淺談獨(dú)立學(xué)院線性代數(shù)初等變換法的教學(xué)改革

劉德光　劉逸　高揚(yáng)

[摘 要]“線性代數(shù)”課程是我國(guó)高等院校理工、經(jīng)管類等專業(yè)的一門(mén)重要的基礎(chǔ)必修課。通過(guò)對(duì)線性代數(shù)教學(xué)模式與教學(xué)內(nèi)容的研究，從中提取初等變換法的相關(guān)內(nèi)容并使其完整化、系統(tǒng)化；充分理解和把握初等變換法的各種應(yīng)用，逐一對(duì)其進(jìn)行詳細(xì)的闡述并成體系，從而打破現(xiàn)有教材的固定模式，達(dá)到既精簡(jiǎn)內(nèi)容又提高教學(xué)質(zhì)量的目的。

[關(guān)鍵詞]線性代數(shù) 初等變換法 獨(dú)立學(xué)院 教學(xué)改革

[中圖分類號(hào)] G420 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 2095-3437（2015）03-0114-02

引言

“線性代數(shù)”課程是我國(guó)高等院校理工、經(jīng)管類等專業(yè)的一門(mén)重要的基礎(chǔ)必修課。線性代數(shù)課程的學(xué)習(xí)不僅為學(xué)生后續(xù)的專業(yè)課學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)，也是很多學(xué)生繼續(xù)深造的基礎(chǔ)。因此，學(xué)好線性代數(shù)是非常重要的。

線性代數(shù)課程普遍被學(xué)生認(rèn)為是比較難學(xué)的一門(mén)課程，主要的困難在于該課程的知識(shí)覆蓋面廣且很抽象。而目前全國(guó)許多獨(dú)立學(xué)院在基礎(chǔ)課程的改革方面都趨向于精而簡(jiǎn)，基礎(chǔ)課的課時(shí)也在不斷減少，這無(wú)疑又為線性代數(shù)課程的教學(xué)蒙上了一層陰影。

獨(dú)立學(xué)院辦學(xué)的宗旨是培養(yǎng)創(chuàng)新型、應(yīng)用型人才。獨(dú)立學(xué)院大部分學(xué)生與二本的學(xué)生相比，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相對(duì)薄弱。針對(duì)這一特點(diǎn)，我們應(yīng)該采取與二本學(xué)生不同的方式進(jìn)行教學(xué)。如何根據(jù)獨(dú)立學(xué)院的辦學(xué)宗旨及學(xué)生的特點(diǎn)組織教學(xué)，因材施教，提升線性代數(shù)課程的教學(xué)質(zhì)量是目前我們需要解決的重要問(wèn)題。[1]

一、目前線性代數(shù)教材存在的問(wèn)題

目前專科和二本院校線性代數(shù)的教材都相對(duì)成熟且版本較多。[2] [3]而獨(dú)立學(xué)院是一種新興的高等教育體系，其發(fā)展尚處于探索階段，所以獨(dú)立學(xué)院的教材還不完善，且很少有專門(mén)針對(duì)獨(dú)立學(xué)院的教材，因此許多獨(dú)立學(xué)院很難選擇適合的教材。大多數(shù)獨(dú)立學(xué)院都是依托母體學(xué)校辦學(xué)，而所依托的母體學(xué)校都是一本或者二本院校。因此許多獨(dú)立學(xué)院仿效母體學(xué)校，使用與其相同的教材，這就嚴(yán)重忽視了獨(dú)立學(xué)院學(xué)生的特點(diǎn)。無(wú)論是從教材的難度和深度還是從學(xué)生的接受能力來(lái)講都是不可取的，這將會(huì)增加獨(dú)立學(xué)院學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的難度，降低學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和積極性。然而，與專科的學(xué)生相比，獨(dú)立學(xué)院的學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好，專科教材從內(nèi)容來(lái)看其廣度和深度都不能滿足獨(dú)立學(xué)院學(xué)生在繼續(xù)深造及后續(xù)專業(yè)課程的學(xué)習(xí)方面的需要，所以在獨(dú)立學(xué)院采用專科的線性代數(shù)教材也是不可取的。

近幾年，不少高校教師也致力于撰寫(xiě)適合于獨(dú)立學(xué)院的線性代數(shù)教材[4]，由于很多都還是第一版，所以書(shū)中的錯(cuò)誤較多，內(nèi)容安排也不夠科學(xué)，各章節(jié)的鏈接也不夠到位，從教材的內(nèi)容布局來(lái)看，也沒(méi)有擺脫原有教材的基本模式，缺乏創(chuàng)新。因此，從獨(dú)立學(xué)院的辦學(xué)宗旨以及學(xué)生自身的特點(diǎn)出發(fā)，編撰適合獨(dú)立學(xué)院的線性代數(shù)教材是當(dāng)務(wù)之急，也是提高獨(dú)立學(xué)院線性代數(shù)課程教學(xué)質(zhì)量的重要途徑。

二、初等變換法的介紹存在的問(wèn)題

初等變換法是線性代數(shù)課程的精髓，它幾乎貫穿于該課程全部?jī)?nèi)容。[5]而目前國(guó)內(nèi)大多數(shù)教材對(duì)初等變換和初等變換法的介紹分散于各個(gè)章節(jié)，知識(shí)點(diǎn)顯得較為凌亂和分散，因此，在教學(xué)過(guò)程中師生的教與學(xué)兩個(gè)方面都受到了一定的阻礙和限制。一方面，由于初等變換法的介紹較為分散，且在每個(gè)章節(jié)幾乎都要用到，所以教師在授課時(shí)，就很難合理地安排教學(xué)內(nèi)容；另一方面，學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)，由于知識(shí)點(diǎn)分散，不能夠較為系統(tǒng)地學(xué)習(xí)、理解及應(yīng)用初等變換法，所以部分學(xué)生就會(huì)感覺(jué)思緒混亂難以理清。

三、對(duì)目前初等變換法教學(xué)的調(diào)查研究

現(xiàn)在高校的許多專業(yè)都要開(kāi)設(shè)這門(mén)課程，就本學(xué)院來(lái)說(shuō)除國(guó)際學(xué)院和人文學(xué)部外的所有學(xué)生都要學(xué)習(xí)線性代數(shù)，人數(shù)大約為6000人。然而，該課程具有高度的抽象性和嚴(yán)密的邏輯性，再加上許多教材自身編撰得不夠科學(xué)，使學(xué)生在學(xué)習(xí)線性代數(shù)時(shí)困難重重，難以較好地掌握。初等變換法是線性代數(shù)課程的精髓，它幾乎貫穿于該課程的全部?jī)?nèi)容。因此，研究和探索線性代數(shù)初等變化法的教學(xué)新模式是非常必要的。

我們采用課堂交流、座談及發(fā)放調(diào)查問(wèn)卷等形式去了解學(xué)生在學(xué)習(xí)線性代數(shù)課程中遇到的問(wèn)題。我們提出的問(wèn)題和改革意見(jiàn)得到了學(xué)生們的高度響應(yīng)。同時(shí)，我們也對(duì)近三屆的在校學(xué)生在線性代數(shù)學(xué)習(xí)方面的情況進(jìn)行了調(diào)查，發(fā)現(xiàn)我們提出的問(wèn)題和要改革的內(nèi)容確實(shí)是學(xué)生在學(xué)習(xí)中存在的共性問(wèn)題，這更堅(jiān)定了我們改革的信念。

四、對(duì)初等變換法教學(xué)的改革與實(shí)踐

（一）初等變換法教學(xué)改革的總體思路

為了適應(yīng)高校基礎(chǔ)課程的改革趨勢(shì)，我們要求對(duì)線性代數(shù)教學(xué)模式與教學(xué)內(nèi)容的改革，既要達(dá)到精簡(jiǎn)內(nèi)容的效果，又要達(dá)到讓學(xué)生學(xué)起來(lái)容易和提高教學(xué)質(zhì)量的目的。我們要熟悉、掌握教材內(nèi)容，從中提取初等變換法的相關(guān)內(nèi)容并使其完整化、系統(tǒng)化；充分理解和把握初等變換法的各種應(yīng)用，逐一對(duì)其進(jìn)行詳細(xì)的闡述并成體系。總體來(lái)說(shuō)，通過(guò)對(duì)知識(shí)內(nèi)容的研究，我們將先對(duì)初等變換法做一個(gè)集中、統(tǒng)一、完整的介紹，之后再逐一介紹其在各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的具體應(yīng)用，使知識(shí)完整、系統(tǒng)、清晰，從而打破現(xiàn)有教材的固定模式。

（二）初等變換法教學(xué)改革的具體實(shí)施方案

1.初等變換法教學(xué)改革的內(nèi)容

為了達(dá)到教學(xué)改革的目標(biāo)，我們要在教學(xué)改革的內(nèi)容做到以下兩點(diǎn)。

（1）對(duì)初等變換及初等變換法進(jìn)行系統(tǒng)、詳細(xì)的介紹。首先，介紹初等變換的概念。初等變換包括兩大類，即初等行變換和初等列變換，而它們又各包含3種變換。三種行變換為：1.互換兩行；2.以非零數(shù)乘某一行的所有元素；3.將某一行各元素乘數(shù)后，加到另一行的對(duì)應(yīng)元素上去。把三種行變換中的行變成列就是三種列變換。其次，介紹初等變換的性質(zhì)及其相關(guān)定理。再次，介紹什么是初等變換法以及利用初等變換法的兩個(gè)重要工具，就是如何利用初等變換把矩陣化成行階梯型矩陣和行最簡(jiǎn)型矩陣。最后，介紹初等矩陣的定義，以及初等矩陣與初等變換的關(guān)系及其相關(guān)的一些定理。

（2）逐次介紹初等變換法在各個(gè)內(nèi)容中的具體應(yīng)用。初等變換法在線性代數(shù)課程的學(xué)習(xí)中貫穿始終，因此在系統(tǒng)地介紹完初等變換法后我們將逐一地對(duì)其進(jìn)行應(yīng)用，我們的介紹順序如下：1.介紹利用初等變換法求矩陣的秩；2.利用初等變換法求逆矩陣；3.利用初等變換法求解矩陣方程；4.利用初等變換法判定向量及向量組間的線性表示關(guān)系；5.利用初等變換法判斷向量組的線性相關(guān)性；6.利用初等變換法求向量組的秩及其最大無(wú)關(guān)組；7.利用初等變換法求解線性方程組等。通過(guò)逐一介紹使初等變換法的應(yīng)用系統(tǒng)化、清晰化，既可以使學(xué)生容易接受，又精簡(jiǎn)了內(nèi)容，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中有清晰的思路，而且能夠各個(gè)擊破并成系統(tǒng)。

2.初等變換法教學(xué)改革的目標(biāo)與實(shí)踐

（1）編撰相應(yīng)的線性代數(shù)教材。根據(jù)改革思路，我們已經(jīng)按照上面的改革內(nèi)容整編出一套系統(tǒng)介紹以初等變換及初等變換法為基礎(chǔ)，以系統(tǒng)、有序地逐一介紹初等變換法的各種應(yīng)用為主線的教材。（2）制作相應(yīng)的課件及教案。在完成以上教材后，我們集中本院所有的數(shù)學(xué)教師，每人分一部分任務(wù)把教材制作成PPT課件，并由主要編撰人把教材的內(nèi)容逐章逐節(jié)編寫(xiě)成教案。（3）結(jié)合教材和教案進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐。本院教師共同對(duì)本教材及教案進(jìn)行實(shí)踐，并通過(guò)與學(xué)生進(jìn)行課堂交流、發(fā)放調(diào)查問(wèn)卷以及開(kāi)通網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái)等方式收集各種反饋信息，從目前來(lái)看成績(jī)還是令人滿意的。最后我們反復(fù)實(shí)踐，結(jié)合教師自身的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和學(xué)生的反饋信息，形成教學(xué)研究報(bào)告。而我們的目標(biāo)則是通過(guò)教材及教案的編撰，在教學(xué)實(shí)踐中探索該方法達(dá)到的教學(xué)效果以及存在的問(wèn)題，不斷改進(jìn)和完善，以期形成一套較為成熟的教學(xué)方法，同時(shí)也達(dá)到既能讓學(xué)生輕松掌握知識(shí)，又能夠精簡(jiǎn)內(nèi)容的效果。

目前通過(guò)研究分析《線性代數(shù)》教材基本的知識(shí)結(jié)構(gòu)，提煉出了初等變換法的共性，并使其系統(tǒng)化、完整化。再研究初等變化法在各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，通過(guò)對(duì)各種應(yīng)用的研究使其自成體系，并在此基礎(chǔ)上編撰出了教材和講義。在提煉和完善的過(guò)程中，在課堂教學(xué)和實(shí)驗(yàn)教學(xué)中采用相關(guān)教材和講義并對(duì)其進(jìn)行研究性教學(xué)和實(shí)踐性教學(xué)，探索該課程的新教學(xué)模式。此外，還對(duì)學(xué)生進(jìn)行教學(xué)效果的調(diào)查與研究，不斷完善該教學(xué)模式。目前整個(gè)改革在本院收到了一定成效。

[ 注 釋 ]

[1] 高揚(yáng).獨(dú)立學(xué)院《線性代數(shù)》教學(xué)初探[J].廣西教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2012（1）.

[2] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.線性代數(shù)（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[3] 趙樹(shù)嫄.線性代數(shù)（第四版）[M].北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，2008.

[4] 段復(fù)建.線性代數(shù)[M].北京：科學(xué)出版社，2009.

[5] 王燕華.矩陣初等變換在《線性代數(shù)》中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)教學(xué)與研究，2011（30）.

[責(zé)任編輯：覃侶冰]