淺談換元積分法的應用

蘭華龍

【摘要】本文從學生的認知能力出發，拓展基本積分公式的作用，采用等價變形、轉化等方法，力求解決換元積分中如何換元問題，以此揭示求解不定積分的解題思想方法.

【關鍵詞】不定積分;公式拓展;轉化;數學方法

大多數學生在中學時就非常熟悉換元法，它是解答相關問題的常用數學方法，換元積分法是高等數學教學中的一個重點，也是教學中的一個難點.較多的學生感到不容易掌握換元積分公式的應用，原因是把握不好怎樣換元，為此，我在教學實踐中做了以下嘗試：

一、引導學生對基本積分公式的再認識，拓展基本積分公式的應用

傳統的教學方法是先介紹換元積分公式，再運用公式求積分

設∫f（u）du=F（u）+C且u=φ（x）可導，則有

∫f[φ（x）]φ′（x）dx=∫f（φ（x））dφ（x）=∫f（u）du=[F（u）+C]=F（φ（x））+C.

問題是怎樣將∫g（x）dx 化為∫f[φ（x）]φ′（x）dx形式，學生往往感到困惑. 如果從學生已經熟悉的知識出發，進一步挖掘基本積分公式的作用，其實教材中16個基本積分公式就是16類換元積分公式，對此學生的反映是：目標明確，易于操作.

例如 介紹公式∫1udu=lnu+C時 指出這里u=x成立，當u是x的函數，

即u=φ（x）時∫1φ（x）dφ（x）=lnφ（x）+C也成立

于是有 ∫12x+1d2x+1=ln2x+1+C;

∫1sinxdsinx=lnsinx+C……

二、發揮等價變形在換元積分中的作用，解決好如何換元問題

如何將一個不定積分形式轉化為基本積分公式類型是解決換元積分問題的關鍵.下面以求兩個例題的不同解法說明.

例1 求∫11+cosxdx.

解法1（應用三角函數公式合項、湊微分）

∫11+cosxdx=∫11+2cos2x2-1dx=∫12cos2x2dx

=12∫sec2x2dx=∫sec2x2dx2=tanx2+C.

解法2（分子分母同乘、拆項、湊微分）

∫11+cosxdx=∫1-cosx1-cos2xdx=∫1-cosxsin2xdx

=∫1sin2xdx-∫cosxsin2xdx=∫csc2xdx-∫1sin2xdsinx

=-cotx+1sinx+C.

解法3（利用萬能公式）

設t=tanx2，則 sinx=2t1+t2，cosx=1-t21+t2，dx=21+t2dt.

于是1+cosx=1+1-t21+t2=21+t2.

所以∫11+cosxdx=∫1+t22·21+t2dt=∫dt =t+C=tanx2+C.

解法4（添項、湊微分）

∫11+cosxdx=∫1-sinx1+cosxdx+∫sinx1+cosxdx

=∫1-sinx1-cosx1-cos2xdx+∫sinx1-cosxdx

=∫1-sinx-cosx+sinxcosxsin2xdx-∫11+cosxd1+cosx

=-cotx-lncscx-cotx+1sinx+lnsinx-ln|1+cosx|+C.

例2 求 ∫1xx2-1dx（x>1）.

解法1（三角代換）設x=sect，0

∫1xx2-1dx=∫1secttantsecttantdt=∫dt=t+c=arccos1x+C.

解法2（第二換元法） 設x2-1=t x=t2-1 ，則dx=1t2-1dt.

∫1xx2-1dx=∫1t2+1.t.tt2+1dt=∫dtt2+1=arctant+C =arctanx2-1+C.

解法3（倒數變換、湊微分）設x=1t，則dx=-1t2dt.

∫1xx2-1dx=∫11t1t2-1-1t2dt=∫-11-t2dt =-arcsint+c=-arcsin1x+C.

通過教學示范，讓學生逐步認識到利用換元積分法求積分，重要的是要善于觀察已給積分的形式，應用相關變形、代換轉化為某個基本積分公式類型求解.