例析求二次函數解析式的方法

郗紅梅

【關鍵詞】 數學教學;二次函數;解析式;求解

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 C

【文章編號】 1004—0463（2015）19—0121—01

求二次函數的解析式是義務教育階段初中數學教材“二次函數”中的一個難點，在教學中我們給學生總結了三種常用方法：

1.一般式：y=ax2+bx+c，其中a、b、c是待定系數，且a不等于0.2.交點式：y=a（x-x1）（x-x2），其中x1、x2 是二次函數的圖象與x軸的交點橫坐標.3.頂點式：y=a（x-h）2+k，其中（h，k）是拋物線的頂點坐標.可是學生在運用的時候還是存在問題，常常感到無從下手.下面，筆者結合實例，談談求二次函數解析式的幾種常用方法.

題目：二次函數y=ax2+bx+c的圖象經過點（0，0）與（12，0），最高點的縱坐標是3，求這個二次函數的解析式.

分析：要求二次函數的解析式，關鍵是利用待定系數法求出y=ax2+bx+c中的系數a、b、c.

解法一：函數的圖象通過（0，0）與（12，0），可將這兩點代入y=ax2+bx+c中，得方程：c=0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?①

144a+12b+c=0 ? ? ?②

拋物線最高點的縱坐標是3，即頂點的縱坐標為3，由頂點坐標公式得： =3 ? ? ? ?③

將①②③聯立可解得：a=-，b=1，c=0.

所以二次函數的解析式為： y=-x2+x .

解法二：由于二次函數y=ax2+bx+c的圖象過點（0，0）與（12，0），因此（0，0）與（12，0）是拋物線與x軸的兩個交點，這樣可以用“交點式”來求解析式.可設拋物線的解析式為y=a（x-x1）（x-x2），將x1=0，x2=12代入得y=ax（x-12），考慮到（0，0）與（12，0）是關于對稱軸對稱的，因此拋物線的頂點坐標為（6，3），再將（6，3）代入y=ax（x-12）中，可得a=-，所以函數的解析式是y=-x2+x.

解法三：由方法二可知拋物線為y=ax（x-12），由拋物線最高點的縱坐標是3，即頂點的縱坐標為3，由頂點坐標公式得： =3，解得a=-.所以拋物線的解析式是y=-x2+x.

解法四：由方法二可知拋物線的頂點坐標為（6，3），因此拋物線過（0，0）、（12，0）、（6，3），可設y=ax2+bx+c，將以上三點代入方程組：c=0

144a+12b+c=0

36a+6b+c=3

解方程組求出a、b、c的值即可.

解法五：由方法二可得到拋物線的對稱軸為x=6，所以可以通過下列方程組求得a、b、c.

c=0

-=6

=3

解法六：（0，0）與（12，0）點是拋物線與x軸的兩個交點，橫坐標為0與12，也就是方程ax2+bx+c=0的兩個根，由根與系數的關系可得：

x1+x2=-=12

x1·x2==0

=3

再聯立方程可求得a、b、c.

解法七：由拋物線過（0，0）與（12，0）可知，拋物線的對稱軸是x=6，且拋物線最高點的縱坐標為3，所以拋物線的頂點坐標為（6，3），這樣可用“頂點式”求解析式.設拋物線的解析式為y=a（x-6）2+3，再把點（0，0）和點（12，0）代入即可求出a的值.

以上列舉了利用待定系數法求二次函數解析式的幾種常用方法，學生在平時的學習中只有通過練習才能掌握每種方法的技巧和特點.

下面的幾個題目不妨采用上述方法加以練習：

根據下列條件，求二次函數的解析式.

1.圖象經過點（0，-3），拋物線的頂點為（2，1）.

2.圖象與x軸交于（-1，0）和（3，0），且通過點（-，7）.

3.在y軸上的截距為-2，對稱軸是直線x=-2，最大值為2.

4.頂點是（2，3），圖象與x軸兩交點間的距離為6.

編輯：謝穎麗