但最根本原因是對定理不熟悉或理解不深刻造成的，為避免上述錯誤，大家一定要仔細觀察題目的特點，深入挖掘其內涵條件，構造出符合條件的直角三角形，力求得到簡便、巧妙的解答.而且，教師合理利用學生身邊最常見的錯題，鼓勵學生透過錯誤發現問題，并利用錯誤這一資源，制訂策略并積極地開展有意識的訓練，讓學生在錯誤中完善思維.編輯：謝穎麗