數學期望等式的證明與實際應用

鄒莉

【摘要】數學期望是隨機變量的數字特征之一，本文通過等式的證明，以及實際問題中的

決策優化，醫學上的疾病普查等問題，闡述了數學期望的應用.

【關鍵詞】隨機變量；數學期望；等式證明；實際應用

一、有關數學期望等式的證明

例1 試證：若取非負整數值的隨機變量ξ的數學期望存在，則Eξ=∑∞k=1pξ≥k.

二、數學期望在實際中的應用

1.在決策優化上的應用

例3 某海港對停泊船只供給凈水，初始價是每噸a元，以后再供要加50%的附加費；若用不完造成浪費則每噸加收資源費a4，設某輪船的凈水用量是密度函數p（x）的隨機變量，為節約其用水總開支，試求其最佳首次供水量y.

解 設某船的初始供水量為y，用水量為ξ，費用為η，則有

2.期望在醫學疾病普查中的應用

例4 醫療系統中常遇到大量人群普查某種疾病.假設需要檢驗N個人的血，如果逐人驗血，則共需檢驗N次，平均每人一次.若把這N個人分成Nk組，每組k人，把這k個人的血混合，首先檢驗混合血樣，平均每人1k次，如果呈陽性，則再逐個血樣檢驗，即共需k+1次，平均每人需k+1k次，某地區群眾患某種疾病的概率為0.004，若對該地區5000人進行此疾病普查，問用分組檢驗方法是否比逐人檢查減少檢查次數？

解 設將5000人分為5000k組，每組k人，每人所需檢驗的次數為隨機變量X，則X的概率分布：

∴當k=2，3，4…EX即每人平均所需次數小于1.這比逐人檢查次數要少，且令EX′=0，

知當k=16時，EX最小，即5000人大致分為每組16人檢驗.

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