淺談極限在《數(shù)學(xué)分析》課程中的作用

朱小飛

摘 要：該文首先介紹極限定義的形成，發(fā)展和完善，在了解極限定義的基礎(chǔ)上來進(jìn)一步理解極限理論，極限理論是微積分的基礎(chǔ)，其次主要介紹了極限在連續(xù)定義、導(dǎo)數(shù)定義、積分定義等方面的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：極限 數(shù)學(xué)分析 作用 課程

中圖分類號：O171 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1674-098X（2015）03（a）-0249-02

Analyze the Role of the Limit in "Mathematical Analysis" Course

Zhu Xiaofei

（Anhui Vocational College of Urban Management，Hefei Anhui，231631，China）

Abstract：This paper introduces the definition limits the formation， development and improvement in the understanding of the limits defined by the ground up to further understand the theoretical limit，limit theory is the basis of calculus，secondly introduces the ultimate in a row Definition，；Curriculum the definition of derivative，integral definition and other applications.

Key Words：Limit；Mathematical Analysis；Role；Curriculum

極限思想極其重要，在研究數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、推動數(shù)學(xué)發(fā)展上，它是一個很有力的工具。近年來，很多數(shù)學(xué)家都圍繞著它展開各種各樣的研究，因為極限理論是數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)中很大一部分內(nèi)容都是在極限理論的基礎(chǔ)上建立起來的，隨著極限理論的建立，應(yīng)用數(shù)學(xué)也就隨之發(fā)展起來了。極限理論越趨于成熟完善，數(shù)學(xué)研究也就隨之越來越深入。

極限理論是微積分的基礎(chǔ)，微積分又是《數(shù)學(xué)分析》中的重要內(nèi)容，所以也就可以說極限理論貫穿著整個《數(shù)學(xué)分析》，是其基礎(chǔ)理論。該理論在《數(shù)學(xué)分析》中幾乎處處可見，有著廣泛的應(yīng)用，小到一個定義，大到一個定理的證明。本文通過列舉《數(shù)學(xué)分析》中的一些概念、性質(zhì)和定理來說明該理論在《數(shù)學(xué)分析》中的重要作用。

1 極限理論的形成、發(fā)展和完善

19世紀(jì)大數(shù)學(xué)家柯西通過變量方法給出了極限定義[1]。這一變量極限概念的提出，在是數(shù)學(xué)史上是一重大創(chuàng)新。除此之外，無窮小被定義為極限為零的變量也是由柯西提出來的，進(jìn)而給出了極限與無窮小之間的關(guān)系?？挛鳛闃O限概念的提出做出了大量工作，但只是為極限精確的定義的提出做出了一些基礎(chǔ)性的工作，因為他所做的這些工作還有待進(jìn)一步完善，使得極限定義更加嚴(yán)格、精確。

在柯西給出的極限的定義基礎(chǔ)上，德國數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯在1856年給出了極限嚴(yán)格的概念，即現(xiàn)今廣泛采用的ε-δ極限定義[2]：

（1）ε-N的數(shù)列極限定義：設(shè)有數(shù)列與常數(shù)，若對于任意給定的正數(shù)則稱為數(shù)列的極限。

（2）ε-δ的函數(shù)極限定義：設(shè)函數(shù)在點的某去心領(lǐng)域內(nèi)有定義，若對任給的正數(shù)ε，總存在正數(shù)δ，使得當(dāng)0δ時，都有ε，則稱常數(shù)為當(dāng)時的極限。

2 極限理論在《數(shù)學(xué)分析》中的重要作用

2.1 連續(xù)定義的應(yīng)用

（1）設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，若，則稱函數(shù)在點連續(xù)[2]。

例1：證明函數(shù)在點=0連續(xù)。

證：因為

所以函數(shù)點=0處連續(xù)。

（2）設(shè)函數(shù)在點的右（左）領(lǐng)域內(nèi)有定義，若，

則稱函數(shù)在點右（左）連續(xù)[2]。

注：函數(shù)在點連續(xù)的充要條件是：在點既是右連續(xù)，又是左連續(xù)。

例2：討論函數(shù)

在的連續(xù)性。

解：因為 ，

，

而=1.所以函數(shù)在右連續(xù)，但不左連續(xù)，從而它在不連續(xù)。

從上面簡單的介紹中，我們可以看出，連續(xù)函數(shù)就是利用極限來定義的，并且在連續(xù)函數(shù)的應(yīng)用中，極限理論是始終貫穿其中的。由此可見，極限理論是連續(xù)函數(shù)部分的基礎(chǔ)內(nèi)容，在連續(xù)函數(shù)的應(yīng)用中有著重要的作用。

2.2 導(dǎo)數(shù)定義的應(yīng)用

（1）設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，若極限，存在，則稱函數(shù)在點處可導(dǎo)，并稱該極限為函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)，記作.若極限不存在，則稱在點處不可導(dǎo)[2]。

也可令

，

例3：求函數(shù)=在點處的導(dǎo)數(shù)。

解：由定義求得

=

（2）設(shè)函數(shù)在點的某右鄰域上有定義，若右極限=，存在，則稱該極限值為在點的右導(dǎo)數(shù)，記作[3]。

類似地，定義左導(dǎo)數(shù)=。

注：若函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，則存在的充要條件是與都存在，且=。

例4：設(shè)=

討論在處的左、右導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)數(shù)。

解：

=，

=

因為，所以

（3）若函數(shù)在區(qū)間上每一點都可導(dǎo)（對區(qū)間端點，僅考慮相應(yīng)的單側(cè)導(dǎo)數(shù)），則稱為上的可導(dǎo)函數(shù)[2]，記作或，即

=

例5：證明。

證明：

由上述可得，導(dǎo)數(shù)定義中所用到的基礎(chǔ)知識就是極限的定義，根據(jù)極限的定義，我們得出了導(dǎo)數(shù)的一系列性質(zhì)和定理。所以，極限是導(dǎo)數(shù)部分必不可少的理論知識。

3.3 積分定義的應(yīng)用

（1）若設(shè)是定義在上的一個函數(shù)，是一個確定的實數(shù)，任給的正數(shù)ε，總存在某一正數(shù)δ，使得對的任何分割T，以及在其上任意選取的點集，只要‖T‖δ，就有，就稱函數(shù)在區(qū)間上可積或黎曼可積，數(shù)稱為在上的定積分或黎曼積分[3]，記作=。其中T或，=，，‖T‖，，稱為積分和或黎曼和.（）。

因為將定積分定義的ε-δ說法和函數(shù)極限的ε-δ說法相對照，發(fā)現(xiàn)有相似的陳述方式，所以也常用極限符號來表達(dá)定積分，即==。

例6：利用定積分求極限：

解：把此極限化為某個積分和的極限式，并轉(zhuǎn)化為計算定積分為此作如下變形

=

不難看出其中的和式是函數(shù)在區(qū)間上的一個積分和（這里所取的是等分分割，）.所以

=.

（2）定積分的有關(guān)性質(zhì)都是利用極限定義的方法求證的如：

例7：若在上可積，為常數(shù)，則kf在上也可積，且

[3]

證明：由于存在，故有

所以

在上面的論述過程我們可以發(fā)現(xiàn)，極限理論在積分的定義、性質(zhì)和定理中都起著極為重要的作用。

3 結(jié)語

該文從極限定義的形成、發(fā)展和完善出發(fā)，首先敘述了極限的定義，在了解極限定義的基礎(chǔ)上，講述了極限理論在《數(shù)學(xué)分析》中的廣泛應(yīng)用。該文就通過列舉一些與極限相關(guān)的具體定義和定理來說明極限理論在《數(shù)學(xué)分析》中的重要作用。如連續(xù)定義、導(dǎo)數(shù)定義、積分定義的應(yīng)用。

參考文獻(xiàn)

[1] 吳振英，陳湛本.論極限的思想方法[J].廣州大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2003，5（2）：11-18.

[2] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（上冊）（下冊）[M].3版.北京：高等教育出版社，2001.

[3] 劉玉璉，傅沛仁.數(shù)學(xué)分析講義（上冊）（下冊）[M].3版.北京：高等教育出版社，1992.