淺談數(shù)學(xué)中的最值與優(yōu)化問題

劉強輝

【摘要】進入二十一世紀(jì)的今天人類生活理念：“用最小的投入得到最大的回報”。縱觀這幾年的數(shù)學(xué)發(fā)展不管是中考、高考還是競賽，都無不體現(xiàn)最值的重要性。總之最值問題可以說貫穿著宇宙世界，滲透到我們生活的每個角落，所以一直以來探究數(shù)學(xué)中的最值及其應(yīng)用倍受人們的青睞，乃至人類社會發(fā)展永恒的主題。

【關(guān)鍵詞】最值問題 ?分類思想 ?優(yōu)化 ?投入成本

那么在生產(chǎn)實踐中，從數(shù)學(xué)的角度我們可以分為代數(shù)最值問題：如在現(xiàn)實生活中，我們經(jīng)常碰到帶有“最”字的問題，投入最少、效益最大、材料最省、利潤最高、路程最短等.在幾何圖形中按一定規(guī)律運動的元素，在一定的范圍內(nèi)存在最大值或最小值稱為幾何最值問題，它一般有關(guān)于角度的最值、有關(guān)線段（距離）的最值、有關(guān)周長的最值、有關(guān)面積的最值、體積最值等.本文將通過數(shù)學(xué)中的最值問題的分類與解決思路談?wù)勛约旱囊恍┠w淺看法.希望它能給學(xué)生在數(shù)學(xué)思想方法和解題思路上帶來啟發(fā)。

一 求角的最大值問題

例1、已知定點A（，0），圓O的方程x2+y2=9，動點M在圓上，

則 ∠OMA的最大值為多少？

解：如圖所示，設(shè)∠OMA=，AM = x

由cos∠OMA=

即 =

當(dāng)且僅當(dāng)x=時

此時 ? ? ?所以

二 距離和的最值問題。

例2、如圖，菱形ABCD中，AB=2，，∠BAD=60°，E是AB的中點，P是對角線AC上的一個動點，則PE+PB的最小最是

分析：由菱形的性質(zhì)知：點B與點D關(guān)于AC對稱。因為P在AC上

支運動，所以PB=PD。要求PE+PB的最小最，即求

PD+PB的最小值。連接DE交AC于點，則DE即為所求。又∠BAD=60°，AE=AD，E為AB的中點，所以DE⊥AB，而AB=AD=2，所以

DE=，即PD+PB的最小值為

三 求面積的最值問題

例3、 ?如圖，ADPE是個矩形，PD=m，PE=n（mn均不為0），BC為過點P的直線，且與AD、AE的延長線交于B、C。求△ABC的面積的最小值。

解：設(shè)∠B=∠EPC=a，△ABC的面積為S。

∴

即： n2 tan2a+2（mn-S）tana+m2=0 ?（n≠0）∵ tana為實數(shù)，∴△≥0，

即 ?4（mn-S）2-4m2n2≥0 ? S﹥0 ，∴S≥2mn..

故 ?當(dāng) ? tana= ?時 ?△ABC面積的最小值為2mn.

四 求體積的最值問題

例4、 ?設(shè)半徑為R的球有一內(nèi)接圓柱，當(dāng)內(nèi)接圓柱體積最大時，求出圓柱的底面半徑和高，并求出體積的最大值。

解：設(shè)內(nèi)接圓高柱為h，底面半徑為r，則，

∴

當(dāng)且僅當(dāng)r=R，h=R ?時

總之，隨著工業(yè)科學(xué)化的突飛猛進，在實際生產(chǎn)、現(xiàn)實生活和科學(xué)研究中，許多情形下往往要求操作、經(jīng)營和決策者考慮怎樣才能以最低的成本、最短的時間獲取最大的效益，這類問題在數(shù)學(xué)中稱為最優(yōu)化問題.而數(shù)學(xué)最優(yōu)化問題離不開最值，因此如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中將數(shù)學(xué)最值問題——如完成一件事所用的費用最少、路線最短、效益最大、產(chǎn)值最高、容積最大等等與優(yōu)化問題有效的結(jié)合到生活實際中，是教與學(xué)的最大挑戰(zhàn)。反之，如果學(xué)生只會書本知識，那是我們的教學(xué)最大的誤導(dǎo)和失敗。所以在平時的教學(xué)中，我們應(yīng)把培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識作為數(shù)學(xué)教學(xué)的根本目標(biāo)，不僅僅是為了提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，更為重要的是能使學(xué)生學(xué)到有用的數(shù)學(xué)，從實際出發(fā)解決數(shù)學(xué)問題服務(wù)日常生活。

【參考文獻】

《模型思想與優(yōu)化理論》、《如何看待當(dāng)前經(jīng)濟研究的“數(shù)學(xué)化”》、《課程教材研究》