淺談極限在《數學分析》課程中的作用

朱小飛

摘 要：該文首先介紹極限定義的形成，發展和完善，在了解極限定義的基礎上來進一步理解極限理論，極限理論是微積分的基礎，其次主要介紹了極限在連續定義、導數定義、積分定義等方面的應用。

關鍵詞：極限 數學分析 作用 課程

中圖分類號：O171 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2015）03（a）-0249-02

Analyze the Role of the Limit in "Mathematical Analysis" Course

Zhu Xiaofei

（Anhui Vocational College of Urban Management，Hefei Anhui，231631，China）

Abstract：This paper introduces the definition limits the formation， development and improvement in the understanding of the limits defined by the ground up to further understand the theoretical limit，limit theory is the basis of calculus，secondly introduces the ultimate in a row Definition，；Curriculum the definition of derivative，integral definition and other applications.

Key Words：Limit；Mathematical Analysis；Role；Curriculum

極限思想極其重要，在研究數學、應用數學、推動數學發展上，它是一個很有力的工具。近年來，很多數學家都圍繞著它展開各種各樣的研究，因為極限理論是數學問題的基礎。數學中很大一部分內容都是在極限理論的基礎上建立起來的，隨著極限理論的建立，應用數學也就隨之發展起來了。極限理論越趨于成熟完善，數學研究也就隨之越來越深入。

極限理論是微積分的基礎，微積分又是《數學分析》中的重要內容，所以也就可以說極限理論貫穿著整個《數學分析》，是其基礎理論。該理論在《數學分析》中幾乎處處可見，有著廣泛的應用，小到一個定義，大到一個定理的證明。本文通過列舉《數學分析》中的一些概念、性質和定理來說明該理論在《數學分析》中的重要作用。

1 極限理論的形成、發展和完善

19世紀大數學家柯西通過變量方法給出了極限定義[1]。這一變量極限概念的提出，在是數學史上是一重大創新。除此之外，無窮小被定義為極限為零的變量也是由柯西提出來的，進而給出了極限與無窮小之間的關系?？挛鳛闃O限概念的提出做出了大量工作，但只是為極限精確的定義的提出做出了一些基礎性的工作，因為他所做的這些工作還有待進一步完善，使得極限定義更加嚴格、精確。

在柯西給出的極限的定義基礎上，德國數學家維爾斯特拉斯在1856年給出了極限嚴格的概念，即現今廣泛采用的ε-δ極限定義[2]：

（1）ε-N的數列極限定義：設有數列與常數，若對于任意給定的正數則稱為數列的極限。

（2）ε-δ的函數極限定義：設函數在點的某去心領域內有定義，若對任給的正數ε，總存在正數δ，使得當0δ時，都有ε，則稱常數為當時的極限。

2 極限理論在《數學分析》中的重要作用

2.1 連續定義的應用

（1）設函數在點的某鄰域內有定義，若，則稱函數在點連續[2]。

例1：證明函數在點=0連續。

證：因為

所以函數點=0處連續。

（2）設函數在點的右（左）領域內有定義，若，

則稱函數在點右（左）連續[2]。

注：函數在點連續的充要條件是：在點既是右連續，又是左連續。

例2：討論函數

在的連續性。

解：因為 ，

，

而=1.所以函數在右連續，但不左連續，從而它在不連續。

從上面簡單的介紹中，我們可以看出，連續函數就是利用極限來定義的，并且在連續函數的應用中，極限理論是始終貫穿其中的。由此可見，極限理論是連續函數部分的基礎內容，在連續函數的應用中有著重要的作用。

2.2 導數定義的應用

（1）設函數在點的某鄰域內有定義，若極限，存在，則稱函數在點處可導，并稱該極限為函數在點處的導數，記作.若極限不存在，則稱在點處不可導[2]。

也可令

，

例3：求函數=在點處的導數。

解：由定義求得

=

（2）設函數在點的某右鄰域上有定義，若右極限=，存在，則稱該極限值為在點的右導數，記作[3]。

類似地，定義左導數=。

注：若函數在點的某鄰域內有定義，則存在的充要條件是與都存在，且=。

例4：設=

討論在處的左、右導數與導數。

解：

=，

=

因為，所以

（3）若函數在區間上每一點都可導（對區間端點，僅考慮相應的單側導數），則稱為上的可導函數[2]，記作或，即

=

例5：證明。

證明：

由上述可得，導數定義中所用到的基礎知識就是極限的定義，根據極限的定義，我們得出了導數的一系列性質和定理。所以，極限是導數部分必不可少的理論知識。

3.3 積分定義的應用

（1）若設是定義在上的一個函數，是一個確定的實數，任給的正數ε，總存在某一正數δ，使得對的任何分割T，以及在其上任意選取的點集，只要‖T‖δ，就有，就稱函數在區間上可積或黎曼可積，數稱為在上的定積分或黎曼積分[3]，記作=。其中T或，=，，‖T‖，，稱為積分和或黎曼和.（）。

因為將定積分定義的ε-δ說法和函數極限的ε-δ說法相對照，發現有相似的陳述方式，所以也常用極限符號來表達定積分，即==。

例6：利用定積分求極限：

解：把此極限化為某個積分和的極限式，并轉化為計算定積分為此作如下變形

=

不難看出其中的和式是函數在區間上的一個積分和（這里所取的是等分分割，）.所以

=.

（2）定積分的有關性質都是利用極限定義的方法求證的如：

例7：若在上可積，為常數，則kf在上也可積，且

[3]

證明：由于存在，故有

所以

在上面的論述過程我們可以發現，極限理論在積分的定義、性質和定理中都起著極為重要的作用。

3 結語

該文從極限定義的形成、發展和完善出發，首先敘述了極限的定義，在了解極限定義的基礎上，講述了極限理論在《數學分析》中的廣泛應用。該文就通過列舉一些與極限相關的具體定義和定理來說明極限理論在《數學分析》中的重要作用。如連續定義、導數定義、積分定義的應用。

參考文獻

[1] 吳振英，陳湛本.論極限的思想方法[J].廣州大學學報：自然科學版，2003，5（2）：11-18.

[2] 華東師范大學數學系.數學分析（上冊）（下冊）[M].3版.北京：高等教育出版社，2001.

[3] 劉玉璉，傅沛仁.數學分析講義（上冊）（下冊）[M].3版.北京：高等教育出版社，1992.