高中數學中數形結合思想的應用

李俊

摘要：數形結合的思想對于學習數學，掌握數學思想內涵有著重要的作用。其中，數形結合思想和直觀形象性已經幫助學生解決了很多問題。此外，數形結合可以培養人的分析和邏輯思維能力。本文從數形結合的重要性分析入手，提出了高中數學教學中數形結合方法的有效應用策略。

關鍵詞：高中教學；數形結合；應用教學

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2015）07-031-1

數形式組合是常用的數學解題的思維方式，形成數形結合思想可以使某些抽象的數學問題直觀、生動，可以改抽象思維為形象思維，掌握數學問題的本質。此外，數形相結合方法的使用，很多問題都解決了，而且解決方法很簡單。

一、“數形結合思想”在代數問題上的求解應用

在高中數學的教學中，使用“數形結合”、“由形到數”解題，我們需要研究圖形的特征和它們的數量關系。“數”、“形”、“數形結合”思想不僅能使學生系統地掌握知識，且也是一種提高思維與訓練的過程。函數的單調性解決不等式、函數與數列、函數的思想對于解決方程根的分布問題、函數與解析幾何等等都會應用到。然而在傳統教學中，對表層知識的學習極為重視，忽視了數學學科是作為一種抽象思維而存在的，它和語言學科不同，不會感性化，也不會被打上嚴謹與理性的印記。數學作為一種體系思維，是抽象性的，是理性嚴謹的知識體系，倘若不進行思維能力的培養，當然無法達到既定的教學目標和教學效果，更無法提高數學學科的學習效率。

二、“數形結合思想”在實際生活中的應用

用數形結合的思想去解決問題，有助于將實際問題進行簡單轉化。抽象的問題可以用“數形結合”思想幫助體會和解決。教學中用“數形結合”的思想來解決是普遍存在的，現實生活中的問題利用數形結合的思想來解決也是有案可稽的。例如：解析幾何是數形思想相結合的產物。其中用以使數與形結合在一起的工具——古老的坐標法，今天仍被廣泛地應用于地質、地理學等領域。再如，各式各樣的地圖的繪制，都是以坐標法為基礎的杰作。現在人們可以通過在一個平面上，畫上許多條線，縱的叫經線，橫的叫緯線，交叉的經緯線就可以確定任何一個地方在地球上的位置。例如，用東經116°，北緯30°這兩個數據，就可以確定地球上江蘇省的位置。

三、在解決方程與不等式問題中的應用

方程f（x）-g（x）=0的解情況，可化為f（x）=g（x）的解情況，也可看作函數y=f（x）與y=g（x）圖像的交點的橫坐標的情況，所以只要我們準確地畫出這兩個函數的圖像，再根據圖像就能很容易地看出它們有幾個交點，及交點大致的位置或坐標，還有一些其他的重要信息，這樣我們就可以根據這些信息來解題，特別是選擇題。對于計算題，我們也可以用數形結合這種方法為自己提供一種思考問題的思路，也可以用來檢查自己到底有沒有做錯。

例：求方程lgx-sinx=0的解的個數。

分析：此方程解的個數為y=lgx的圖象與y=sinx的圖象的交點個數。

因為sinx≤1，lgx≤1

所以0在平面直角坐標系中作出兩個函數的圖象，如圖，形中覓數，可直觀地看出兩曲線有3個交點。

不等式f（x）>g（x）解的問題可以轉化為y=f（x）的圖象在y=g（x）圖象上方的那部分點的橫坐標的取值范圍。

例：不等式ax+2a<4-x2的解集是（-2，2），則a的取值范圍是。

由y1=a（x+2）是過定點的直線，y2=4-x2是圓在y≥0時的半圓。

則只有a<0滿足條件。

四、運用數形結合思想幫助解題

數形結合可以促進學生的動手能力，讓他們可以在無聊乏味的數學課堂中找到樂趣，動手過程中經過數和形的兩大步驟，可以更加鞏固所學習的數學知識。在數學學習中經常會有很多概念、公理、定理及公式等，其中大多數都很抽象，學生很難理解和記憶。但是若借助圖形來學習，就事半功倍了，不僅可以激發學生的學習興趣，并且更加直觀形象有效，便于學生理解和加以記憶，從而提高了學生的學習積極性。所以，高中數學教師要多用這個方法來引導和教導學生，在解決數學問題時，將抽象的數學語言同直觀的圖形相結合，實現抽象的概念與具體形象的聯系和轉化。在高中數學教學中合理應用數形結合可以加深學生對數學知識的理解，培養學生良好的思維習慣，提高學生的解題能力。

總之，數形結合思想“數”和“形”相互滲透的結合，直觀幾何圖形和代數的描述相結合，使代數、幾何問題互相轉化，使抽象思維和形象思維結合起來；應用數形結合思想，充分研究這兩種意義上的條件和結論的數學問題有著內在的何種聯系，揭示了代數和幾何意義，把形式和空間之間的關系進行組合，以找到解決問題的思路，讓問題得到解決。在教學過程中，揭示轉換的數形間的關系，將有助于激發學生深刻理解數學知識和數學問題的精華，使學生可以利用數形結合的思維來解決數學問題，從而提升能力。

[參考文獻]

[1]黨紅紅.數形結合思想在中學數學中巧用[J].山西師范大學學報（自然科學版）研究生論文專刊，2011（06）.

[2]賀云昊.數形結合思想在高中數學教學中的應用[J].中國校外教育，2013（05）.

[3]姚愛梅.高中數學教學中數形結合方法的有效應用[J].學周刊，2011（04）.