試析小學(xué)數(shù)學(xué)解題思路

譚和英

摘 要：解題的方法，不能全靠記、全靠蒙，解題的根本方法是對題意的理解、剖析，對問題的梳理探究。方法的生成是有源頭的，發(fā)現(xiàn)解題方法的思路是有規(guī)律可循的，講評數(shù)學(xué)難題，關(guān)鍵之一是講清解題思路及其生成途徑。本文擬就此問題展開探討，以期能夠與廣大同仁交流、探討。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；結(jié)題思路；探究

1 例題分析

例：把一個三角形分成面積相等的4個三角形，可以怎樣分？你能想到幾種分法？（人教版數(shù)學(xué)·五年級上冊·多邊形的面積）

【分析】把一個三角形分成面積相等的4個三角形，所得的每個小三角形的面積是大三角形面積的1/4。

2 尋找方法的途徑

2.1 從知識到方法

思路1：如：三角形面積的代數(shù)公式為S=ah÷2，把一個三角形分成面積相等的四個三角形，其實就是要對三角形的底邊a或（和）高h(yuǎn)進(jìn)行切分，高h(yuǎn)是頂點到對應(yīng)底邊的距離，為一定值，從“高”的概念首先容易想到對某一底邊四等分（圖1）。

解題思路首先是題中情境或條件或求解、求證目標(biāo)，初步激活思維實現(xiàn)知識鏈接而形成，進(jìn)而從包括概念、公式和定理在內(nèi)的知識出發(fā)去發(fā)現(xiàn)方法。解題思路的生成依賴于知識鏈接，知識鏈接是形成思路并發(fā)現(xiàn)方法的主要途徑。

2.2 從數(shù)的角度切入生成方法

思路2 ：形的問題即基礎(chǔ)的幾何問題的求解、求證，需要從數(shù)量關(guān)系的角度比較、判斷、分析，需要進(jìn)行量的替換。形的情境或問題需要從數(shù)的角度切入、推理并解決。本例拆分底邊a或（和）高h(yuǎn)的基本思路就是依據(jù)知識，從數(shù)的角度切入而生成的。

另外，從數(shù)的角度稍做變換，可把本例的切分對象看做整體1，將一個三角形分成面積相等的4個三角形，就是把1拆分為兩個1/2，再把每個1/2再均分，生成分步拆分底邊的方法。將大三角形先拆分為兩個面積相等的較小的三角形，即⊿DCB和⊿ACD，再將這兩個較小的三角形，在不同的底邊上進(jìn)行平分（圖2），即對大三角形做兩次均等分割，有多種具體分法。

或者，先把1看做1/4+3/4，再把3/4看做1，把后面這個1看做1/3+2/3……

從數(shù)的角度切入形的情境并解決問題，能夠拓展思維的深度。不過，小學(xué)生的抽象思維能力有限，講解數(shù)量關(guān)系及其變換，往往需要對照圖形呈現(xiàn)、分析。

2.3 變換角度生成方法

思路3： 圖1所示的方法，從概念推知也好，憑直覺蒙也好，學(xué)生容易想到。從圖1的圖形來看，這一方法可看做用D點平分AB，再用G與K點分別平分BD與AD。換個角度也可看做先用G點分割出⊿GCB和⊿ACG，再用D與K點對⊿ACG進(jìn)行三等分分割。即生成新的分切方法：按1：3切分某一底邊產(chǎn)生一小一大兩個三角形⊿GCB和⊿ACG，再將較大的⊿ACG切分為3個面積相等的小三角形，可以直接將某個底邊三等分或分步切分，也生成許多具體分法。

變換角度是形成新的思路的有效途徑，能夠生成相關(guān)聯(lián)的新方法，能夠拓展思維的視野。

2.4 從方法到方法

思路4 ：關(guān)注圖2中D、F分別是AB、BC的中點和⊿DBF的面積是⊿ABC的面積的1/4，在小學(xué)生沒有三角形的中位線定理作支撐的情況下，可生成取各個底邊的中點相互連接的切分方法（圖3），還可以生成關(guān)于三角形中位線的探究問題。

一種解題方法可以生成另一條思路、另一種方法，當(dāng)一題有多解時，先讓學(xué)生試解，再組織討論或評析學(xué)生的普通解法，引導(dǎo)未發(fā)現(xiàn)其他方法的同學(xué)借鑒思路或關(guān)注普通方法所得解答中的特點，去發(fā)現(xiàn)“新”的方法，例如由本例的思路1生成思路2與思路3、思路2生成思路4，可以引導(dǎo)學(xué)生在合作與分享中生成新思路發(fā)現(xiàn)新方法。

2.5 置疑與探究中生成方法

思路5 ：方法1、2、3是對底邊進(jìn)行分割，能對高h(yuǎn)進(jìn)行分割嗎？如果拆分高h(yuǎn)，底邊的位置和長度就會發(fā)生變化。雖然單獨拆分高h(yuǎn)行不通，但可以啟示同時拆分底邊a和高h(yuǎn)。這一思路與思路4相關(guān)聯(lián)且殊途同歸，得到同樣的分切圖形。

大三角形的面積為ah÷2，把底邊a和高h(yuǎn)分別平分得到的小三角形的面積為：a/2 × h/2 ÷ 2 = ah/4 ÷ 2。正好是大三角形面積的1/4。先作平行于AB的DE線段垂直平分高h(yuǎn)，得到⊿ADE，再平分底邊BC得到點F，連接D和F、E和F，可得另外三個小三角形（圖3）。圖3中的⊿DBF、⊿EFC的面積為⊿ABC面積的1/4，分別為⊿DCB、⊿EBC面積的一半；所以，⊿DCB、⊿EBC面積為⊿ABC面積的一半，⊿DCB、⊿ACD面積相等，以C為頂點，⊿DCB和⊿ACD的底邊AD與DB相等，D為AB的中點，同理E為AC的中點。

⊿ADE、⊿DFE的面積之和為⊿ABC面積的一半，⊿ADE和⊿DFE同底等高，與⊿DBF、⊿EFC面積相等且等高，故這四個面積相等的等高三角形的底邊等長，即DE等于BF與FC，等于AB的一半。

直接走到同時拆分底邊a和高h(yuǎn)的思路上來是困難的，因為小學(xué)生沒有三角形的中位線定理做支撐，在引導(dǎo)學(xué)生做單獨切分高h(yuǎn)的可行性分析時，不少學(xué)生難以做出（正確）判斷。雖然有的難點在某些教學(xué)環(huán)境中可以淡化或放棄，但突破難點的方法不過是一個“巧”字，巧生于“拙”，由拙生巧突破難點是重要的技巧。由知識鏈接形成思路發(fā)現(xiàn)方法并完成求解、求證，平淡無“巧”似于“拙”，笨拙的思路與方法有時不能快速或完全解決問題，但對多數(shù)學(xué)生管用，還可生成新的思路與方法。例如，不經(jīng)過明顯的知識鏈接過程，大多數(shù)學(xué)生能夠想到或“蒙”到直接將一條底邊4等分的方法，此法雖然普通，卻能通過變換角度產(chǎn)生分步切分底邊的思路而發(fā)現(xiàn)新方法，能產(chǎn)生值得關(guān)注的D、F點和⊿DBF生成思路4。

有些習(xí)題，可以展示參考答案給學(xué)生自己去核對、去領(lǐng)悟，有些習(xí)題則可精心講評。依據(jù)新課程理念，設(shè)計好突破思維難點的環(huán)節(jié)、程序，設(shè)計好引導(dǎo)或置疑的有效問題，把握好講評的節(jié)奏，使學(xué)生知道解題思路、方法是如何生成的，找到方法的源頭，真真明了解題思路和各種思路之間的關(guān)聯(lián)，明晰思維的過程，學(xué)生的思維能力才能得到有效提升，方能構(gòu)建高效的數(shù)學(xué)講評課堂。

（作者單位：重慶市石柱縣西沱鎮(zhèn)小學(xué)）