淺析高中數學文化選修課程的教學設計途徑

【摘要】新課程標準指出：數學文化是貫穿整個高中數學課程的重要內容之一，并要求將其滲透在每個模塊或者專題中.本文主要通過幾個例子探討了在高中開設數學文化選修課程的教學設計途徑，希望通過選修課程的開設引導學生去探索數學發展的歷史軌跡，激發學生的學習趣味，提高學生的文化素養和創新能力。

【關鍵詞】數學文化 選修課程 設計途徑

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）19-0036-03

目前，新課程標準指出：數學文化是貫穿整個高中數學課程的重要內容之一，并要求將其滲透在每個模塊或者專題中。數學文化建設，已經成為各國教師教育研究和培訓工作者關心與討論的熱點。傳統的教學模式：定義-定理-例題-習題，難以讓學生熱愛數學，并且禁錮了學生的創新意識。我們就需要在數學課程上給學生融入數學文化的相關知識。但是上課時間有限，我們不能系統的講述，所以我們建議適當開設少學時的數學文化選修課程，使得學生在選修課堂上對于數學的發展歷程，數學家的故事及數學分支等有所了解。接下來，本文就應用幾個實例來探討下高中數學文化選修課程的教學設計途徑。

一、以歷史為載體的教學設計

在數學教學中融入歷史，帶進人物，使得數學充滿人情味。以歷史為載體的教學可以在課堂上展示趣聞軼事，也可以注入歷史材料，還可以將歷史的發展過程作為我們選修課程本身的一部分，例如，數學史上的三次危機。本案例是在概率選修課程的導入部分。

【案例1】大樣本一定能保證調查結論準確嗎？ 1936年，美國《文學文摘》雜志根據1 000萬用戶和從該雜志訂戶所收回的意見。斷言蘭登將以370：1 61的優勢在總統選舉中擊敗羅斯福，但結果是：羅斯福當選了，《文學文摘》大丟面子，原因何在呢？

以眾所周知的歷史為載體，引發學生思考和討論。討論后的結論是：樣本出了問題：1936年美國的電話普及率并不高，其次，該雜志訂戶也很有限，因此，1000萬戶的大樣本仍然屬于特殊群體，不具有代表性。

二、以探究為導向的教學設計

如果要學生學習科學的數學方法，體味數學的形成與變化過程，有什么方法比通過積極的探究更好呢？而且積極地探究也更能勾起學生學習與創新的欲望。本案例是針對高中軌跡章節的拓展選修內容。

【案例2】在軌跡的探究課堂上，老師提出這樣的探究問題：平面內與兩定點的距離之積為常數的動點P的軌跡。

生：以F1，F2所在直線為X軸，以線段F1F2的垂直平分線為Y軸建立平面直角坐標系；設|F1F2|=2c（c>0），再設動點P的坐標為P（x，y）

∵|MF1|·|MF2|=m，

兩邊平方，化簡得：

x4+y4+2x2y2-2c2y2+c4-m2=0

當通過列式化簡得到一個二元四次函數的時候，學生們遇到困惑不知道該如何進展下去，太難了，打算放棄。這時候老師卻告訴大家：“別急，我們有辦法”。

師：幾何畫板演示當c與m的大小發生改變時，我們一起欣賞會圖形的變化。

在幾何畫板的幫助下，老師演繹出了伯努力雙曲線，卡西尼卵形線的形成與變化。這個時候學生的眼里閃現的是驚喜和欣賞。原來數學這么神奇！

接下來就可以引導學生分析引起圖形變化的因子，進而由圖像的對稱性進行參數的分類討論，深層次探索“平面到兩定點之和，之差，之比的軌跡”。既能鞏固課堂所學知識，還能很好地培養學生的探索與創新意識。

三、以數學欣賞為切入點的教學設計

其實，對美與數學的探討自古就有。開普勒認為：“數學是這個世界之美的原型?！敝姆▏鴶祵W家、物理學家彭加勒說：“感覺數學的美，感覺數和形的調和，感覺幾何學的優雅，這是所有數學家都知道的美感?！碑斎?，數學文化的美學觀也會對數學教育有著重要影響。本案例以欣賞圖形的美和愛情故事的美來引導學生感受數與形相結合的數學思想。

【案例3】不解風情的真相：笛卡爾、公主與心形曲線的欣賞。

笛卡爾與克里斯汀公主美麗而哀傷的愛情故事深深地打動著我們的學生，而當年笛卡爾給公主的情書就是一個函數：r=a（1-sinθ）。這是一個極坐標形式的函數，其中a為參數，不同的取值可以得到不同的圖像，當a<0，就是一個倒轉的心形圖，下面就是當a=1和a=-1時的圖像。

在直角坐標里，y=1-sinx時一個太普通不過的函數，但是若將之看成極坐標函數，則得到一個非常漂亮的曲線，看來一個人的外表不重要，關鍵是看你站在什么位置，不同的位置將會有不同的價值體現。而且不要以為數學就是一堆公式，數學也很感性。

引申欣賞：不錯的幾個心形曲線：

（1）通過橢圓繪制的心形函數（圖5）

你可以通過繪制兩條橢圓并限制定義域的方法繪制。當然因為高中學生沒有學習傾斜的橢圓，所以我們可以引導學生在選修課程上自己動手，通過對橢圓進行旋轉和取值限制得到。

（2）通過單值函數合成的圖像

這個方程下的圖像（圖6））非常完美，形狀非常接近心目中的愛心圖形，你可以將之看成兩個單值函數圖像的合成：

（3）隨著信息的發展和對數學的探索，有人早就畫出了3D版的心形圖像

其實這些美麗的圖片在網絡上我們可以大量的查詢到，將數與形結合起來，畫圖其實是一種簡單的數學語言，體現了數量之間的關系，也能充分體現出數學的美。

四、以游戲為情境的教學設計

數學中的游戲能為學生動手，動腦，動口，多種感官參與學習活動創造更好的環境。在“趣”中學，在“賽”中練，調動學生的好奇心與求知欲望是設計游戲的目標。下面通過一個游戲設計引導學生進入斐波那契數列的學習中。

【案例4】師：首先請同學們做一個小游戲：十秒鐘的加法

1+2+3+5+8+13+21+34+55+89=？（PPT展示）

師：十秒到！請問哪位同學能把你的答案和大家分享下？ 生A：231

師：很好！那我們再來一次。34+55+89+144+233+377+610+987+1597+2584=？

師：時間到！算出來的同學可以報下你的答案。生一片安靜。

師：呵呵，數字有點大，計算難度增加。不過沒關系，通過這節斐波那契數列選修課程的學習大家可以很容易找到他們的規律進行計算。

課程學習：兔子問題：假設理想狀態下：一對大兔子每月生對小兔子，每對新生在出生一個月后又下崽，假若兔子不死亡。問：一對兔子一年能繁殖多少對兔子？

這個問題小學生也能慢慢算出來，但我們既然是高中生，就要有所突破。我們這里可以針對大兔子和小兔子對數列個表格：

可以得到共有兔子144對。

高中生不僅僅要填數，而且要找規律，這就是數學素養。

規律：1 每個月的小兔子數=上個月的大兔子數

2 每個月的大兔子數=上個月大兔子數+上個月小兔子數

3 每個月的大兔子數=前兩個月的大兔子數的和

這個就是斐波那契數列的規律。由這個規律，我們可以得到一個二階遞推公式：

Fn表示n個月的兔子對數。

當然由這個公式可以推導出很多規律，計算能力遠遠超過小學生水平，而且會有更多更豐富的內容在里面。

然后引導學生研究斐波那契數列在各個領域的奇妙之處。

（1）自然界中的斐波那契數列。

（2）斐波那契數列與黃金比例。

（3）證券投資的艾略特“波浪理論”。

（4）斐波那契數列與股市時間。

五、以未知領域探索為依托的教學設計

在歐美大片中，我們經?？吹竭@樣的鏡頭：通過眼睛或者指紋，可以打開安全系統智能大門。智能識別系統在高中生眼里還是充滿了神秘感。利用學生的好奇心可以引發對數學本質與用途的思考。智能識別系統有人臉識別，虹膜識別，掌紋識別，指紋識別，還有筆跡鑒定等。這里以筆者比較熟悉的水印識別為例，引領學生走進數學的廣泛應用中。

【例5】對著燈光，我們可以看到100元鈔票里有隱藏的毛主席頭像，這就是鈔票中的防偽標識之一—水印。那么水印是怎么嵌進去的呢？它在多媒體數字產品中又如何證明產權所有呢？我們用簡單的圖例與流程引導大家分析。當然在這里我們需要先了解任意的圖像甚至我們的人臉，手掌都是可以用一個數字的矩陣表示的，我們的操作都是在這樣的原理上進行

的。

接下來將置亂后的水印嵌入到原始載體的2級分解圖的系數中，進行還原，可以得到加水印的圖片（e），這張圖片不僅僅能再次提取出水印，而且具有很強的抗攻擊性，既在網絡上傳播時，被別人剪切，壓縮，銳化，加噪音后依然可以使用我們手中的密碼提取出水印，證明版權，或者防偽。如圖所

示：

其實這類應用在醫學，天文，音樂處理等很廣泛。甚至我們每個人都用過的手機中的美圖秀秀都是類似原理。

六、結束語

伯金斯教授和加德納教授認為：盡管獲得和保存知識是教育的重要目標，但只有當學習者在理解的基礎上內化這些知識時，知識才能真正成為他自己的知識。數學文化選修課程突出數學文化滲透，注重知識理解，引導學生探究，欣賞數學之美，穿插歷史，開闊視野，讓學生更親近數學。

參考文獻：

[1]葛斌華.《數學文化漫談》[M]，經濟科學出版社：2009-10

[2]吳軍.《數學之美》[M]，人民郵電出版社：2012-5

[3]孫魁.《身邊的數學》[M]，中國林業出版社：2004-1

[4]何晴艷.《基于不可分小波及經驗模式分解的水印算法研究》[D]，碩士論文：2008-5