數字技術支持下的數學筆記

梁勇

【摘 要】在數學學習過程中，學生以數學筆記為載體，連結日常生活，外顯數學思維，融合多學科知識與技能。新技術的融入為數學筆記提供了新的創(chuàng)作視角，實現了個性化學習，促進了學習共同體的形成。這些都在有力地支持學生進行理解性數學學習。

【關鍵詞】數學筆記；新技術；理解性數學學習；綜合素養(yǎng)；學習共同體

【中圖分類號】G40-057 【文獻標識碼】A

【論文編號】1671-7384（2015）10-0051-04

盡管人們依然在爭論學生應該學什么樣的數學，但對于學生應該如何學習數學這個問題卻持有相同的觀點，那就是：學生應當理解性地學習數學的關鍵性知識和技能。

基于腦科學的學習科學研究表明，學生孤立地學習數學知識和技能無法達到理解，因為理解產生于學生與周圍環(huán)境中的材料、同伴和起支持作用的成人的互動過程。筆者在多年的數學教學實踐中發(fā)現，數字技術支持下的數學筆記（以下簡稱為數學筆記）能夠有效地幫助學生（尤其是小學低年級學生）進行理解性數學學習。

數學筆記，是指學生在數學學習過程中采用繪畫、手工、攝影等美術形式編制個性化創(chuàng)意數學作品（如圖1），并運用社會化語音技術對數學作品進行獨立描述或解釋，用以表達對數學概念和原理的認知、理解和應用，然后發(fā)布于社會化交流平臺，與同伴及成人進行及時分享和交流并獲得相應反饋。

圖1 《我為數字穿新衣》

數學筆記連結日常生活，構建數學知識

從學校向日常環(huán)境的遷移是學校教育的最終目的，但在數學學習的初始時段，反方向的遷移同樣有利于學生對數學知識的理解。首先，學齡學生在進入學校時已經擁有了大量來自于日常生活的自然數學經驗和非正式數學知識。其次，當學習發(fā)生在有意義的和熟悉的情景之中，學生能夠更有效地進行數學學習。因此，學校里的結構化數學學習應當充分挖掘和利用學生熟悉的生活情景和已有的數學知識，并結合學生與生俱來的好奇心和求知欲，培養(yǎng)學生學習并應用數學概念和技能的興趣。

一年級的學生在制作《生活中的數字》（如圖2）時，通常會采用繪畫或拍照的方式來呈現自己的發(fā)現，諸如自家的門牌號碼、父母手機的面板、鄰居家汽車的牌照、面值不同的人民幣、商場里商品的價格、車站顯示牌上的時間……我們的周圍環(huán)境到處都充滿了數字，但學生有關數字的經驗大部分來自于自然和非正式活動。因此，當學生“以數學的名義”重新觀察和記錄這些習以為常的數字時，他們仍然興奮不已。

圖2 《生活中的數字》

新技術的加入無疑給數學筆記提供了新的視角，增添了豐富的創(chuàng)意元素。閱讀《建筑中的圖形》之后，孩子們開始了圖形發(fā)現之旅，他們先利用iPad在學校、社區(qū)拍攝照片，然后在“圈點”里圈出各種圖形，標注名稱，建構起對圖形的認知，并初步感受部分與整體的關系（如圖3）。

圖3 《平面圖形》

在此過程中，學生開始轉變觀察生活的視角，即運用數學的視角，對早已熟悉的環(huán)境進行重新觀察和探索，從而獲得數學經驗，主動建構數學知識，同時體驗和發(fā)現數學就在自己的周圍、眼前甚至身上。事實上，周圍的事物原本就已經存在，學生只是換了個角度去觀察，就能發(fā)現一個奇異的數學世界。數學筆記，正是在學生自身不斷發(fā)展的數學理解與正式的數學知識之間架起的一座橋梁。

數學筆記物化數學思維，外顯數學理解

1. 數學筆記呈現理解水平

數學學習活動基本上是數學思維活動。但是，如何在實際數學教學過程中觀察、理解和評估學生內隱的數學思維？這需要我們引導和幫助學生準確而有效地暴露其數學思維，即運用恰當的符號表征數學知識。數學筆記作為數學符號表征的一種形式，能夠外顯學生對數學知識的認知、理解和應用，進而幫助成人對學生的數學學習進行觀察和評估。

在教學“乘法”時，我們通常會做兩個方面的前測：一是“乘法作為運算”，測試方式為乘數小于5的乘法口算；二是“乘法作為概念”，測試方式是數學筆記，即畫一幅畫表示3×4（如圖4）。結果通常都在我們的預料之中，很多孩子在學習乘法之前已經能夠準確地計算簡單乘法，并為此感到自豪。與此同時，有些孩子直接用“3和4相乘”的符號表征來表現“3個4相加或4個3相加”（如圖4）。

圖4 《3×4》

依據數學筆記，教師能夠清晰地觀察到學生對于“乘法的意義”的認知和理解是有缺陷的。在教學過程中不僅注重讓學生記住乘法表以求計算正確率與速度，而且利用學生天生的建模意識去引導學生學習連加的運算規(guī)則，因為這是理解乘法的基礎。

2. 數學筆記記錄學習過程

小學階段的數學內容基本上是常識性的，但數學本身具有一般性和抽象性。面對抽象能力尚未養(yǎng)成的小學生，教師很難也不應當過多地講解數學道理，而是引導學生參與筆記數學等學習活動，讓學生經歷豐富的觀察、制作等數學活動過程，在“慢慢”的過程中，“慢慢”積累數學活動經驗和數學事實，“慢慢”感悟數學知識的形成過程、數學符號的簡潔實用和數學原理的內在邏輯。

在數學學習活動中，學生的許多數學觀察發(fā)生在不同時空，“思維導圖”能夠幫助學生隨時隨地記錄觀察到的數學現實，并在一定積累的基礎上，對這些數學事實進行分類和整理，從而建構數學知識。

圖5所示的《三角形的家》清楚地記錄了呂紫賢同學的數學學習過程：一開始只是為了尋找生活中的三角形，而后隨著數學事實的不斷積累，便有了分門別類的想法和行動。這樣的數學筆記制作過程中，學生既能夠觀察并發(fā)現三角形在生活當中的廣泛運用，更能夠學會有條理地認知社會事物的不同領域。

圖5 《三角形的家》

3. 數學筆記投射思維特征

數學筆記是學生個性化的數學作品，自然也能反映學生某些個性心理特征、學習風格。在畫《多幾少幾》時，盡管教師提供的半結構化材料使學生的創(chuàng)作有了基本相同的框架，但只要我們認真觀察，就能發(fā)現作品與作品之間細微的差異：有的學生喜暖色調，有的學生則好冷色調；有的學生喜歡使用“線條”，而有的學生則喜歡用“色塊”；有的學生注重均衡布局，有的學生則喜好劍走偏鋒……正如世界上沒有兩片完全一樣的樹葉，我們眼前沒有完全相同的兩幅作品（如圖6）。由此可見，每個孩子都擁有獨一無二的思維特征，他們都在積極地發(fā)揮著獨特的學習力和創(chuàng)造力，表達著獨特的自我。

圖6 《多幾少幾》

隨著作品數量的增加，我們發(fā)現，不同群體學生的學習風格也存在差異。較之男孩子隨性的天馬行空，大多數女孩子的作品會顯得更整潔、風格更統一、色彩更豐富；低年級學生更關注作品的藝術創(chuàng)意，高年級學生更關注作品的數學本質；低年級學生在半結構化創(chuàng)作中完成的質量較高，高年級學生則更愿意進行自主創(chuàng)意。

數學筆記融合多學科，培養(yǎng)綜合素養(yǎng)

隨著教育變革的不斷深入，人們越來越重視課程整合教學模式。正如圖7所示，學生在筆記數學時，是以數學內容為中心，卻常常整合了科學、社會學習、語言、美術、技術、運動及音樂等不同課程領域內容，形成一個以數學為中心的綜合性作品，在重點培養(yǎng)學生數學素養(yǎng)的同時，也培養(yǎng)學生的綜合素養(yǎng)。

圖7 課程整合基本模型

圖8 《厘米》

圖8是胡魏恩祖同學二年級時的數學筆記《厘米》，他運用植物的生長過程來描述1厘米、2厘米、5厘米……與此同時，為了更好地測量日益增高的植物，學生為測量者設計了各種增高辦法，包括爬樓梯、跳跳球、騎鳥飛行、熱氣球……充滿了各種創(chuàng)意和驚喜。畫面中的陽光、土壤、水的出現，表明了學生對于植物生長的基本要素已經了然于心。

語音技術實現人人表達，培養(yǎng)數學語言

數學語言是數學思維的工具，也是數學思維的外顯形式。小學生對數學語言的理解和掌握程度，直接影響了他們對數學思想、數學方法和數學知識的理解和掌握能力，從而影響他們數學思維能力的發(fā)展及對數學知識的應用。因此，在數學筆記的過程中，我們也必須注重培養(yǎng)學生數學語言的表達和運用能力。

學生的數學筆記需要數學語言的解讀，但在真實的數學課堂里，無法實現“人人表達”。在數學筆記中引進PAPA、微信等社會化語音技術，是一個比較好的解決方案。如圖9所示，學生先畫出數學筆記，再運用PAPA進行圖畫解讀，實現“人人表達”。

圖9 學生運用PAPA制作的數學筆記

首先，社會化語音技術完全實現“人人表達”。學生運用PAPA等語音技術將制作好的數學筆記導入，然后運用簡練的數學語言進行講述或解釋，實現每個人都能個性化表達。

其次，社會化語音技術能夠呈現“最優(yōu)表達”。學生在講解錄音的同時，會對自己的數學表達進行自我評價，可以經過多次練習之后，最后呈現自己認為最為精彩的數學表達。這樣既培養(yǎng)了學生的數學表達能力，也增強了學生數學表達的自信心。

再次，在數學語言表達過程中，學生把那些“聽懂的”或“看懂的”數學知識運用數學語言去描述、解釋甚至概括，會促使學生對數學知識進行更深入的觀察、思考和語言組織。這種過程為與同伴進行交流、討論做了積極的鋪墊和充分的準備；基于充分準備和深入思考的交流討論使得學生的數學學習更為深刻。

網絡平臺支持分享交流，構建學習共同體

學習科學研究表明，對包括數學筆記在內的學生作品的反饋在學習過程中起到重要作用。但遺憾的是，很少有教師擁有足夠的時間為學生提供高品質的個別反饋。我們必須尋求新技術的幫助，構建基于網絡平臺的學習共同體，實現及時分享、相互反饋，從而獲得同伴支持。

微信群、QQ群、百度云盤等新技術幫助我們構建起學習共同體。共同體成員的數學筆記作品能夠進行及時共享，并且也可被他人（教師、學生、家長以及共同體成員等）評論。共同體成員在短時間內能夠快速獲得大量同一主題的數學筆記資源，在觀察他人作品的過程中獲得更豐富的數學經驗和數學事實，在分析、評價他人作品的過程中深入思考和運用數學概念，并逐漸形成批判性思維，在學習他人作品的基礎上改進自己的數學作品。這些知識習得和修改意見都能夠有力地支持學生數學理解力的發(fā)展。

數學筆記對于數學課堂的交流和討論也起著支持作用。首先，數學筆記作品對所有數學活動參與者都是一個共同的視覺參考物。其次，他們在課前已經通過網絡平臺針對同一數學問題進行了精心準備，經歷了獨立學習、擴展學習、識別和思辨。此時，教師的作用就是把學生有關如何解決和分析問題的觀點擺在課堂上去討論，評價他們的論點合理與否，鼓勵他們憑直覺應用數學原理，但最好是讓學生們自己判斷有些事情是否符合數學原理。

總之，基于數字技術的數學筆記，能夠有效地幫助學生建構、重構他們的數學理解。學生創(chuàng)作數學筆記、反思數學作品的過程，正是他們積極地學習和運用數學知識的過程，也是促進學生數學理解力不斷深化的過程。

（作者單位：廣東深圳市南方科技大學實驗學校）