滲透分類思想，強化分類意識

葉玉妹

摘 要： 分類討論的思想方法在初中數(shù)學學習中有廣泛應用.數(shù)學概念中的分類討論，性質(zhì)定理中的分類討論，開放條件中的分類討論，圖形變化中的分類討論，定理證明中的分類討論等，在教學過程中，應該有意識地突出分類討論思想，并在具體教學過程中努力體現(xiàn)，適時滲透，逐步強化分類意識，養(yǎng)成善于分類的思維習慣.

關鍵詞： 數(shù)學思想 分類討論思想 數(shù)學素養(yǎng) 分類意識

初中數(shù)學中蘊含的數(shù)學思想方法很多，最基本的數(shù)學思想方法有：化歸思想、數(shù)形結合思想、分類討論思想、方程思想、函數(shù)思想等.在這些基本思想方法中，分類討論的思想由于初中學生認知能力、思維習慣、知識水平和教學內(nèi)容的限制，學生在運用過程中感到特別困難，但分類思想在中學數(shù)學中又有極其廣泛的應用，有必要對其加以重視.下面我們就看一看這種數(shù)學思想方法在初中數(shù)學教材中有哪些應用，以便更好地利用數(shù)學教學提高學生的素質(zhì)，使學生在今后的學習、生活中運用這種數(shù)學思想方法解決遇到的實際問題.

一、數(shù)學概念中的分類討論

在初中教學內(nèi)容中，一些數(shù)學概念的定義，如絕對值的化簡，一元二次方程根的判別式等，都滲透著分類討論的數(shù)學思想.

案例1：解方程|5+x|-|3-x|=8.

析題：對于絕對值的問題要討論絕對值符號里的數(shù)的正負，在|5+x|中有x﹥-5，x=-5，x﹤-5三種情況.在|3-x|中也有x﹥3，x=3，x﹤3三種情況，綜合以上三種情況本題可以分為：

（1）當x﹥3時，方程變形為（5+x）-[-（3-x）]=8恒成立，滿足x﹥3的數(shù)都是它的解.

（2）當-5≤x≤3時，方程變形為5+x-（3-x）=8，解之得x=3.

（3）當x﹤-5時，方程變形為-（5+x）-（3-x）=8，-8=8，與事實不符，方程無解.所以原方程的解是x≥3的一切實數(shù).

二、性質(zhì)定理中的分類討論

在數(shù)學解題教學中，有些數(shù)學定理、公式或性質(zhì)、法則是有條件或范圍是限制的，需要分類給出.

案例2：已知函救y=（m-1）x+（m-2）x-1（m是實數(shù)）.如果函數(shù)的圖像和x軸只有一個交點，求m的值.

析題：這里從函數(shù)分類的角度討論，分m-1=0和m-1≠0兩種情況研究解決.

當m=l時，函數(shù)就是一個一次函數(shù)y=-x-1，它與x軸只有一個交點；

當m≠1時，△=（m-2）2+4（m-1）=0，得m=0，拋物線和x軸只有一個交點.

三、開放條件中的分類討論

有些題目中的條件開放，致使求解結果不唯一，若對這類問題考慮不全面，就會時常發(fā)生漏解現(xiàn)象.

案例3：甲乙兩人分別從相距30km的A、B兩地同時相向而行，經(jīng)過3h后相距3km，再經(jīng)過2h，甲到B地所剩的路程是乙到A地所剩路程的2倍，求甲、乙兩人的速度.

析題：經(jīng)過3h后相距3km應該分兩種情況：（1）當3h后甲、乙兩人未相遇前相距3km；（2）當3h后甲、乙兩人已相遇后相距3km.

四、圖形變化中的分類討論

分類討論思想是在解決問題出現(xiàn)不確定性時的有效方法.線段及端點的不確定；角的一邊不確定；三角形中邊或角不確定等，都需要我們正確運用分類討論的思想加以解決.

1.等腰三角形的分類討論。

案例4：（1）已知等腰三角形的一邊等于3，另一邊等于4，則它的周長等于？搖？搖？搖？搖 ？搖.

析題：等腰三角形中，對給出的邊可能是腰，也可能是底邊，所以要進行分類討論.

（2）已知等腰三角形的一個內(nèi)角為70°則其頂角為？搖？搖？搖？搖？搖.

析題：等腰三角形中對給出的一個角可能指底角，也可能指頂角，所以要進行分類討論.

（3）等腰三角形一腰上的高與另一腰所成的夾角為45°，求等腰三角形頂角的度數(shù).

析題：依題意可畫出圖1和圖2兩種情形，分別為45°和135°.

2.直角三角形中，直角邊和斜邊不明確時需要分類討論。

案例5：已知3和4為直角三角形兩邊的長，則第三邊的長為？搖？搖？搖 ？搖？搖.

由于3和4是直角邊長還是斜邊長沒有明確，因此4可以是直角邊也可以是斜邊，需要分類討論.

3.相似三角形的對應角（或邊）不確定而進行的分類討論。

案例6：如圖3所示，在△ABC中，AB=6，AC=4，P是AC的中點，過P點的直線交AB于點Q，若以A、P、Q為頂點的三角形和以A、B、C為頂點的三角形相似，則AQ的長為？搖？搖？搖 ？搖？搖.

五、定理證明中的分類討論

在證明圓周角定理時，由于圓心的位置有在角的邊上、角的內(nèi)部和角的外部三種不同的情況，因此分三種不同情況分別討論證明.先證明圓心在圓周角的一條邊上這種最容易解決的情況，然后通過作過圓周角頂點的直徑，利用先證明情況分別解決圓心在圓周角的內(nèi)部和外部這兩種情況，這是一種從定理的證明過程中反映出來的分類討論的思想和方法.

總之，數(shù)學中的分類討論思想是一種非常重要的數(shù)學思想，通過加強數(shù)學分類討論思想的訓練，有利于提高學生對學習數(shù)學的興趣，培養(yǎng)學生思維的條理性、縝密性和科學性，這種優(yōu)良的思維品質(zhì)對學生的未來必將產(chǎn)生深刻和久遠的影響.教師在制定教學目標、采用教學方法時，應有意識地突出分類討論思想，并在具體教學過程中努力體現(xiàn)，適時滲透，逐步強化分類意識，養(yǎng)成善于分類的思維習慣，便于學生在以后的學習過程中正確運用這種思想方法解決好數(shù)學問題，并使復雜的問題得到清晰、完整、嚴密的解答，同時還可以培養(yǎng)學生的觀察能力和全面思考問題的能力，這樣才能全面提高學生的數(shù)學素養(yǎng).

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]黃尖.初中數(shù)學教材中分類思想的探討.