數學史與小學數學教學

【摘要】20世紀70年代，數學史與數學教育之間的關系就成了數學教育的研究領域。在小學階段，能用于數學教學的歷史素材可以按照其作用來分類;學生對數學的理解過程和數學的歷史發展過程有一定的相似性;教師在教學中運用數學史的方式主要有附加式、復制式、順應式和重構式等。

【關鍵詞】數學史;教育取向;歷史相似性;運用方式

【中圖分類號】G623.5【文獻標識碼】A【文章編號】1005-6009（2015）17-0008-04

【作者簡介】汪曉勤，華東師范大學數學系（上海，200241）教授，博士生導師，中國科學院科學技術史博士，全國數學教育研究會副理事長，全國數學史學會副理事長，《數學教育學報》副主編。

奧地利著名物理學家和哲學家馬赫曾經說過：“沒有任何科學教育可以不重視科學的歷史與哲學。”這一觀點同樣適用于數學教育。也許有人會說：“我對數學史一無所知，不也把數學教得很好嗎？”誠然，在我們今天這個以分數論英雄的時代，這句話或許并沒有錯。但是，如何解決“分數可觀、情感消極”“解題無數、理解缺失”等矛盾？如何在課堂上營造“知識之諧”、展示“方法之美”、實現“情感之悅”，從而讓學生接受更美好的數學教育呢？把數學史融入小學數學教學，是值得我們探索的一條理想途徑。

實際上，早在20世紀70年代，數學史與數學教育之間的關系（History and Pedagogy of Mathematics，簡稱HPM）就已經成了數學教育的一個研究領域。走進小學數學的世界，我們赫然發現，有關HPM研究的主題竟如此豐富多彩、引人入勝。限于篇幅，本文只討論其中的三個主題。

一、教育取向的數學史

數學史是一座巨大的寶藏，其中包含大量的教學素材。數學史之所以有著“高評價、低應用”的境遇，原因固然有很多種，但數學教師手頭缺乏實用的數學史素材，是最主要的原因之一。另一方面，對小學數學教學中許多問題的探討，如小數和分數孰先孰后、簡易方程的必要性等，都需要以數學史作為參照。因此，教育取向的數學史研究是HPM領域不可或缺的基礎性工作。教育取向的數學史料浩如煙海，大致可以按照其作用來分類，下面舉兩類例子。

1.“情感”取向的歷史素材。

比利時科學史家薩頓曾經說過：“在科學和人文之間只有一座橋梁，那就是科學史，建造這座橋梁是我們這個時代的主要文化需要。”據此，我們同樣可以說：“在數學和人文之間只有一座橋梁，那就是數學史，建造這座橋梁是我們這個時代數學教育的需要。”小學數學在培養學生的數學思維，讓學生掌握基本知識和技能的同時，還應該傳遞數學背后的人文精神，為塑造學生的人格品質提供正能量。數學是人類的文化活動，不同時空的數學家都對數學的發展做出過貢獻，他們的勤奮、執著、堅韌、擔當，他們對真、善、美的不懈追求，無不是我們寶貴的精神財富。

古希臘數學家泰勒斯勤于天文觀測，堅持不懈，風雨無阻，有一次竟不慎掉入水溝，他通過拼圖發現了三角形內角和定理。中國南北朝時期的數學家祖暅（祖沖之之子）在思考問題時專心致志，天打響雷都聽不見，走路時竟撞上仆射徐勉，徐勉叫喚后才醒悟過來，他最終解決了球體積的難題。17世紀英國哲學家霍布斯40歲開始學習數學，最終成為數學家。19世紀蘇格蘭數學家華里司逆境成才，從一名書籍裝幀的學徒工到愛丁堡大學數學教授，譜寫了人生的傳奇。

溝通數學與人文，能更全面地發揮數學的育人價值。但是，在小學數學課堂上太缺乏數學故事了，需要我們不斷從數學史文獻中去發掘、整理和加工。

2.“方法”取向的歷史素材。

每一個公式和法則都有它的歷史，無論是它背后的思想方法，還是它從不完善到完善的演進過程，都能為教學提供借鑒。以“分數除法”為例，成書于1世紀的《九章算術》采用通分法：■÷■=■÷■=■;而印度數學家婆羅摩笈多（7世紀）和婆什迦羅（12世紀）采用我們熟悉的顛倒除數分子分母法：■÷■=■×■=■;這種方法在15—16世紀的歐洲卻鮮為人知。歐洲人除了采用《九章算術》中的通分法，還采用了很流行的交叉相乘法[1]：■。直到17世紀，顛倒除數分子分母法才逐漸被人們廣泛采用。

從教材中我們可能只能看見一棵樹，從歷史中我們卻可能會看到一片森林。

二、歷史相似性

所謂歷史相似性，是指人對數學的理解過程與數學的歷史發展過程具有一定的平行性，這是數學史融入數學教學的理論基礎。但是，學生對某個數學概念的理解是否真的存在歷史相似性，需要我們做深入細致的實證研究。如果歷史相似性得到印證，那么，數學史就成了一面鏡子，通過這面鏡子，教師可以預測學生對有關知識點可能會產生的認知困難，從而制訂合理的教學策略。

例如學生對“除以零”的理解。數學上為什么要做出這樣的規定？其實，歷史上數學家對這個問題也多有困惑。婆羅摩笈多認為0÷0=0;摩訶毗羅認為a÷0=a（a≠0）;釋律帕提認為a÷0=0（a≠0）;而婆什迦羅雖然用相當于我們今天的專有名詞來表示a÷0的結果，但他認為（a×0）÷0=a。

Reys和Grouws對中學生進行訪談[2]，一位八年級學生認為0÷0=0，并解釋說：“一無所有除以一無所有，什么都得不到。”Wheeler和Feghali對52名職前小學教師的研究發現[3]：職前小學教師在“除以零”的理解上存在困難，67%的職前教師認為0÷0=0。Ball對19名職前中小學教師進行訪談[4]，發現很少有人能合理解釋為什么0不能作為除數。Even和Tirosh對33名以色列中學數學教師進行調查，發現很多教師對于“為何4÷0無意義”的解釋是“一種規定”[5]。Crespo和Nicol在教學中發現[6]：小學生和職前小學教師普遍認為5÷0=0。上述研究表明，今天學生對于“除以零”的困惑或誤解確實具有歷史相似性。

三、教學實踐

要讓小學數學教師充分認識和普遍接受HPM，首先要讓他們看到成功的教學案例。HPM視角下的數學教學，不能生硬地為歷史而歷史，必須兼顧知識點的歷史發生、發展順序、邏輯順序以及兒童的心理發生、發展順序。數學史的運用方式也并不是單一的，有附加式、復制式、順應式和重構式，視課堂需求而定。

附加式是指在課堂上講述數學故事、人物生平、歷史背景等。例如：在引入“大數”時，講述古希臘數學家阿基米德數沙的故事;在講授“三角形的內角和”時，講述法國數學家帕斯卡少年時代通過折紙證明三角形內角和定理的故事;在講授“用字母表示數”時，講述“未知數為什么用x來表示”的故事;在引入“眾數”時，講述古希臘伯羅奔尼撒戰爭中普拉提亞人數城墻磚塊的故事;等等。

復制式是指在教學中直接使用歷史上的數學問題。例如，人教版六上“數學廣角”單元即含有兩個古代數學名題：一是《孫子算經》中的“雉兔同籠”問題：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”一是《算法統宗》中的“僧分饅頭”問題：“一百饅頭一百僧，大僧三個更無爭。小僧三人分一個，大小和尚得幾丁？”古代數學名題猶如陳年佳釀，必能在課堂上散發醇香。

順應式是指將數學史上的數學問題進行改編，或利用數學史材料編制數學問題，以順應當前教學的需要。例如，歐幾里得《幾何原本》第1卷命題37為：“同底且位于相同的兩條平行線之間的三角形（面積）相等。”[8]利用該命題，可編制如下問題（人教版五上）：圖1中有幾對面積相等的三角形？（陰影部分的一對三角形被稱為“歐幾里得蝴蝶”）利用中國古代的七巧板，可編制如下分數問題（人教版五下）：圖2中每個圖形的面積占整個正方形面積的幾分之幾？圖形7和4共占幾分之幾？圖形3、4、5共占幾分之幾？

很多概念如果直接按照歷史進行教學，可能并不自然，因而需要對歷史進行重構。以“負數”為例，我們知道，中國古代數學家因為解方程的需要而率先使用負數。漢代數學名著《九章算術》方程章第3題所解的三元一次方程組問題是2x+y=13y+z=14z+x=1，第三個方程兩邊乘2，與第一個方程相減，出現了正數不夠用的情形：y的系數等于0-1。《九章算術》中不僅有正負數，還建立了正負數加減法則，即“正負術”。加法法則為：“異名相除，同名相益;正無人正之，負無人負之。”即異號兩數相加，絕對值相減;同號兩數相加，絕對值相加;0加正數為正，0加負數為負。類似地，減法法則為：“同名相除，異名相益;正無人負之，負無人正之。”魏晉時期數學家劉徽在注釋“正負術”時說：“今兩算得失相反，要令正負以名之。”在西方，13世紀意大利數學家斐波那契認為：方程x+36=33沒有根，除非第一個人（x）欠債3個錢幣。16世紀德國數學家斯蒂菲爾指出：零減去一個大于零的數所得結果“小于一無所有”，是“荒謬的數”。17世紀法國數學家帕斯卡則認為：0減去4純屬無稽之談。18世紀，仍有數學家感到困惑：世界上還有什么東西會“小于一無所有”？直到19世紀，還有數學家不接受負數。顯然，我們不能直接通過一元一次方程或二元一次方程組來引入負數;而歷史又告訴我們，學生對于“直接從零中減去一個正數”這樣的運算會感到困惑，所以也不能用它來引入負數，因此，只能通過重構式了。

四、結語

數學史有助于營造“知識之諧”，展現“方法之美”，成就“情感之悅”，實為數學教育所不可或缺。數學史與數學教育之間的關系博大精深，足以成為小學數學教育中一個前景無限廣闊的研究領域。然而，無論是文獻研究還是實證研究，目前我們所見到的有價值的成果還是很有限的。雖然蔡宏圣老師和他的團隊篳路藍縷，取得了引人注目的成績，但一個“小學HPM學術共同體”還有待建立。我們熱切期待有更多的小學數學教育研究者和一線教師關注HPM、走進HPM、研究HPM、實踐HPM。■

【參考文獻】

[1]Smith，D.E.（1925）.History of Mathematics（Vol.2）.Boston：Ginn & Company，1925.226-227.

[2]Reys，R.E.& Grouws，D.A.（1975）.Division involving zero：Some revealing thoughts from interviewing children.School Science and Mathematics，75（7）：593-605.

[3]Wheeler，M.M.& Feghali，I.（1983）.Much ado about nothing：Preservice elementary school teachers concept of zero.Journal for Research in Mathematics Education，14（3）：147-155.

[4]Ball，D.L.（1990）. Prospective elementary and secondary teachers understanding of division.Journal for Research in Mathematics Education，21：132-144.

[5]Even，R.，& Tirosh，D.（1995）. Subject-matter knowledge and knowledge about students as sources of teacher presentations of the subject-matter.Educational Studies in Mathematics，29：1-20.

[6]Crespo，S.，Nicol，C.（2006）.Challenging preservice teachers mathematical understanding：the case of division by zero.School Science and Mathematics，106（2）：84-97.

[7]Keiser，J.M.（2004）.Struggles with developing the concept of angle：comparing sixth-grade students discourse to the history of angle concept.Mathematical Thinking and Learning，6（3）：285-306.

[8]Heath，T.L.（1968）.The Thirteen Books of Euclids Elements（Vol.1）.Cambridge：The University Press.332.