追求“自然”思路，實現有效解題

陶磊

[內容摘要]高中數學對學生來說很重要，教師應教導學生在解題時追求“自然”的思路，以促使解題高效化，有效提高學生的學習興趣。本文主要研究如何實現高中數學解題中所追求的“自然”思路，并提高解題有效性。

[關鍵詞]“自然”思路;高中數學;解題

目前，教師在進行解題教學時，常喜歡變換不同的教學方法，以突破常規教學方法的限制，促使學生產生更多的思考，并有效提高其求知興趣。相關教學研究表明：學生雖能進行解題，但解題思路并不清晰，亦不“自然”;如果題目形式稍有改變，學生就難以靈活解答，從而使解題效率降低。所謂“自然”思路，即把解題規律探析置于首位，通過淡化解題技巧的使用，加之注重解題中的貫通性，追溯至題目本源，進而促使貼近實際的新型解題方式，起到有效提高解題能力的作用。

一、返璞歸真

高中數學常使用的基本解題方法包括：代入、消元、解方程組、待定系數法等;此類方法不僅易增加學生的聯想發散性，而且能提高解題時操作的效率，促使解題思路“自然”化。比如：已知a2+b2=1，b2+c2=2，c2+a2=2，求ab+bc+ca的最小值。多數學生看到該題時首先想到的解題思路是解基本不等式，通過求解ab+bc+ca≤a2+b2+ c2可以得出上述式子的最大值，但此結果與題意背離，無法解出答案;學生繼續思索，隨即想到三角代換方法，但此類方法較復雜，且學生無法完全掌握。實際上，就題目本身而言即為一個三元方程組，學生只需把其解出即能完成解題的要求;然而，為什么學生無法想到如此基本又簡便的方法呢？可能因為學生的解題思路已被書本中特有的模式所圈套住，從而使解題進入盲區，無法發現題目中所包含的基礎性信息。教師應從上述現象中吸取教訓，以改變學生的思路想法為主要目的，培養學生積極分析基礎解法，使其從解題的慣有模式中逃出。歷來大型考試時，出題均圍繞基礎知識，只是在其基礎上進行深化和改變，實則是平凡常見的題目;學生應積極掌握“自然”思路的使用方法，從而有效減少解題時間。

二、追本溯源

高中數學解題時應追溯題目的源頭，這有助于“自然”思路的形成;為了順利解決問題，首先應理解題目中已知條件的作用以及問題的方向，并進一步思考此類題目針對的是哪類知識點和方法，加之詳細研究所運用知識點的具體特征，進而通過充分了解問題本質，促使解題方向回歸定義，目標更加確切，具體執行方法如下：

1.掌握本質

例1.直角坐標平面有一點列：P1（a1，b1），P2（a2，b2）至Pn（an，bn），且其對于任意n∈N+上的點均有意義，Pn（an，bn）位于y=ax（a>0，且a≠1）上，并且Pn、（n，0）與（n+2，0）三點能構成一個以Pn為頂點的等腰三角形。在此基礎上求點Pn的縱坐標bn，并假設數列{bn}的前n項和表示為Sn，試問常數t是否存在？且能使數列{Sn-t}成為等比數列。

教師可使用“自然”思路對學生進行教學，由題目可知bn=an+1，且加之bn+1/bn=a，即可得出Sn=[a2（1-an）]/1-a;問題即迎刃而解，但是仍有較多學生無法想到此類方法，促使解答復雜化，從而提高解題難度，增加解題時間。通過教師的觀察與分析，學生在解此類題時可能會使用下述方法：首先，通過對存在的常數t進行假設，使數列{Sn-t}成為等比數列，即可發現Sn+1-t/Sn-t為常數;其次，通過將Sn與Sn+1代入方程，進而可以使用待定系數法予以解答，但此方法步驟較為繁瑣，多數學生無法完成。此時教師應根據學生所使用的方法積極進行思路引導，解答此題時應設目標為源頭，為了滿足題目要求，應先列出Sn-t=[a2/（1-a）]-[an/（1-a）]-t，再通過分析等比數列的通項形式，即a1qn-1，發現等比數列即為常數與指數函數的乘積，對比上述式子可得（a2/1-a）-t應等于0，且在q=a時才成立，隨即可解出常數t=a2/（1-a）;再進一步進行驗證得出當t=[a2/（1-a）]時，Sn+1-t/Sn-t=a，即得以證實存在一個常數t使{Sn-t}為等比數列。上述所使用的方法主要是依靠題目“本質”的掌握，進而從本質上得以升華，靈活使用基礎性知識，為解題找到新型思路。

2.關注目標

例2.在三角形ABC中，角A為120度，且a+c=20，a+b=24，求a是多少？

根據詳細分析得出，題目已知三角形的三邊關系與其中一個角的度數，看似給出的信息較多，實則不是每一項均有作用，學生常因條件的多樣而無法找到主要思路，從而耽誤解題時間。教師應有針對性地引導其專注于目標分析，此題所求為a的數值，則很容易想到應消除等式中多余的b與c;因此，根據基礎性三邊定理中的余弦定理即可得出a2=（24-a）2+（20-a）2-2（24-a）（20-a）cos120°，通過化簡可解得a=14。由此，可表明當無法看清題目方向時，應根據題目條件或結論作為依據，有效通過目標性的分析，并實施合理的公式變形運用，從而有效減少解題中出現彎路，提高解題效率。

三、緊扣特征

學生解決問題時常從正面理解角度出發，僅依舊條件所提供的信息進行分析思考，其實，解題時應實施變化性的解題策略，通過“自然”性思路，使常用方法進行轉換，從而有效解答特殊化、復雜化類型的試題，進而加強學生的解題應變能力。

1.正難則反

例3.一個三邊長分別為5、7、8的三角形，其最大與最小角之和為多少？

依據上述問題進行詳細剖析，學生應使用“自然”思路，從問題的正面方向出發;通過假設5、7、8三邊所對應的角為角A、B、C，即可得出cosA的值，但仍不能得出答案;隨即應從反面進行思考，由于角B為角A與角C之和的補角，則可通過求cosB而得出答案，即角B為60度，由此可推出最大與最小角之各和為120度。教師在此應引導學生切勿僅使用正面解題方式，而忽略反面解題的重要性，有時僅轉換一下解題角度，即可離答案更進一步，從而提高反向思維能力。

2.特殊化法

例4.在銳角三角形ABC中，角A、B、C分別對應邊a、b、c，且已知b/a+a/b=6cosC，求tanC/tanA+tanC/tanB的值。

對本題進行剖析，因本題為填空題，不需使用較為復雜的解答方法，避免時間的浪費，但學生常會被題目信息所誤導，不知解題時應使用特殊三角形還是等邊三角形或是等腰三角形，從而為解題帶來較大困難。教師應做好引導工作，要求學生仔細閱讀題目，因此不難發現題目中還有一個重要條件即為b/a+a/b=6cosC，根據此條件可以得出本題所涉及的三角形為等腰三角形;且又可由條件得出a=b，即cosC=1/3，隨之可求出2cos2（C/2）-1=1/3;又因角A與角C/2互為余角，即可得出sinA=cos（C/2），隨之可得出tanC/tanA+tanC/tanB=2tanC/tanA。由上述方法可得出，教師在講解選擇或填空等分值較小的題目時，應積極引導學生使用特殊性方法，從而有效分析此類題目的主要目的;能通過出題目的，有針對性地解題，以弄清題目中所含邏輯關系，再經過一般方法的驗證，促使解題理想化，并有效加強學生對“自然”思路的理解和應用，使其加快解題速度，提高解題興趣。

總之，高中數學教學中教師應積極引導學生使用“自然”思路解題，并通過掌握題目本質、關注解題目標以及緊扣題目特征等三方面的詳細講解，促使學生提高解題效率，從而形成良好的學習氛圍。

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（責任編輯 馮 璐）