無可奈何“花”落去，似曾相識“燕”歸來

胡志鵬

[摘 要] 在數學學習過程中，解題扮演著重要的角色，同時也是當下中學生學習數學時遇到的主要困難. 很多同學耗費很多時間在做數學題上，卻未取得理想的成績，主要原因是學生在做題過程中，忽略了前后知識之間的聯系，缺乏反思和積累. 本文以一類二次函數應用題中觀察三個例題之間的內在聯系為例，探討如何幫助學生更好地解決問題.

[關鍵詞] 解題；二次函數；轉化

美國著名數學家波利亞曾說過：“掌握數學意味著什么？那就是善于解題. ”可見，解題是數學的核心，也是數學活動的基本形式和主要內容. 當然，在我們目前的中考面前，學生解題能力的提高更是初三數學教師面臨的非常棘手的問題.

很多學生都有過在數學問題上花費很多時間，卻一點頭緒都沒有的經歷，難免讓人聯想到古代詩人的“無可奈何花落去”，時間耗費不少，似曾相識的燕子卻遲遲不歸. 而在做題過程中，我們要想找到靈感，就必須將自己的思緒回歸到似曾相識上面來. 下面是筆者在對比了三道由易到難的二次函數應用題后的一些感受.

在南京市浦口區上學期期末考試中，有這樣一道題：

試題1 如圖1所示，函數y=x-3的圖象分別交x軸、y軸于點A和點B，點C的坐標為（-1，0），一條拋物線經過A，B，C三點.

（1）求拋物線所對應的函數關系式；

（2）設點D是線段AB上的動點，過點D作y軸的平行線交拋物線于點E，求線段DE長度的最大值.

學情分析 考試結束后，筆者對此題第（2）問的正確率作了一個統計，全校194名學生，正確率只有5% ，當時筆者所在備課組對原因作了適當分析：由于我校期末之前進度緊，學生剛結束二次函數新課的學習，對二次函數的題型不熟悉，應用能力弱，所以很多學生想不到利用二次函數這個數學模型解決此題中的最值問題.

思路分析 在第（2）問中，要求線段DE的最大值，首先要表示出線段DE的長度，而本題中的DE是動線段，且它是因D點的運動而形成的動線段，故要想表示線段DE的長度，還得先從動點D入手. 因為D，E兩點的橫坐標相同，所以可通過設D點的橫坐標x=a，得到x=a，代入一次函數和二次函數可得y和y，最終得到DE=y-y的函數關系式，利用二次函數求解.

解決了這個問題之后，筆者并未進行更深入的思考，只是覺得這個問題難在學生對二次函數的應用能力較弱，并且這對于他們來說是一種新題型，今后他們再遇到此類問題時應該會好一些.

這學期在一輪復習二次函數時，筆者特地找到揚州市一道中考題給學生做：

試題2如圖2所示，拋物線y=x2-2x-8交y軸于點A，交x軸正半軸于點B.

（1）求直線AB對應的函數關系式；

（2）有一寬度為1的直尺平行于x軸，在點A，B之間平行移動，直尺兩邊所在直線被直線AB和拋物線截得兩線段MN，PQ，設點M的橫坐標為m，且0

學情分析 筆者對學生學案做過批改后，發現成績較好班級的學生此題第（2）問的正確率也只有37%，遠低于筆者的預期. 為此，筆者在班內作了一個統計，發現只有26%的學生在做這一題時，能想到上學期期末考試中的那一道題. 因此，此處就不能完全歸咎于學生對于新題型的陌生，而是對二次函數的理解和應用能力較弱. 我還發現，學生在學習時，缺乏對已有知識的遷移能力，所以，教師在講解時應當注重讓學生比較和發現這兩道題之間的聯系，從而加深他們對知識的印象.

思路分析 思考第（2）問時，要比較MN與PQ的大小，同樣是要表示出線段MN與PQ的長度，而本題中的MN與PQ是動線段，且它們是因直尺的運動而形成的兩條動線段，故要想表示出線段MN與PQ的長度，還得先從動點M入手. 因為M，N兩點的橫坐標相同，P，Q兩點的橫坐標相同，所以可通過設M點的橫坐標x=m，得到x=m，x=x=m+1. 代入一次函數和二次函數，最終得到MN=y-y，PQ=y-y的函數關系式，利用作差法比較大小.

由上述分析可見，問題的關鍵還是表示出線段MN與PQ的長度，其方法和試題1如出一轍，只要在思考過程中想到試題1的解決過程，試題2便能迎刃而解.

在教學過程中，筆者也在不斷地研究全國各地的中考試題，在2013年全國100份試卷分類——二次函數篇，筆者又遇到這樣一道題：

試題3 如圖3所示，在平面直角坐標系xOy中，A，B為x軸上兩點，C，D為y軸上兩點，經過點A，C，B的拋物線的一部分C1與經過點A，D，B的拋物線的一部分C2組合成一條封閉曲線，我們把這條封閉曲線稱為“蛋線”. 已知點C的坐標為0，-，點M是拋物線C2：y=mx2-2mx-3m（m<0）的頂點.

（1）求A，B兩點的坐標；

（2）“蛋線”在第四象限上是否存在一點P，使得△PBC的面積最大？若存在，求出△PBC面積的最大值；若不存在，請說明理由.

思路分析 剛看到這一題第（2）問時，筆者覺得很奇怪，明明已經知道線段BC的長度，要求△PBC面積的最大值，只要求出BC邊上高的最大值，即過點P作線段BC的垂線段，求出最大值即可，可利用二次函數求最值. 但順著這個思路，筆者幾經周折還是沒能想出解題思路. 正當筆者準備放棄的時候，筆者一直在想這個問題與前兩道試題很相似，而前兩道試題都是表示過動點P作x軸的垂線，求截得線段的最大值，這一題卻是求過點P作線段BC垂線段的最大值，此時筆者想到了可以將其轉化，即（圖4）S=S+S，這樣，S=QP·BN+QP·ON=QP·（ON+BN）=QP·OB，要求△PBC面積的最大值，只要求出線段QP的最大值即可. 真是似曾相識燕歸來啊！只要有了試題1的解題經驗，試題3這樣的中考壓軸題也可輕松獲解，不免讓人感到幾分欣喜.

反思這一題的解答，如果能夠利用前面所學的知識作為自己解題時尋找思路的引子，并不斷往上靠攏，轉化問題，就能真正避免數學解題過程中的“無可奈何花落去”，進而體會到“似曾相識燕歸來”的樂趣！

案例反思學生學習的過程是一個“模仿—掌握—熟練—創新”的過程，這也是學生學習的基本規律. 學生由試題1對二次函數應用進行初步積累，通過試題2進行模仿，進而通過反思解題過程，對新舊知識進行對比分析，從而達到掌握的程度. 當學生遇到試題3時，從熟悉的面孔到知識的遷移，到“無可奈何花落去，似曾相識燕歸來”的創新突破，從中體會到了新舊知識之間的聯系，不僅找到了做題的靈感，還能體驗到數學學習的成就感！

在我們平時的教學過程中常會發現，很多學生一直在很認真地學習數學，可考試時一遇到難題，他們很難取得好的成績. 究其根本，還是缺少對舊知識的反思和梳理，遇到新問題時，不會將新舊知識聯系起來，以舊知為載體，把新問題轉化為舊問題.