大學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力及其培養(yǎng)策略

楊家興 熊萬(wàn)民

摘要：本文討論了大學(xué)生在數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)過(guò)程中應(yīng)主要培養(yǎng)的幾種數(shù)學(xué)思維能力，提出了培養(yǎng)現(xiàn)代大學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的方法與教學(xué)策略。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思維能力；創(chuàng)造性思維；教學(xué)策略

中圖分類號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2015）40-0204-02

一、引言

數(shù)學(xué)思維是指人腦與數(shù)學(xué)對(duì)象交互作用并按一般思維規(guī)律認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)規(guī)律的過(guò)程。數(shù)學(xué)思維能力指的是在數(shù)學(xué)思維過(guò)程中，對(duì)數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的效率有著直接影響，使數(shù)學(xué)思維活動(dòng)能夠順利完成的表現(xiàn)在每一個(gè)思維個(gè)體上相對(duì)穩(wěn)定的心理狀態(tài)。要提高大學(xué)生數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)大學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力是其中一個(gè)重要環(huán)節(jié)，更重要的是，它對(duì)提高大學(xué)生創(chuàng)造性能力有著極其重要的意義。

二、主要數(shù)學(xué)思維能力簡(jiǎn)介

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中應(yīng)主要培養(yǎng)大學(xué)生如下幾個(gè)方面的數(shù)學(xué)思維能力：形象思維能力、抽象思維能力、辯證邏輯思維能力、創(chuàng)造性思維能力。

1.形象思維能力。形象思維就是僅僅利用人們頭腦中對(duì)事物的形象所進(jìn)行的思維，它完全拋開(kāi)了人們對(duì)事物的感知，具有直觀性、概括性、多面性等特征。要快速地理解問(wèn)題的本質(zhì)，進(jìn)行直觀判斷最為迅速直接。要培養(yǎng)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中創(chuàng)造性解決問(wèn)題的能力，就必須培養(yǎng)學(xué)生的形象思維。例如，從一元到多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，由于變量個(gè)數(shù)的增加，具體求導(dǎo)形式變得更加復(fù)雜，如果我們能描繪出多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的“樹(shù)形圖”，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)形象思維，就可將多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)鏈?zhǔn)椒▌t的具體求導(dǎo)過(guò)程揭示得清清楚楚，多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)這個(gè)看似困難的問(wèn)題立即迎刃而解。

2.抽象思維能力。抽象思維能力是數(shù)學(xué)思維最顯著的特征之一，它是指離開(kāi)客觀事物的具體形象，從概念、定理或推理過(guò)程出發(fā)所進(jìn)行的思維。高等數(shù)學(xué)中的概念大都從實(shí)例出發(fā)，從中提取出共同特征而得出的。例如導(dǎo)數(shù)的概念，一般的教材都討論兩個(gè)具體實(shí)例，一個(gè)是過(guò)曲線上一點(diǎn)所作切線的斜率，一個(gè)是變速直線運(yùn)動(dòng)物體的瞬時(shí)速度，前者是一個(gè)幾何問(wèn)題，后者是一個(gè)物理問(wèn)題，實(shí)際問(wèn)題及所在領(lǐng)域完全不同，但計(jì)算方法和步驟卻是完全相同的。我們都是拋開(kāi)問(wèn)題的具體內(nèi)容，從中抽象出相同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，得出導(dǎo)數(shù)的概念。與此類似的概念還有定積分、二重積分、曲線積分、曲面積分等。

3.辯證思維能力。辯證思維就是要求學(xué)生在思維過(guò)程中運(yùn)用客觀辯證法思考問(wèn)題，高等數(shù)學(xué)課程中辯證思想幾乎無(wú)處不在，例如：極限的定義是用有限變量來(lái)刻畫(huà)無(wú)限過(guò)程及有限到無(wú)限的矛盾轉(zhuǎn)化，它包含著變與不變、近似與精確、有限與無(wú)限等豐富而深刻的辯證關(guān)系；微分與積分形象地描述了連續(xù)變量局部變化與整體變化之間的對(duì)立統(tǒng)一；離散與連續(xù)、有限與無(wú)限、均勻與不均勻等都是矛盾對(duì)立統(tǒng)一的具體反映。

4.創(chuàng)造性思維能力。這是指?jìng)€(gè)人具有的一種有獨(dú)特創(chuàng)見(jiàn)的思維，創(chuàng)造性思維不僅能揭示現(xiàn)實(shí)世界的本質(zhì)及客觀事物之間的聯(lián)系，更重要的是，人們可以在此認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上激發(fā)出新穎的、開(kāi)創(chuàng)前人的思維成果。從某種程度上說(shuō)，創(chuàng)造性思維是形象思維、抽象思維、辯證思維等思維能力在長(zhǎng)期實(shí)踐中經(jīng)過(guò)充分發(fā)展、提高、躍升而達(dá)到的最高境界，同時(shí)，它也是我們?cè)跀?shù)學(xué)教育過(guò)程中孜孜以求的理想境界和最終目標(biāo)。具體來(lái)說(shuō)，它要求學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)能創(chuàng)新問(wèn)題解決方法，在學(xué)習(xí)或生活中能提出新的數(shù)學(xué)問(wèn)題，甚至在掌握基本理論和方法的基礎(chǔ)上創(chuàng)造新的數(shù)學(xué)理論。必須指出的是，創(chuàng)新是相對(duì)的，創(chuàng)新性思維是廣義的，它不一定要“高大上”，只要是對(duì)大學(xué)生來(lái)說(shuō)比較新穎獨(dú)到的思維和自身認(rèn)為有價(jià)值的思維活動(dòng)，都是具有創(chuàng)造性的思維。

三、培養(yǎng)大學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的教學(xué)策略

大學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)屬教育學(xué)的范疇，也是一個(gè)十分重要的心理學(xué)問(wèn)題，更是數(shù)學(xué)教育智育目標(biāo)的根本任務(wù)。在教學(xué)過(guò)程中，我們應(yīng)深刻分析學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中數(shù)學(xué)思維的心理學(xué)基礎(chǔ)，采取適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)策略，努力提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維水平。

1.培養(yǎng)學(xué)生積極的數(shù)學(xué)態(tài)度。數(shù)學(xué)態(tài)度包括學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的認(rèn)識(shí)、對(duì)數(shù)學(xué)美的欣賞以及對(duì)數(shù)學(xué)中辯證思想的感受。教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)主動(dòng)化解學(xué)生的不良情緒，讓學(xué)生充滿自信，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)保持積極的態(tài)度。為此，教師應(yīng)做到以下幾點(diǎn)：首先，教師要加強(qiáng)自身學(xué)習(xí)，提高綜合素質(zhì)，以豐富的知識(shí)和高尚的人格魅力感染學(xué)生；其次，教師要以樂(lè)觀積極的數(shù)學(xué)態(tài)度引領(lǐng)學(xué)生數(shù)學(xué)態(tài)度的形成；最后，除了課堂教學(xué)環(huán)節(jié)，應(yīng)充分利用課后訪談、學(xué)習(xí)小組、結(jié)對(duì)子等方式，全方位、多角度促進(jìn)學(xué)生積極數(shù)學(xué)態(tài)度的形成。

2.充分利用課堂教學(xué)。課堂教學(xué)作為學(xué)校教學(xué)中最重要的環(huán)節(jié)，有著不可替代的優(yōu)勢(shì)和作用。在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過(guò)程中，教師可以主要通過(guò)概念教學(xué)、數(shù)學(xué)定理的證明以及建立知識(shí)之間的聯(lián)系來(lái)加強(qiáng)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)。在概念教學(xué)環(huán)節(jié)，不僅要講清楚引入的概念是什么，還要搞清楚引入概念的前因后果、來(lái)龍去脈；對(duì)概念的理解要求學(xué)生全面科學(xué)地分析概念的定義結(jié)構(gòu)，深刻理解概念的內(nèi)在含義及其推廣、延展，對(duì)概念的基本性質(zhì)和應(yīng)用范圍做出概括總結(jié)；最后，教師還應(yīng)該闡明數(shù)學(xué)概念及其特性在實(shí)踐中的應(yīng)用。在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，定理和公式的證明是極其重要的內(nèi)容，這是因?yàn)樽C明方法一方面具有典型性，掌握好這些方法能夠使學(xué)生在解決其他問(wèn)題時(shí)達(dá)到“舉一反三”的效果；另一方面，定理的證明過(guò)程也是創(chuàng)造性思維培育和發(fā)展的過(guò)程。為了讓學(xué)生對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)化和結(jié)構(gòu)化，思維訓(xùn)練和知識(shí)學(xué)習(xí)必須緊密結(jié)合，在傳授知識(shí)的同時(shí)，教師必須緊緊抓住知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，不失時(shí)機(jī)地對(duì)學(xué)生進(jìn)行思維訓(xùn)練，使學(xué)生能將所學(xué)知識(shí)在運(yùn)用中舉一反三。例如，極限是微積分的基礎(chǔ)，連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、定積分、偏導(dǎo)數(shù)、重積分、曲線曲面積分等均建立在極限定義基礎(chǔ)之上，教師在課堂教學(xué)中應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生抓住知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生將所學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化，這樣有助于培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)思維能力。

3.培養(yǎng)學(xué)生自學(xué)能力。自學(xué)是一個(gè)數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)過(guò)程，有感知、記憶、思維等，具有較大的獨(dú)立性，它需要大學(xué)生獨(dú)立地制訂計(jì)劃、組織實(shí)施、做出判斷、評(píng)價(jià)效果、進(jìn)行控制、自我調(diào)節(jié)。自學(xué)過(guò)程考驗(yàn)的是學(xué)生的獨(dú)立思考能力，這種獨(dú)立思考無(wú)疑是產(chǎn)生創(chuàng)造能力的重要源泉。因此，在高等教育階段數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，一項(xiàng)非常重要而艱巨的任務(wù)，就是培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)、思考和解決問(wèn)題的能力，這種能力的培養(yǎng)不僅能夠促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握，還能促進(jìn)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)方法的訓(xùn)練和知識(shí)應(yīng)用能力的提高，使學(xué)生受益終生。為培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力，教師可以要求學(xué)生搞好預(yù)習(xí)和獨(dú)立完成作業(yè)，教會(huì)學(xué)生對(duì)比、分類、歸納、總結(jié)以形成完整的知識(shí)體系，啟發(fā)學(xué)生一題多解，多角度考察知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系和運(yùn)用，讓學(xué)生形成多向聯(lián)系的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，從而提高自學(xué)能力。

4.培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維。創(chuàng)造性思維是指我們對(duì)現(xiàn)實(shí)世界及其聯(lián)系進(jìn)行從未有過(guò)的思考并在此基礎(chǔ)上產(chǎn)生富有自主創(chuàng)見(jiàn)的思維。它不僅能揭示現(xiàn)實(shí)世界的本質(zhì)及客觀事物之間的聯(lián)系，更重要的是，人們可以在此認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上激發(fā)出新穎的、開(kāi)創(chuàng)前人的思維成果。而數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維是一種復(fù)雜的心智活動(dòng)，它要求學(xué)生在思維訓(xùn)練中能做出創(chuàng)新性的設(shè)想和富有理智的決斷。教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中可以從以下幾個(gè)方面入手培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維：（1）引導(dǎo)學(xué)生提出問(wèn)題和發(fā)現(xiàn)問(wèn)題。某種程度上說(shuō)，提出問(wèn)題比解決問(wèn)題更加重要。引導(dǎo)和鼓勵(lì)學(xué)生提出和發(fā)現(xiàn)問(wèn)題對(duì)訓(xùn)練學(xué)生思維十分有益。例如在介紹微分中值定理時(shí)，我們可以通過(guò)觀察羅爾定理和拉格朗日定理?xiàng)l件與結(jié)論的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生考慮是否可以利用羅爾定理證明拉格朗日定理。（2）采用啟發(fā)式的教學(xué)方式。啟發(fā)學(xué)生積極思維、培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維的核心。對(duì)于遇到的問(wèn)題，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生怎么去思考、從哪里入手、如何去解決。這樣，學(xué)生不僅會(huì)弄懂問(wèn)題本身，在以后的學(xué)習(xí)中遇見(jiàn)類似的問(wèn)題就會(huì)駕輕就熟，從而達(dá)到事半功倍的效果。（3）鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想。猜想是一種直覺(jué)思維，它往往是解決問(wèn)題的先導(dǎo)，蘊(yùn)含極大的創(chuàng)造性。例如：在高等數(shù)學(xué)中，Green公式揭示了平面的曲線積分和二重積分之間的關(guān)系，在此重要結(jié)論基礎(chǔ)上，我們自然可以大膽猜想：能否建立空間的曲線積分和曲面積分之間的聯(lián)系呢？Gauss公式和Stokes公式正是在此猜想基礎(chǔ)上經(jīng)過(guò)大量工作而產(chǎn)生。由此可見(jiàn)，鼓勵(lì)學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中勤于思考、大膽猜想，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維具有十分重要的意義。（4）充分訓(xùn)練發(fā)散思維。在創(chuàng)造性思維的組成成分中，發(fā)散性思維占據(jù)主導(dǎo)，這就要求我們?cè)趩?wèn)題解決過(guò)程中不墨守成規(guī)，多方向思考，從多方面尋求各種可能的問(wèn)題解決辦法。教師在教學(xué)過(guò)程中對(duì)同一問(wèn)題可用不同方法講解，在講解習(xí)題時(shí)可嘗試一題多解，例如在求解未定式極限時(shí)，可考慮運(yùn)用分解因式約分法、無(wú)窮小量替換法、極限公式法、洛必達(dá)法則等各種不同方法。（5）充分利用逆向思維。逆向思維是指從固有思維的反面去思考問(wèn)題，這樣可以使學(xué)生克服在思維過(guò)程中養(yǎng)成的正向思維的慣性，有助于大學(xué)生創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)與發(fā)展。在高等數(shù)學(xué)相關(guān)內(nèi)容教學(xué)過(guò)程中應(yīng)注意以下幾個(gè)方面：一是注意定義與公式的正面與反面闡述；二是習(xí)慣引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行反方向思考；三是注意解題的可逆性原則。

數(shù)學(xué)思維能力培養(yǎng)是一項(xiàng)系統(tǒng)工程，需要包括數(shù)學(xué)教師在內(nèi)的教育工作者共同努力。思維是一個(gè)廣義抽象的事物，看不見(jiàn)、摸不著，但有思想的人能感受它的存在，數(shù)學(xué)思維能力的形成與發(fā)展因人而異，如何結(jié)合學(xué)生心理因素來(lái)進(jìn)行研究，是值得進(jìn)一步探討的問(wèn)題。

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