談“三角形三邊的關系”一課簡約版的教學設想

楊健輝

[摘 要]通過對“三角形三邊的關系”這節課教學的重新推敲、設計，我們一直思考：到底怎樣才能讓學生經歷有效的課堂學習呢？我們認為有效的方法應該是教師結合學生的生活實際，精心安排學習流程，引導學生有效地進行數學思考。

[關鍵詞]數學教學 思維 教學設想 教學片斷 問題

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2015）20-022

困惑與問題提出：

“三角形三邊的關系”是人教版數學教材四年級“三角形”單元中第二課時的教學內容，是在學生初步了解三角形意義的基礎上，進一步研究三角形的特征，即三角形任意兩邊之和大于第三邊。從我們收集到的教學資料（如設計、實錄、評析等）來看，許多專家學者與名師大都按以下的思路進行教學設計和執教：首先從操作入手，讓學生通過擺小棒活動發現并判斷是不是“任意的三條線段可以圍成三角形”，在得到“不是”這一結論后，再去研究“滿足什么條件的三條線段才能圍成三角形”這一問題。學生在研究時要先從反例入手，明白“任意的三條線段不能圍成三角形的原因是因為其中的兩條線段長度之和沒有大于第三條線段的長”，繼而研究“能圍成三角形的三條線段的長度之間有怎樣關系”的問題。平心而論，這種以引導學生開展探究活動為主的教學方式若運用得當，確實能收到較好的教學效果。可在實際的課堂教學中，許多教師借鑒這種方式進行教學時卻出現了學生對活動中的問題不明、目的不清和操作混亂等問題，最后導致教學因時間關系只能草草收場。

這些問題引起了許多學者和一線教師的疑惑，主要有以下兩個方面：第一，從學習課題的名稱來思考，這節課學習和研究的重點應該是“在一個三角形內三條邊的長度應該滿足怎樣的關系”，而不是重點研究“滿足怎樣條件的三條線段（或小棒）可以圍成三角形”，或者說應該推敲這兩個知識點在教學中的主次應該怎么樣安排。第二，從學生的學習過程來看，這樣的教學對學生的思維水平要求過高。特別是在思考問題的過程中要經歷的轉折太多，既要發現有的小棒組合不能圍成三角形，又要明白其中的原因；既要探索三條線段能圍成三角形的條件，又要說明三角形中三邊的關系。學生經歷這樣的學習過程后，有可能對本應重點理解的三角形三邊關系反倒是模糊。其實，不僅是學生，就連教師在平常教學中也經常忽視條件與命題之間的關系，如有教師命制的考題“一個三角形的三條邊分別是1、1、2，請判斷它能圍成三角形嗎”就讓眾人目瞪口呆。

為此，我們提出這個課例的教學問題并不是要否定上述的教學方式，而是探究怎樣設計更為簡潔的教學流程，讓學生的思維過程更加順其自然。所以，我們不妨再通過研讀和分析教材，尋找和推敲相對簡約版的教學設計。

分析與教學設想：

在人教版新修訂的四年級數學教材中，先是出示一個情境圖（小明家、學校、郵局和商店的路線圖），再用學生的語言說出自己的體會與困惑，并用文字說明了“兩點間連線”“線段”“最短”和“距離”等事實與概念。這就給我們提供了一種教學思路：先從學生的生活現實出發，引導他們關注一個事實（近路與距離），再將其抽象成一個數學問題（三角形三邊的關系）進行研究；然后借助畫三角形和量、算其邊長數據及簡單的比較研究等活動，通過歸納得到相應的結論；接著利用擺小棒的活動，進一步說明結論的正確性，讓學生理解“滿足怎樣條件的三條線段能圍成三角形”這一知識點；最后通過練習和鞏固，解決簡單的問題。按這種教學思路，學生的思維主要經歷從生活經驗的提取到數學原理被發現的抽象過程，從研究若干個三角形的特殊例證到一般結論被證實的歸納過程，從而顯得更為簡單和自然。當然，這些僅是設想，還需要實踐。

1.提取生活經驗，引出學習課題

首先出示課本情境圖，提出“從小明家到學校有幾條路”“哪一條路最近呢”“說說你的理由”等問題，引發學生的思考和交流，并鼓勵學生結合生活經驗用自己的話來描述走拐彎的路遠、走直路近，初步感悟兩點間所有的連線中線段最短，然后給出“這條線段的長度叫做兩點間的距離”等數學概念。

教學片斷：

師：小明去上學，他從家到學校可以怎么走？哪一條路最近？

生1：有三條路可走，走中間這條路最近。

師：為什么？

生2：走拐彎的路遠，走直路近。

師：其實，這里的“路近”“直路”就是數學中所說“兩點間所有連線中線段最短，這條線段的長度叫做兩點間的距離”的知識。

……

2.實施數學抽象，提出數學問題

接下來通過兩次數學抽象，即將實際情境抽象成三角形和將三角形三邊的長度抽象成用字母表示，再根據事實經驗和不等式，提出探究三角形三邊之長有何關系的數學問題。

第一次抽象（通過板書演示）：連接小明家、商店、學校三地，可以近似地看成一個什么圖形？連接小明家、郵局、學校三地，同樣可以近似地看成一個什么圖形？（這里要注意引導學生將家、學校等地抽象看成點，再連點成線得到三角形）

第二次抽象：給三角形三條邊分別賦予字母a、b、c后，根據事實經驗可以得到一組不等式，即a+b>c、a+c>b、b+c>a，這實質上說明了“三角形中兩條邊的和要比第三邊大（長）”。那么，是不是所有三角形的三條邊都有這樣的關系呢？由此引出探究三角形三邊的長度應該有什么關系的數學問題。

教學片斷：

師（指著畫好的三角形）：如果用字母a、b、c分別表示三角形的三條邊，根據剛才上學路線的遠近想一想，這三條邊的長度之間有什么關系？你們能用字母式表示嗎？

生1：a+b>c。

師：如果變化一下問題，問從小明家去郵局哪條路最近呢？想一想，在這個三角形中，我們又可以得到哪些關系呢？

生2：可以得到a+c>b，b+c>a。

師：我們找到的三組關系都說明了“在這個三角形中兩邊的和比第三邊長”，那么這種現象是個別的還是在所有的三角形中都存在呢？這個問題值得我們去研究。

（引出課題）

……

3.畫圖計算比較，歸納得出結論

組織學生開展實踐探究活動，要求同桌兩人在草稿紙上先畫出一個三角形，再量出三條邊的長度填入表格中，然后根據數據計算出三角形任意兩條邊的和，并與第三條邊的長度進行比較。接著讓學生匯報交流探究的問題，通過每組學生的具體例證，引導學生歸納得出“在三角形中較短的兩條邊的和一定比第三邊長”或“三角形中任意兩邊的和大于第三邊”的結論。

教學片斷：

（安排探究活動，要求同桌兩人在草稿紙上先畫一個三角形，再量出三條邊的長度，然后填表計算和比較）

師：結合你們的探究來說說，在你們畫的三角形中三條邊的長度之間有著怎樣的關系？

生1：三角形中兩邊的和大于第三邊。

師：還可以怎么說？

生2：三角形中任意兩邊的和大于第三邊。

……

4.借助操作明理，鞏固拓展結論

雖然列舉的例子都說明了三角形中三條邊的關系，但我們無法列舉完所有的三角形，因此我們不妨換一個思路來繼續思考這個問題。課堂上，教師提供4根小棒，長度分別為2cm、2cm、1cm、4cm，要求學生從中任選三根，試擺出三角形開展研究。這樣設計教學，使學生發現能圍成三角形的三條邊長關系符合前面得到的結論，對學生來說起到鞏固結論的作用；對于不能圍成三角形的情況，可適當引導學生結合小棒長度的關系說明原因即可，這樣就起到完善結論的作用，同時可直接告訴學生這是判斷三條邊是否能圍成三角形的基本方法。

教學片斷：

師：我們再研究一組小棒（長度分別為1cm、2cm、4cm），通過試一試，大家知道它們不能圍成一個三角形，你們怎么看待這個問題？

生1：感覺其中兩條邊加起來不夠長。

師（用課件動態演示這組小棒圍不成三角形的過程）：提醒大家特別注意，這組小棒的長度之間有什么特點？

生2：有兩根小棒的長度之和小于另一根小棒的長度。

生3：這個時候它們（小棒）根本就不能圍成三角形，所以它們更不可能是三角形的三條邊。

師：那怎樣改變這些小棒的長度，才能使它們圍成三角形呢？（生思考）

師（應學生要求演示改變短邊的長，如把1cm延長到3cm）：現在可以圍成三角形了嗎？（生答略）此時，它們各邊的長度及關系又是怎樣的呢？

生4：在圍成的三角形中，任意兩邊的和大于第三邊的長度。

師：通過這個活動，驗證了我們前面所獲得結論的正確性，即在一個三角形中任意兩邊的和都大于第三邊的長度，其實這也是判斷三條線段是否能圍成三角形的方法。

……

[說明：這個環節是學生學習的難點，所以對于學習能力一般的學生，教學時可以在學生得到初步結論后，直接告訴他們這也可以作為判斷三條線段是否能圍成三角形的方法，從而降低學生的思維難度。]

5.嘗試練習運用，解決簡單問題

（1）完成基本練習。（略）

（2）給出兩條不同長度的紙條，要將其中一條剪成2條，使得3條紙條能圍成三角形，應該怎么做？

……

通過對“三角形三邊的關系”這節課教學的重新推敲、設計，我們一直思考：到底怎樣才能讓學生經歷有效的課堂學習呢？我們認為有效的方法應該是教師結合學生的生活實際，精心安排學習流程，引導學生有效地進行數學思考。如在上述簡約版的教學設想中，“從生活經驗中抽象出數學問題”的抽象思維引領、“從量、算邊長研究具體的例證到歸納一般結論”的歸納思維方式的運用，以及“得到結論后運用結論解決簡單問題”的演繹思維訓練等，都是對實踐“四基”理念的初步嘗試。因此，在數學教學中，教師要特別注意對學生進行思維訓練的科學性、辨證性，善于處理好教學中有關經驗與新知、思考時順序與難度、探究中主與次等要素的關系，努力提升常態教學的有效性。

（責編 杜 華）