挖掘思想方法 培養(yǎng)思維能力

毛增福

【摘要】數(shù)學(xué)思想方法，相對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)而言，它的呈現(xiàn)是隱蔽的，是學(xué)生難以獨(dú)立地從教材的字里行間直接獲取的，它隱含于數(shù)學(xué)知識(shí)與教學(xué)活動(dòng)中。本文就初三平面幾何“圓周角”一節(jié)的教學(xué)談些這方面的作法與體會(huì)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思想方法 教學(xué)活動(dòng) 圓周角

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2015）09-0140-01

一、運(yùn)動(dòng)變化、引出定義，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)動(dòng)變化觀和建立數(shù)學(xué)概念的能力

圓周角和圓心角都是與圓有關(guān)的角，用運(yùn)動(dòng)變化觀，它們是同一運(yùn)動(dòng)條件下的兩個(gè)不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。由于事物間的因果關(guān)系、本質(zhì)特征最容易從運(yùn)動(dòng)中顯示出來，如何把靜止的問題變成動(dòng)態(tài)的問題，讓學(xué)生受到一次運(yùn)動(dòng)觀的熏陶，筆者作了如下設(shè)計(jì)：

演示如下：在橡皮筋A(yù)B上任取一點(diǎn)C，將這點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到圓內(nèi)，圓外、圓心、圓上……

教師啟發(fā)引導(dǎo)：當(dāng)角的頂點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到圓內(nèi)時(shí)，這角管它圓內(nèi)角；運(yùn)動(dòng)到圓外時(shí)，這角叫做圓外角；運(yùn)動(dòng)到圓心時(shí)，已知它是圓心角，運(yùn)動(dòng)到圓上時(shí)，這是一種什么角？

由此通過運(yùn)動(dòng)變化的演示，引出圓周角的由來，并引導(dǎo)學(xué)生從運(yùn)動(dòng)變化的演示中觀察圓周角的特征，歸納出圓周角的定義，引出課題。

這種引入的過程，不僅使學(xué)生了解了概念產(chǎn)生的來龍去脈以及本質(zhì)特征，還加深了對(duì)隱含概念本身的動(dòng)靜辯證思想的理解和認(rèn)識(shí)。

二、類比聯(lián)想、探討結(jié)論，培養(yǎng)觀察、分析、比較、歸納，猜想及探索能力

作為教材的課本一般都是直截了當(dāng)給出發(fā)現(xiàn)的結(jié)果。圓周角定理也一樣，隱去了數(shù)學(xué)家們曲折的探索、分析和歸納等發(fā)現(xiàn)過程。作為教師，如何通過教學(xué)設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生參與知識(shí)的探討與發(fā)現(xiàn)活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生正確、科學(xué)的思維方式，運(yùn)用基本的數(shù)學(xué)思想方法研究問題的能力，這是比數(shù)學(xué)知識(shí)更值得重視的問題。因具體的數(shù)學(xué)知識(shí)隨著時(shí)間的推移可能會(huì)遺忘，而這些數(shù)學(xué)思想方法學(xué)生將會(huì)終身受益。筆者引導(dǎo)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)圓周角定理的教學(xué)設(shè)計(jì)如下：

引導(dǎo)1 在圓心角的學(xué)習(xí)中，一條弧確定一個(gè)圓心角，對(duì)于圓周角，一條弧所對(duì)的圓周角有多少呢？

觀察教師演示：在自制模型中，演示■所對(duì)的圓周角有多少，讓頂點(diǎn)C在AC1B上運(yùn)動(dòng)，由于橡皮筋的彈性作用，不論C運(yùn)動(dòng)到什么位置，始終構(gòu)成AB所對(duì)的一個(gè)圓周角。

引導(dǎo)2 上面的演示說明了一條弧所對(duì)的圓周角有無數(shù)多個(gè)，由于它們頂點(diǎn)的變化，這些角的形狀與位置也隨著變化，它們的大小是怎樣的關(guān)系呢？

觀察教師演示：先考察■所對(duì)的圓周角的關(guān)系，在模型中，任意固定■所對(duì)的某一個(gè)圓周角頂點(diǎn)C的位置，得到■所對(duì)的一個(gè)圓周角∠ACB，用硬紙板剪下與這角相等的角樣，然后不斷變化這頂點(diǎn)C的位置，分別用這角樣與各不同位置下的圓周角作比較。為防止認(rèn)識(shí)的片面性，再考察另一段弧■所對(duì)的圓周角之間的大小關(guān)系，方法同上。

通過以上演示觀察，啟發(fā)學(xué)生得出猜想

1：同弧所對(duì)的圓周角相等

引導(dǎo)3 上面的猜想告訴我們：任意一弧所對(duì)的圓周角都等于同一度量，這個(gè)度量是多少呢？是由什么因素所決定的。

讓學(xué)生通過上面演示中剪下的■與■所對(duì)的兩個(gè)圓周角的硬紙板角樣的比較，分析概括得出：較大的弧所對(duì)的圓周角較大，較小的弧所對(duì)的圓周角較小。從而進(jìn)一步得出圓周角的度數(shù)是由它所對(duì)的弧來決定的。

引導(dǎo)4 一條弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)是由它所對(duì)的弧決定的，而這條弧的度數(shù)又與圓中什么角有直接的關(guān)系呢？

有學(xué)生脫口而出：尋找一條弧所對(duì)的圓周角與它所對(duì)的圓心角是什么關(guān)系。

引導(dǎo)5（結(jié)合觀察演示）一條弧所對(duì)的所有圓周角都是相等的，只須找到某一圓周角與這段弧所對(duì)的圓心角的關(guān)系就行了，在AB所對(duì)的所有圓周角中，頂點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)的圓周角與圓心角∠AOB的關(guān)系最明顯呢？

通過觀察，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)：可以得出關(guān)系：

∠ACB=■∠AOB

繼而啟發(fā)學(xué)生歸納猜想

2：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。

通過以上的引導(dǎo)，學(xué)生不僅發(fā)現(xiàn)了定理與推論的結(jié)論，更重要的是訓(xùn)練了學(xué)生運(yùn)用了觀察、比較、分析、歸納猜想等合理的思維方式參與了探求知識(shí)的全過程，學(xué)會(huì)了運(yùn)用類比、化歸、由特殊到一般、變靜止為運(yùn)動(dòng)、從歸納到猜想等數(shù)學(xué)思想方法去研究認(rèn)識(shí)問題。

三、分類轉(zhuǎn)化、證明猜想，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和靈活性

上面發(fā)現(xiàn)推出的結(jié)論還只是一種猜想，要證明本定理的正確性，這是本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)。如何突破難點(diǎn)并抓住機(jī)會(huì)向?qū)W生滲透分類思想以及在證明過程中所涉及的轉(zhuǎn)化，設(shè)計(jì)如下步驟：

引導(dǎo)1 猜想2結(jié)論的發(fā)現(xiàn)是由圓周角在某種特殊位置中觀察得出的，猜想正確與否，要有證明。首先我們須分清何為特殊，何為一般？

在模型中演示圓周角的各種位置變化，在變化中觀察圓心與圓周角的各種位置特征，從而歸納出劃分的各種類型及分類的標(biāo)準(zhǔn)。

引導(dǎo)2 我們對(duì)一條弧所對(duì)的無數(shù)多個(gè)圓周角劃分了三種類型，因而須對(duì)三種情況分別進(jìn)行證明。首先最特殊的往往是最容易的，所以第一種特殊情況是我們的突破口。在對(duì)其它兩種一般情況的證明中，是否想到了運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法來解決呢？該選用怎樣的數(shù)學(xué)思想方法？

啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用轉(zhuǎn)化并指導(dǎo)如何創(chuàng)造轉(zhuǎn)化的條件，將一般的情況轉(zhuǎn)為第一種特殊的情況來解決。最后引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用本定理回頭再考察猜想1的正確性，補(bǔ)充適當(dāng)內(nèi)容后作為本定理的一個(gè)推論。

四、概括提煉、鞏固小結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生揭示學(xué)習(xí)規(guī)律、解決實(shí)際問題的能力

如何引導(dǎo)學(xué)生對(duì)本節(jié)學(xué)習(xí)與探求活動(dòng)中及數(shù)學(xué)知識(shí)中涉及的數(shù)學(xué)思想方法加以提煉和概括，設(shè)計(jì)了如下討論題：

1.圓周角定理與推論給我們提供了怎樣的數(shù)量關(guān)系，突破這一表面現(xiàn)象，挖掘其實(shí)質(zhì)，你能發(fā)現(xiàn)隱含其中的數(shù)學(xué)思想和方法是什么？

2.在探討與發(fā)現(xiàn)結(jié)論的活動(dòng)中，我們都運(yùn)用了哪些研究問題的思想和方法，回憶它們的發(fā)現(xiàn)過程，有何啟發(fā)？

3.今天的學(xué)習(xí)活動(dòng)由“猜想”得出了定理與推論，可見猜想是獲得重大發(fā)現(xiàn)的重要途徑。我國(guó)著名數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)為攻克“哥德巴赫猜想”獻(xiàn)出了畢生精力，留下終身遺憾，對(duì)此你有何感想？

在學(xué)生對(duì)上述問題討論的基礎(chǔ)上，講解課本中有關(guān)例題并配備四個(gè)達(dá)標(biāo)訓(xùn)練題（略）。

數(shù)學(xué)思想方法跟其他基礎(chǔ)知識(shí)的區(qū)別是掌握它是一個(gè)循序漸進(jìn)的過程。需要我們教師真正意識(shí)到它是數(shù)學(xué)的精華，重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，在平時(shí)的教學(xué)中，結(jié)合教材，教法有意識(shí)，有目的的逐步滲透與強(qiáng)化，使學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)識(shí)的飛躍，達(dá)到提高素質(zhì)，培養(yǎng)能力之目的。