科學剖析難點 合理解決難點

費建鋒

[摘 要]教師在思考如何確定教學難點的時候，不僅要考慮知識點的難易程度，更要考慮學生的認知規律、學習起點。只有準確了解、把握學生的學情，才能確定教學中的難點，讓學生“不僅知其然，而且知其所以然”。

[關鍵詞]數學教學 教學難點 教學重點 知識結構 原有經驗 算理 技能

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2015）20-034

如何科學、合理地確定課堂教學中的難點？筆者通過對“一個數除以分數”的教學，從找準難點、剖析難點到解決難點的思路做了實踐研究。

一、找準難點，分析難點緣由

1.認識教學內容在教材中所處的地位

“一個數除以分數”是小學數學教材中最后一種基本計算，也是后面學習小數四則混合運算和分數、百分數等應用題的重要基礎。一個數除以分數包括整數除以分數和分數除以分數兩種情況，但不論哪一種情況，計算時都要把除以分數轉化為乘以這個分數的倒數。

2.認清學生的原有經驗

學生在學習新知之前，已經具有分數除以整數的計算概念及之前學習分數乘法的經驗，所以“一個數除以分數的計算法則”應當是教學的重點。

3.確定教學的難點問題

要想真正了解學生的學情，還要通過課前的預測。筆者設計了以下3道題，作為學生的“預習單”。

（1）請試著計算。

1■÷4= 1■÷■=

（2）請解決問題。

王老師每天堅持鍛煉身體，他用■小時走了1■千米的路，照這樣算，王老師每小時可以走多少千米的路？

（3）請提出自己的困惑或你想問的問題。

通過對教材的梳理和預學單的檢測以及學生反饋出來的問題，分析得到學生理解上的困難問題：為什么一個數除以分數，等于這個數乘以原分數的倒數？為什么一個數除以真分數其商變大？在解決問題時，為什么要用除法進行計算？

二、剖析難點，探究知識結構

1.分數除法意義相關知識的梳理

對于分數除法的意義的探討，與之相關的知識點主要有整數乘法的意義、乘法逆運算的概念、整數乘法的概念、分數乘法的概念、分數的概念等。關系如下圖：

從上圖中可以看出，分數乘法的意義是最關鍵的一個知識點，它是理解分數除法的意義的一個必要基礎。如果學生深刻理解了分數乘法的意義，就可以按照這種邏輯去理解逆運算是如何進行的；相反，如果學生對分數乘法的意義不是很明白，分數除法的概念對學生來說就是隨意的、難以理解的。所以，為了讓學生理解分數除法的意義，課始教師應花點時間和精力，引導學生回顧分數乘法的意義。

2.分數除法意義三種結構的分析

（1）分數除法的包含結構。

盡管包含結構對于整數和分數來說是一樣的，但在引入分數時也是需要指明的。在整數除法中，可用“求一個數是另一個數的多少倍”來說明，如8是2的多少倍，由于8除以2得到4，就說8是2的4倍。對于分數也可以這么說，如“■的多少倍是1■”，可以這樣來創設情境：“有兩條路，A路長1■千米，B路長■千米，問A路的長度是B路的多少倍？”這里就可以用1■千米除以■千米得到6。然而，當被除數比除數小時，這個除法的包含結構需要修改一下，即在原來敘述的基礎之上，應該加上“求一個數是另一個數的幾分之幾”。

（2）分數除法的等分結構。

除法是乘法的逆運算。分數的乘法是已知一個表示整體的數，要求一個表示它部分的數。在分數除法中，表示整體的那個數是我們要求的未知數。例如：“一根繩子的■是1■米，那么繩子的全長是多少？”已知一部分繩子長1■米，也知道這部分是整根繩子長的■，可把1■米看成是這個數的一部分，這樣就能很快得到繩子全長6米。

（3）因數和乘積的結構。

即在已知積和一個因數的條件下，求另一個因數，如“求乘■得積為1■的因數”。作為乘法的逆運算，除法是在已知乘積和因數的條件下去求另一個因數，從這個角度來說，可以這樣來描述：假設積是1■，一個因數是■，求另一個因數是多少？

3.分數除法運算的算理分析

（1）利用“商不變的性質”來解釋算理。

在此之前學生已經學過商不變的性質，在整數除法中，當被除數和除數同時乘或除以一個相同的數，商保持不變。如15÷5=3，所以（15×2）÷（5×2）=3、（15÷2）÷（5÷2）=3。那現在如果被除數和除數同時乘以除數的倒數，這時除數就變成了1，因為除以1不會改變大小，可以忽略。所以，等式就變成了被除數乘除數的倒數，如1■÷■=（1■×■）÷（■×■）=（1■×■）÷1=1■×■=6。

（2）利用“分數等價于除法”來理解算理。

學生學習分數與除法關系時，已經知道分數等價于除法，而且已經學會如何去括號和添括號及交換律。為此，分數除法又可以重新進行書寫，如1■÷■=1■÷（1÷4）=1■÷1×4=1■×4÷1=1■×4。

三、解決難點，設計有效教學

1.創設有效情境，幫助學生理解意義

可在同一個主題下創設不同的情境，讓學生理解除法的意義，如“王叔叔■天時間耕地1■畝，按照這個速度，一整天可以耕地多少畝”“昨天我騎自行車從A鎮到B鎮，花了1■小時，完成了行程的■，行完整個路程需要多少時間”等，然后讓學生說一說每道題的意義，并想一想問題中具體量的大小，最后列式解決問題。

2.優化學習策略，豐富學生數學技能

驗證：為什么除以一個分數等于乘這個分數的倒數？

（1）猜想，通過提供的情境，猜想除法的運算。

（2）動筆，根據題目的意義，動筆畫出線段圖。

（3）歸納，進行“圖”和“式”對照，總結算理。

3.內化知識結構，提升學生思維品質

學生通過猜想和歸納，初步感知分數除法的算理，這時候再加以聯系其他的知識結構，幫助其理解算理，這樣學生的學習就會事半功倍。

通過這樣的教學實踐研究，使筆者感悟到，計算教學應該舍得花時間，讓學生經歷計算方法的探索過程，使學生真正掌握算法，提高計算能力。

（責編 藍 天）