創意平板折疊桌的設計及優化模型

汪亞楠 朱家明 郭明珠 徐霞明

【摘要】針對創意平板折疊桌的設計，綜合使用立體幾何、平面剖析、力學平衡、參數化設計、模糊綜合分析、線性規劃以及類比等知識，分別構建描述折疊桌折疊過程的動態描述模型、最優化設計及軟件系統開發和參數化設計等模型，運用Matlab和Lingo軟件編程，研究了以下問題：描述此折疊桌的動態變化過程，給出此折疊桌的設計加工參數；綜合考慮產品穩固性、加工方便性、用材節省性，確定最優設計加工參數。

【關鍵詞】平板折疊桌 動態過程描述 設計滿意度 參數化設計 Matlab

折疊桌作為當今時代一大時尚元素，在設計時除了做到美觀外，更要求設計的產品穩固性好、加工方便、用材最少。因此其參數化設計及優化設計顯得尤為重要。對于任意給定的折疊桌高度和圓形桌面直徑的設計要求，因其設計的形狀、尺寸等不同，很多公司計劃開發折疊桌設計軟件，根據客戶任意設定的折疊桌高度、桌面邊緣線的形狀大小和桌腳邊緣線的大致形狀，給出所需平板材料的形狀尺寸和切實可行的最優設計加工參數，使得生產的折疊桌盡可能接近客戶所期望的形狀。

一、數據的獲取及假設

本文數據來源于2014年全國大學生數學建模競賽B題。為便于解決問題，提出如下假設：（1）設計所用材質均相同且木板厚度均為3厘米；（2）不考慮木條間摩擦因素的影響，即各桌腿間切割時不留空隙；（3）折疊桌設計時只考慮產品穩固性、加工方便性、用材節省性；（4）桌面受力均勻；（5）加工時平板材料無損耗且人工操作時能進行正確判斷實現操作。

二、折疊桌的動態變化過程及設計加工參數

（一）建模思路

為說明桌子折疊過程的空間格局變化，首先借助桌腳邊緣曲線、桌腿長及開槽長度來描述該折疊桌的形狀及大小，研究折疊桌的折疊原理，確定參數及變量間的聯系，其次建立三維空間坐標系，選取折疊前后桌腳各點及桌面中心為切入點分析其空間坐標變化規律；最后運用畫圖軟件畫出其動態變化示意圖，并結合坐標變化描述折疊桌的動態變化過程。

（二）建模準備

由折疊桌的折疊視頻知：桌子折疊前后桌子均是完全對稱的。展開時是120cm×50cm×3cm的長方形平板（見圖2）。折疊后桌子（見圖3）的桌面為木板中心位置的最大內切圓；折疊后桌子著地的支撐點只有最外面四個桌腳；兩側桌腿間的小木條均由鋼筋連系固定，鋼筋位置固定在四條腿的中心位置；桌腿開槽以保證折疊時鋼筋的滑動，槽的上端點為達到平板狀態時的槽口，下端點是在支撐時鋼筋滑到的位置，兩端間距離即開槽的長度。折疊桌形狀和尺寸的確定取決于木條長度、桌高、圓形桌面直徑、平板尺寸、鋼筋位置、開槽長度及桌角邊緣曲線（見圖3中紅線）。

圖2 桌子展開時的形狀

圖3 桌子折疊后時的形狀

圖4 圓形桌面的俯視圖

（三）模型的建立

由于該折疊桌具有對稱性，在此選舉折疊桌的四分之一部位進行研究。同理，其他部分可由對稱性求出。

1.相關參數的確定及量化。為了便于分析木條長度，首先將桌子平面化得其俯視圖，如圖3。圓周四分之一共有10根木條。設木條長li（i=1，2，…，10），在桌面上建立平面直角坐標系，圓周經過每個凹槽的中點，則圓周的方程為x2+y2=252，將桌面上半部分看成由10根小木條拼湊而成，設小木條長度為mi。通過在方程中計算出這10根小木條的長度，即可得到折疊桌木條的長度li，小木條的長度為■，則第i根木條長■。

假設在折疊的每一時刻桌子都是固定的，即鋼筋抵住滑槽的下端。通過投影，得第i根木條與第一根木條在木條前表面平行的平面上的投影圖，如圖5。同時，將第根木條分成三部分表示，如圖6。

圖5 木條的滑槽平面 圖6 木條分割圖

其中θ表示第一根木條與地面形成的夾角；ai表示第i根木條從頂部到滑槽的頂端的長度；bi表示滑槽長度；ci表示木條從滑槽的下端到木條底端的長度（其中■），由木板鋪平時可知■，則■）。由三角函數關系式得：

■ （1）

由桌子折疊原理可知，第i根木條和第1根與桌面連接部分在平面上投影的長度為這兩根木條的長度差，記為di，則di=l1-li，i=2，3，…，10，由圖4可知：

■ （2）

由（1）（2）兩式計算得：

■

在模型的分析中，已經得出的各個階段折疊桌的變化主要表現為各點坐標的變化，其形狀由各參數決定，因此只需通過比較計算出的各時間內的點坐標（xi，yi，zi），即可大致描述各點整體變化趨勢；通過比較即可描述折疊桌的動態折疊過程。

以桌子下表面中心為原點，垂直于平板的長的直線為x軸，平行于平板的長的直線為y軸，垂直于平板平面的直線為z軸建立空間直角坐標系。

設桌腳的邊緣點為Q，則Qi在空間直角坐標系中的坐標（xi，yi，zi）為：

■

（四）模型的求解

1.量化描述：借助折疊過程中桌腳邊緣線變化進行動態描述。為了更具體的描述桌子，用桌子折疊過程中桌子凈高為指標來表示桌子不同的折疊階段：h=0，h=10，h=20，h=30，h=40，h=50，其中h以桌子凈高（單位：cm）為準，分別為的這五個折疊階段進行對比分析。根據所建立的坐標系，可確定各具體點坐標，首先用Excel軟件根據上述公式計算得不同折疊階段各桌腳邊緣點的坐標[1]，運用Matlab編程得其邊緣曲線變化如圖7所示：

圖7 不同折疊階段桌腳邊緣線

如圖7，桌腳邊緣線由最初的直線（圖中藍色線所示，此時木板平鋪為桌子折疊前的狀態）從左到右逐漸變為最右端的紅色曲線，曲線弧度逐漸變大。折疊過程中，桌腳邊緣點先向下移動，后在鋼筋的作用下，中間木條的邊緣點又向上收縮，直到外側兩桌腳著底，鋼筋卡在木條能活動區間（滑槽）的最低端，中間木條點離地面最遠。

2.圖形描述。分析折疊桌折疊變化過程，根據求出的點坐標，利用幾何繪圖軟件SAI畫出它在不同折疊階段的示意圖，如圖8：

圖8 桌子折疊過程中動態變化的示意圖

三、最優設計加工參數

（一）建模思路

折疊桌的設計應做到穩固性好、加工方便、用材最少，為了對于任意給定的折疊桌高度和圓形桌面直徑使桌子達到設計要求，首先結合上述研究結果，分別分析影響產品的穩固性、加工方便性和用材節省性的因素，研究出這三個設計指標與設計參數間的相互關系；再運用引入滿意度概念來衡量不同設計方案下各性能指標的優劣；其次，運用模糊綜合評價的方法，確定各指標的權重并得出綜合平均設計滿意度函數；最后通過Lingo軟件求出函數最值，給出最優的設計加工參數。

（二）模型的準備

桌子的設計應考慮產品穩固性、加工方便性、用材節省性三大指標，桌子設計方案的好壞評定標準極為三者的綜合評價值。具體綜合關系如圖9所示：

圖9 不同設計方案的層次結構圖

為了更好的研究最優的設計方案，引入滿意度概念，參考隸屬度設計綜合平均滿意度指標。記不同設計方案的平均滿意度為：■，wi為某一指標權重，ui為某一指標滿意度。

（三）模型的建立

1.穩固性分析。從力學角度看，影響結構穩定的因素主要有結構形狀、重心和支撐面。

從結構形狀討論[5]

該折疊桌主要靠四只腳支撐，結構對稱。一般來說的摩擦力越大代表其較穩固，桌子不易散架。此結構中，為了盡可能減少摩擦力對整個結構受力的影響，桌腳木條與水平面的夾角應該有所限制。夾角又與腿長與桌高、滑槽有關，桌子能靠桌腿支撐，桌腿又靠鋼筋固定。再結合杠桿原理知，其受力平衡主要取決力矩大小，決定力矩的主要因素為鋼筋的固定位置。故可用鋼筋的固定位置來衡量桌子的穩定性。

從重心位置討論：

當桌高確定時，桌子重心也確定，故不通過重心分析其穩固性。

從支撐面積討論：

一般來說，結構體與地面形成的支撐面積越大，這里用系數表示支撐面積對穩固性的作用大小。由圖7知，鋼筋固定位置越靠近地面，桌子四只腳與地面所形成的支撐面積越大。

設k1為鋼板的位置參數（0

定義穩定性滿意度為：■（其中■）

其中，α為穩固性系數，為計算方便本題將其取值為0.01。l1為最外側桌腿長，k為平板寬度。

2.加工方便性分析。影響折疊桌加工方便性的主要是木條上滑槽的加工，故選取開槽總長度作為衡量加工方便性的主要指標。記開槽總長度為Σbi，由于滑槽總長度越長，加工起來就越困難，加工方便性能滿意度越低。故將加工方便性滿意度定義為■。

3.材料節省性分析。由于節省性指標的要求，在資源的限制下，折疊桌在設計時，在使材料的使用盡可能達到最大化、所用木材越少越好，即應使平板尺寸越小越好。為了便于研究我們定義材料節省性滿意度公式為：材料節省性滿意度■。

4.綜合評價。衡量不同設計參數所對應的設計方案的優劣[3]可用綜合平均滿意度變量來衡量。

平均滿意度為：■

（四）模型的求解

1.對比不同穩固狀態下的桌子設計滿意度。現實生活中，缺少實用性的桌子只是擺設，即桌子穩固性最為重要，故把力學性能分析放在首要地位。為使加工方便和用材最少，會在穩固性達到實用性要求的前提下減少使用的木板尺寸和選擇最優加工參數。

設最外側木條即桌腿的長為e1，則平板的長為2（e1+9.9261），鋼筋在最外側木條上到木條頂端的距離為e2分別研究■時的情況，第i根木條開槽長度bi。因此目標函數為■，

假定木條寬度均為為2.5cm時，該折疊桌每邊有80/2.5=36根木條（只需考慮18根木條），由上述結論知，第根木條的長度為

■

則■

可得：■

顯然任意兩根木條滑槽長度是同增同減的，因此只需考慮一根木條的滑槽長度，故只需研究滑槽最長的木條，設e3=b16并對其化簡得：

■

當e3取得極小值時，Σbi也取得極小值，故目標函數為minS=e1+e3，此時加工方便性與材料節省性均達到最優。

2.通過線性規劃[6]求函數最值，確立最優參數。通過模糊判別矩陣得三大指標的權重向量為w=（0.6，0.2，0.2）。

目標函數為：■

由于兩函數可進行轉化，故只要保證其中一個函數求得極值即可。本題中選取S=e1+Σbi函數為目標函數，求其最小值：將桌高h=70cm、木板寬度（或桌面直徑）均為80cm等已知數據代入，通過變動鋼筋固定位置，求解鋼板不同位置下，再調用Lingo求出函數最優值。求得當■時，支撐面積■=7560.394cm2，即鋼板固定在木條中間位置時，綜合平均設計指標滿意度最大u=0.5235。故當給定桌高70cm，桌面直徑80cm時，折疊桌的最優的設計參數分別為：平板長158.8460cm，槽口總長為375.8017cm，且鋼筋固定位置在外側桌腿中心位置。

四、總結

本文建立的最優設計加工參數模型充分考慮了各種影響因素，確保模型較高的可靠性；又創新定義了相對方便度、穩固性參數、平均設計滿意度，使本來抽象的概念得以量化，確保了最優設計方案的評估與求解；運用Matlab繪出折疊桌折疊的過程圖，使折疊桌動態變化一目了然。同時本文就折疊桌設計及優化問題所建立的模型能夠可以推廣到各種零件設計，應用范圍廣。

參考文獻

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[8]吳淑芳，王宗彥，秦慧斌.機械產品參數化設計技術研究與應用[A].物流工程論文集[C]，2010.

基金項目：國家自然科學基金資助項目（11301001）；大學生科研創新基金項目（項目編號： XSKY1563）。

作者簡介：汪亞楠（1993-），女，安徽安慶人，研究方向：統計學；朱家明（1973-），男，安徽泗縣人，副教授，碩士，安徽財經大學數學建模實驗室主任，研究方向：應用數學與數學建模。