“以數(shù)解形”之我見

侯警予

G633.6

1、質(zhì)疑

筆者在高三解析幾何復(fù)習(xí)中，下意識引入了這樣一道題目，讓學(xué)生分成兩組質(zhì)疑，合作探安究：

如圖1：拋物線y2=2px（p>0）與雙曲線 （a>0，b>0）共焦點F2，且拋物線與雙曲線兩交點A、B與焦點F2共線，則雙曲線的離心率為 。

請學(xué)生板書解題過程，學(xué)生一組（出乎意料）給出了下面一種代數(shù)解法：

聯(lián)立方程，得 b2x2-2pa2x-a2b2=0，設(shè)A（x1，y1）、B（x2、y2），則x1+x2= ，由圖1知x1=x2= ，所以 ，化簡得 ，故離心率 。

學(xué)生一組板書后，有一部分學(xué)生提異議，學(xué)生二組站起來給出另一種解法：

圖1，連接AF1，由二次曲線共焦點得 ，所以xA=c，yA=2c，則A（c，2c）。由雙曲線第一定義有 得 ，故

經(jīng)過數(shù)分鐘的思考和討論，大家一致認為學(xué)生一組的解法是錯的，因為由x1+x2=-a2可知兩根異號，與圖l中兩交點橫坐標(biāo)均為正根且相等相矛盾，所以學(xué)生二組的解法是正確的。

筆者聽過的很多公開課中都有此種類型的問題，教師大都直接采用學(xué)生二組的方法（幾何法）處理，但有時學(xué)生卻未必如你所愿，恰恰選擇的是代數(shù)法（學(xué)生一組的解法），此時應(yīng)該怎么辦呢？難道直接告訴學(xué)生：以后采用幾何法解此類型問題更好，代數(shù)法不適合，原因呢？

此時執(zhí)教的我心中一喜：“誤解”的產(chǎn)生是一個契機，教師若能好好利用往往給學(xué)生帶來深刻的啟迪。

2、探究

學(xué)生一組：方程聯(lián)立得到的x1+x2=-a2為什么和圖1中的直觀不同呢？若x1代表的是A、B的橫坐標(biāo)，那么x2又代表了什么呢？

學(xué)生二組：我覺得x2是一個虛根。但x2到底代表了什么意思，暫時還沒弄清楚。

教師：我們不妨一起解下去看看?？紤]到方程有虛根，我們在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)進行討論。如圖1，因為A、B兩點橫坐標(biāo)相同，故設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立 得b2x2-2pa2x-a2b2=0。在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解此方程，由韋達定理知x1+x2= ，x1x2=-a2，又共焦點得x1= ，于是 顯然x2是復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的虛根，即 ，又 =c，化簡可得c可得c4-6a2c2+a4=0，即e4-6e2+1=0，解得e= 或e= 。

學(xué)生一組：代數(shù)法原來也能解啊！

學(xué)生二組：這與用幾何法解答一致嘛！不對，怎么還有一個解e= ，難道是橢圓？

教師：想法很好！那這是一個什么樣的橢圓呢？

學(xué)生一組：說明虛根x2= 就在那個橢圓上，而且應(yīng)該是拋物線方程與橢圓方程聯(lián)立的實根！

學(xué)生二組：我猜那個橢圓應(yīng)該與這條雙曲線有重大關(guān)系，難道是 （a>0，b>0）？我們不妨試試。

學(xué)生一組：如圖2，由 得b2x2-2pa2x-a2b2=0，設(shè)C（x3，y3）、D（x4、y4），則x1+x2= ，x3x4= -a2，對比

b2x2-2pa2x-a2b2=0，由韋達定理知x1+x2= ，x1x2=-a2，我們發(fā)現(xiàn)x3+x4=-（x1+x2），x3x4=x1x2，即圖中2中實根和虛根均在兩個韋達定理中體現(xiàn)出來了，原來橢圓與拋物線聯(lián)立得到的根恰和雙曲線和 （a>b>0），從這里也驗證了一個定理：實數(shù)ax2+bx+c=0與ax2-bx+c=0的根互為相反數(shù)。

學(xué)生一組：現(xiàn)在我明白了剛剛的錯誤所在：我解答時用的韋達定理x1+x2= 并沒有錯，但是韋達定理中的x2并非是點B的橫坐標(biāo)，而是一個虛根，“一對共頂點橢圓雙曲線”中的橢圓與拋物線的交點橫坐標(biāo)；代數(shù)解法解得離心率e= ，那就正好一次性解決了“一對共頂點橢圓雙曲線”的離心率，其中橢圓是e= ，雙曲線是e= ，我喜歡的代數(shù)解法太完美了，一舉兩得！

教師：甲同學(xué)，回顧本題，以后這種問題你們覺得應(yīng)該如何人手更妙呢？

學(xué)生一組：首先還是應(yīng)該從數(shù)形結(jié)合中的“以形輔數(shù)”人手更簡潔吧！

教師：對！但是老師也覺得“以數(shù)解形”的方法站在更高的角度看透了問題的本質(zhì)！

3、深省

（1）從學(xué)生的角度而言，筆者認為其思維往往比較直接，給什么做什么是大部分學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的基調(diào).就本題而言，學(xué)生一組解決本題的思維傾向于代數(shù)方式，采用聯(lián)立方程和韋達定理，卻不知二元二次方程中虛根的存在；學(xué)生二組比較傾向于圖形化的策略，利用數(shù)形結(jié)合以形解數(shù)輕松得到答案。在課堂討論中，同學(xué)們一致提出了學(xué)生一組解答錯誤，但并不清楚其錯誤的原因，在本問題的背后深深隱藏著學(xué)生對“以數(shù)解形”完備性認知的缺乏，同時也讓學(xué)生深刻理解了“以數(shù)解形”在這樣問題中的優(yōu)越性，值得教師教學(xué)多加滲透和予以關(guān)注。

（2）從教師的角度而言，這樣的問題有利于開拓學(xué)生的視野和培養(yǎng)其創(chuàng)新的思維，值得在這樣的探究性問題上多花時間、多花工夫。在平時教學(xué)中，筆者認為“以形輔數(shù)”（幾何法，使用相對較多）很輕快、較簡潔、便于教學(xué)，不足之處在于只能就題論題；而“以數(shù)解形”（代數(shù)法）往往站在了系統(tǒng)的高度，很完美、較復(fù)雜，但散發(fā)出問題的本質(zhì)。傳授知識時，教師應(yīng)該毫無疑問的多選擇幾何法，但對于自身和優(yōu)秀的學(xué)生而言，也要注重“以數(shù)解形”對圓錐曲線是一個統(tǒng)一體的本質(zhì)理解。

（3）從本題的角度而言，筆者想起人教A版中圓錐曲線的章頭圖，何為“圓錐曲線”呢？當(dāng)然是用一個截面截圓錐而成的嘛！其最初來源于希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯于公元前225年寫的一篇題為“圓錐截面”的論文。書中通過特定角度切割圓錐體表面得到圓、橢圓、拋物線、雙曲線這四種曲線。其實用統(tǒng)一的眼光來看，它們本身是一個整體。其差別在于用截面的角度帶來了圓錐曲線離心率的不同，但是e>1和0≤e<1之間有著完美的對稱。用統(tǒng)一的代數(shù)語言——方程Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0就是對他們最完美的整體詮釋。

（4）從思想方法的角度而言，圓錐曲線問題滲透出的主要數(shù)學(xué)思想方法便是數(shù)形結(jié)合思想。有時形優(yōu)于數(shù)，有時則恰恰相反，這需要教師通過各種問題對學(xué)生進行經(jīng)驗的積累。記得華羅庚先生說過：“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數(shù)無形時少直覺，形無數(shù)時難入微?！北疚闹械膶W(xué)生一組恰好“數(shù)無形時少直覺”，學(xué)生二組正是“形無數(shù)時難人微”。

近年來，數(shù)學(xué)學(xué)科命題把“以能力立意為指導(dǎo)，以考查能力和素質(zhì)為導(dǎo)向”作為命題的一條基本原則，高考數(shù)學(xué)試題逐漸形成了“立意鮮明、背景新穎、設(shè)問靈活、層次清晰”的新特色，高考數(shù)學(xué)簡單地講是三考：考基礎(chǔ)知識，考思想方法，考能力素質(zhì)，本文所談及的問題便是這樣的問題。其有著基礎(chǔ)性、公平性，有效地考查了學(xué)生的現(xiàn)階段能力，同時又甄別了學(xué)生學(xué)習(xí)的潛能，這有利于中學(xué)素質(zhì)教育的實施和為大學(xué)創(chuàng)新人才的選拔。

一言以蔽之，借一班略知全豹，以一目盡傳精神?！耙詳?shù)解形”正驗證了華羅庚“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休。幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠聯(lián)系莫分離”之要言。