新課程高中數(shù)學(xué)必修教學(xué)中系統(tǒng)研究疑難問題的思考

牛淑琴

一、課題研究的意義

高中數(shù)學(xué)新課程改革從試點到全國已全面展開，隨著高中新課程改革的推進(jìn)，甘肅省也成為其中一員.在新一輪課程改革如火如荼地進(jìn)行中，很多從事數(shù)學(xué)教育的工作者積極投身到了這場改革的浪潮中.由于新教材對原有的數(shù)學(xué)知識體系進(jìn)行了調(diào)整，對原有的繁難問題進(jìn)行了刪減，對學(xué)生難以理解的重點內(nèi)容進(jìn)行了分散處理，為了讓高中新課程改革與高考有效銜接與匹配，教學(xué)中優(yōu)化課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)，增強教學(xué)效果，就成為新課程標(biāo)準(zhǔn)實施的關(guān)鍵.

高中數(shù)學(xué)很多地方難度大、方法新、分析能力要求高，在學(xué)生學(xué)習(xí)過程中，不論是基礎(chǔ)知識的形成，還是基本技能的掌握，或者是基本能力的培養(yǎng)，都會遇到很多疑難問題.這些疑難易錯問題，如果不及時解決，就會極大地阻礙思維的發(fā)展，從而挫傷學(xué)生的自信心.學(xué)好高中數(shù)學(xué)，在高考中取得好成績的關(guān)鍵之一是解決好學(xué)習(xí)中的疑難易錯問題，所以強化學(xué)生解決疑難、歸納整理的能力尤為重要.

通過近幾年的教學(xué)和反思，為了幫助學(xué)生有效克服學(xué)習(xí)障礙，減少學(xué)習(xí)過程中的“無用功”，確保高考時“胸中自有雄兵百萬”，也為了使數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中教師準(zhǔn)確把握教學(xué)重點，突破難點，詳略得當(dāng)，確保較高的課堂教學(xué)效率，針對高中階段遇到的疑難和易錯問題進(jìn)行總結(jié)歸納和分析，是減負(fù)增效的一種有效途徑.

目前國內(nèi)中學(xué)數(shù)學(xué)教育研究關(guān)于這方面的思考相對來說較多，但以初中階段研究居多，高中階段較少.新課標(biāo)背景下要求增強課改意識，轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，但高考升學(xué)仍然看分?jǐn)?shù)，所以人們會更多地關(guān)注這些能夠直接提高成績的解題技巧、化歸演繹等，學(xué)生和教師也很重視整理和歸納疑難易錯題，但許多都很零散，不成體系，而且與新課標(biāo)內(nèi)容不相匹配.又因為各省所用資料各不相同，許多省份高考自主命題，符合新課標(biāo)教材且甘肅考生適用的很少，至于這一課題研究最終對甘肅考生成資料性、適用性、推廣性的研究的文章也較少，為了使新課程改革與高考融合得更深入，我們很有必要對新課標(biāo)人教A版高中數(shù)學(xué)必修1到必修5內(nèi)容遇到的疑難和易錯問題進(jìn)行系統(tǒng)全面的總結(jié)歸納和分析.

二、課題研究的主要內(nèi)容及重、難點

學(xué)生學(xué)習(xí)中常見的錯誤主要有：1.知識性錯誤：數(shù)學(xué)概念理解錯誤，公式應(yīng)用錯誤，定理、性質(zhì)應(yīng)用錯誤等；2.數(shù)學(xué)方法應(yīng)用性錯誤：思維定性、以偏概全、審題中忽視隱含條件的數(shù)學(xué)思維等.前車之覆后車之鑒，教師授課時要強化學(xué)生數(shù)學(xué)解題過程中的錯誤警戒意識，使得課堂內(nèi)容重點突出、針對性更強，使學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維習(xí)慣，能有效構(gòu)建數(shù)學(xué)解題過程中常見性錯誤的“錯題庫”，達(dá)到讓學(xué)生跳出題海，輕松而高效地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的.同時針對高考中常見的易錯、易混、易忘典型題目系統(tǒng)地整理出來，疑難問題集中攻克，易錯問題及時糾正，學(xué)生面對高考也心中有數(shù)，手中有法，自然在高考時能考出優(yōu)異成績.

三、課題研究的思路及方法

1.在課堂教學(xué)中將遇到學(xué)生不易于理解的知識點和課后學(xué)生反饋的問題，在考試中容易出錯的典型問題整理出來，經(jīng)過教研討論，形成更好、更科學(xué)的授課思路，讓學(xué)生理解、接受、消化、吸收.如：

例1：（2010.天津）命題“若f（x）是奇函數(shù)，則f（-x）是奇函數(shù)”的否命題是（ ）

A.若f（x）是偶函數(shù)，則f（-x）是偶函數(shù)

B.若f（x）不是奇函數(shù)，則f（-x）不是奇函數(shù)

C.若f（-x）是奇函數(shù)，則f（x）是奇函數(shù)

D.若f（-x）不是奇函數(shù)，則f（x）不是奇函數(shù)

【解題探究】本題重點關(guān)注：（1）要求的是“否命題”而非“命題的否定”；（2）注意“奇函數(shù)”的否定對象是什么？

【規(guī)范解答】選B.因為否命題是既否定題設(shè)，又否定結(jié)論，而奇函數(shù)的否定不是偶函數(shù)，而是“不是奇函數(shù)”，所以否命題應(yīng)為“若f（x）不是奇函數(shù)，則f（-x）不是奇函數(shù)”.

【誤區(qū)警示】知識性錯誤.

本題為由原命題確定否命題，在本題中易將否命題誤認(rèn)為命題的否定，或?qū)⑵婧瘮?shù)的否定誤認(rèn)為是偶函數(shù)，從而導(dǎo)致錯選，這類問題，常見的誤區(qū)有：

（1）不能正確區(qū)分命題的否定與否命題；

（2）將條件或結(jié)論的否定搞錯.

例2：若拋物線y=ax-1上恒有關(guān)于直線x+y=0對稱的相異兩點A，B，則a的取值范圍是？搖 ？搖.

【解題探究】（1）直線AB的方程必為y=x+b，根據(jù)點A，B關(guān)于直線x+y=0對稱，用參數(shù)a表示出b，根據(jù)直線與拋物線相交于不同兩點建立關(guān)于參數(shù)a的不等式；（2）求出拋物線斜率為1的平行弦中點的軌跡方程，利用這個軌跡方程與直線x+y=0的交點在拋物線內(nèi)部建立關(guān)于參數(shù)a的不等式.

【規(guī)范解答】解法一：設(shè)拋物線上的兩點為A（x，y），B（x，y），AB的方程為y=x+b，代入拋物線方程y=ax-1，得ax-x-（b+1）=0.設(shè)AB的中點為M（x，y），則x=，y=x+b=+b.由于M（x，y）在直線x+y=0上，故x+y=0，由此得b=-，此時ax-x-（b+1）=0變?yōu)閍x-x-（-+1）=0.由△=1+4a（-+1）>0，解得a>.故填a>.

解法二：根據(jù)點差法，不難求出拋物線y=ax-1的斜率為1的平行弦中點的軌跡方程是x=.當(dāng)a>0時，y>-1；當(dāng)a<0時，y<-1.將x=與x+y=0聯(lián)立，得滿足條件的AB中點M的坐標(biāo)是（，-）.當(dāng)a>0時，->-1，解得a>；當(dāng)a<0時，-<-1，此時無解.綜上知，a>.故填a>.

【誤區(qū)警示】圓錐曲線上存在不同的兩點關(guān)于某條直線對稱，試確定圓錐曲線中或者直線中的某個參數(shù)的取值范圍，這是圓錐曲線中的一個難點.化解這個難點的方法有兩種：一是利用兩點關(guān)于直線對稱的兩個條件，即這兩點的連線與對稱軸垂直和這兩點的中點在對稱軸上，寫出用參數(shù)表達(dá)的直線方程，利用直線與圓錐曲線有兩個不同的交點，由判別式大于0列出關(guān)于參數(shù)的不等式解決；二是利用圓錐曲線上與對稱軸垂直的平行弦中點的軌跡與對稱軸的交點在圓錐曲線內(nèi)部，列出關(guān)于參數(shù)的不等式解決.

2.各章以疑難易錯問題為主線，注重分析解決問題的思路和學(xué)生學(xué)習(xí)能力的發(fā)展，通過解決常見疑難易錯問題這一平臺，揭示解決問題的通性通法.學(xué)生對于糾錯本可以進(jìn)行如下使用：（1）分門別類，系統(tǒng)整理；（2）深入分析，找出“病根”；（3）常翻常看，溫故知新；（4）分析歸納，總結(jié)方法，舉一反三.

3.啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)類比、推廣、特殊化、化歸等數(shù)學(xué)思考的常用邏輯方法，使學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)思考與推理，不斷提高數(shù)學(xué)思維能力，培養(yǎng)起更濃厚的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣.