巧用數形結合 提高解題效率

邵燕文

摘要 數形結合是數學的基本解題方法，它包括“以形助數”和“以數解形”兩個方面。在解決數學問題時，將抽象的數學語言同直觀的圖形相結合，實現抽象的概念與具體形象的聯系和轉化，使數與形的信息相互滲透，開拓了解題思路，使許多數學問題簡單化。本文結合中學教材，舉例說明“以形助數”和“以數解形”在解決數學問題中的一些用法。

關鍵詞 抽象 抽象 以形助數 以數解形

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2015）08-0070-02

“數”和“形”是組成數學的兩大要素。數學家華羅庚說過：“數與形本是兩依倚，焉能分作兩邊飛。數缺形時少直觀，形少數時難入微。”教師在課堂教學過程中，要結合教材內容，根據學生實際，結合數學知識，采用教者有意、學者無心的方法，反復向學生介紹數形結合的方法。

所謂數形結合，包括兩個方面的內容，其一為“從幾何直觀的角度，利用幾何圖形的性質研究數量關系，尋求代數問題的解決方法（即以形助數）；其二是利用數量關系來研究幾何圖形的性質，解決幾何問題（即以數解形）”。它將抽象的語言和直觀的圖形（幾何性質）結合起來，使抽象思維和形象思維結合起來，實現抽象概念與具體形象的聯系和轉化，實質就是“將較難問題轉化為較易問題，將未知問題轉化為已知問題，將復雜問題轉化為簡單問題”。

一、“以形助數”

每個學生在日常生活中都具有一定的圖形知識，如繩子和繩子上的結、刻度尺與它上面的刻度，溫度計與其上面的刻度，我們每天走過的路線可以看作是一條直線，教室里每個學生的座位等等，我們利用學生的這一認識基礎，把生活中的形與數相結合遷移到數學中來，在教學中進行數形結合思想的滲透，挖掘教材提供的機會，把握滲透的契機。如有理數中數軸的引入、不等式及不等式組的解集在數軸上表示，使抽象的概念、性質得到直觀的理解；解二元一次方程組、解不等式時，利用平面直角坐標系，通過轉化成一次函數圖像圖解，問題變得簡單易懂。統計部分三類統計圖應用后即可使啰嗦的語言文字變得簡潔明了；用“樹形圖”分析事件的概率，可使事件簡單而明確。學生在畫圖中整理信息，分析信息，短時間內就找到了解決問題的方法，巧妙地用圖形來表達抽象的數學知識，構建出清晰的數學知識體系，促進知識的“消化”。有些繁雜的代數題，若我們借助于圖形的性質，可以使許多抽象的概念及復雜的數量關系直觀化、簡單化，從而探索出巧妙的解法。

二、“以數解形”

許多幾何問題僅僅是單純的圖形研究，透過形的外表，已經觸及其內在的數量特征，探索由圖形到數量的聯系與規律，即“以數助形”就是將圖形信息轉化為代數信息，使要解決的幾何問題化為數量關系來實現“數形結合”。在數學問題中，經常會遇到一些探索規律題，在教學中圖形規律題的探索也是常見一種形式，遇到這一類問題，我們必須學會分析圖形位置與圖形本身的聯系，將幾何圖形變化情況進行數字化、代數化，這就是“以數解形”。

例：小王購買了一套經濟適用房，他準備將地面鋪上地磚，地面結構如圖所示。根據圖中的數據（單位：m），解答下列問題：

（1）用含x、y的代數式表示地面總面積；

（2）已知客廳面積比衛生間面積多21m²，且地面總面積是衛生間面積的15倍。若鋪1m²地磚的平均費用為80元，那么鋪地磚的總費用為多少元？

[解析]（1）地面總面積為：6x+2y+18（m²）

（2）根據題意，得

∴地面總面積為：6x+2y+18=45

∴鋪地磚的總費用為：45×80=3600（元）。

解題的關鍵是理解題意，讀懂圖表。通過對圖表中數據信息的分析、比較、判斷和歸納，弄清數據間的內在聯系，然后利用所學知識（主要是方程（組）、不等式（組）、函數及統計知識），正確建立數學模型解決問題。

總之，通過數與形有機結合，使學生的思維完成從“形象到“抽象”的概括，從“抽象”到“形象”的再現。數學思想方法既是數學基礎知識，又是將知識轉化為能力的橋梁，用好了就是能力。因此我們數學老師在教學中要注重數學思想方法的滲透、概括和總結，要重視數學思想方法在解題中的應用。

（責任編輯 曾卉）