淺談如何提高學生的解題能力

李波

摘 要：提高學生的解題能力是每位一線教師的目標，在當前的高中數學教學中，不少教師采取“題海戰術”，通過大量練習讓學生多見題，多掌握一些解題技巧，來提高學生的解題能力，忽視了數學理性思維的深化與拓展，加重了學生的負擔，與新課程理念背道而馳，本文從鞏固知識基礎、提升運算能力、培養數學思想、指導解題策略四個方面來談如何提高學生的解題能力。

關鍵詞： 解題能力;運算能力;知識;數學思想;解題策略

美國數學家哈爾莫斯（P.P.Halmos）說：“數學的真正組成部分應該是問題和解，解題才是數學的心臟?！泵兰傺览麛祵W家、數學教育家波利亞稱：“掌握數學就意味著善于解題?！笨梢?，在數學家、數學教育家眼里，解題教學具有舉足輕重的地位。每年當我們把學生送進高考考場后，我們每位一線教師，最擔心的是今年的高考創新題多不多，思維強度大不大，學生解題順不順，其中“學生解題順不順”關系到學生分數的高低，也反映了我們自身的教學效果，面對這一擔憂，我一直都在思考，高中三年不同的時期，如何采用不同的教學方式分階段地提高學生的解題能力，使學生對各種問題能迎刃而解呢？

提高學生的解題能力是每位一線教師的目標，在當前的高中數學教學中，不少教師采取“題海戰術”，通過大量練習讓學生多見題，多掌握一些解題技巧，來提高學生的解題能力，忽視了數學理性思維的深化和拓展，這樣既加重了學生的學業負擔，影響了學生的身心健康，而且事倍功半。學習數學的過程與做題確實有緊密的關系，而數學能力的提高在于解題的方法、策略而非解題的數量，因而要善于幫助學生在解題過程中不斷總結經驗、積累解題的思維方法，培養學生分析和解決問題的能力。那么，如何提高學生的解題能力，下面結合我的教學實踐，淺顯的談幾點看法：

一、 ?打牢知識基礎

平時課后與學生談心，了解到學生普遍課堂上能聽懂，課后卻不會解題，這給我們一個重要的警示：學生聽懂數學知識不等于會運用數學知識，學生掌握的數學知識還不牢固。知識是解題的基礎，那么數學知識又是如何分類的呢？根據現代認知心理學理論，數學上的知識分為陳述性知識、程序性知識和策略性知識。陳述性知識是描述事物“是什么”的知識，如數學中的定義、原理等;程序性知識是指“怎樣做”的知識，如數學解題思想與方法;策略性知識是關于如何學習和思維的知識，如對審題過程、解題推理過程、運算過程等一系列數學活動進行的自我調控與反思。對于這三種知識，我們在課堂教學中不能忽視任何一種，如果學生對于靜態的陳述性知識理解不透徹，對動態的程序性知識練習不到位，對策略性知識不加以總結提升，就會導致數學知識掌握的不全面，基礎不扎實，進而出現許多學生“課堂上能聽懂，課后卻不會解題”的現狀。

案例1 已知a，b，c，d都是實數，求證 + ≥

思路分析 大多數學生看到這個不等式證明題，馬上想到采用綜合法、分析法等，而此題利用這些方法證明很復雜，有很多學生做不下去了，便放棄了。其實，從題目的外表形式觀察到，要證的結論的右端與平面上兩點間的距離公式很相似，而左端可看作是點到原點的距離公式。根據其特點，可采用下面巧妙而簡捷的證法：

證明：假設A（a，b），B（c，d），

則|AB|=

|OA|= |OB|=

在△OAB中，由三角形三邊之間的關系知：

|OA|+|OB|≥|AB|當且僅當O點在線段AB上時，等號成立。

因此， + ≥

學生通過觀察沒有發現上面這種方法的原因，是對平面上兩點之間的距離公式還不是很熟，即對陳述性知識的理解不透徹，當學生采用分析法、綜合法證明說明學生掌握了部分程序性知識，但覺得這種證明方法很繁時，沒有對自己的審題與解題過程進行反思和調整，即還不具備策略性知識。這啟示我們在教學中要引導學生對陳述性知識進行精細加工，對程序性知識進行適當的變式訓練，特別我們教師要對策略性知識的傳授進行精心的分析與設計。如果對每一種知識，學生都能熟練掌握，就會為解題能力的提高打下扎實的知識基礎。

二、 提升運算能力

高考數學考試大綱中認為運算能力是指會根據法則、公式進行正確運算、變形和數據處理;能根據問題的條件和目標，尋找與設計合理、簡捷的運算途徑;能根據要求對數據進行估計和近似計算。運算能力是數學的基本能力，解數學問題幾乎離不開運算，通過強化運算能力，可以加深對數的概念的理解，可以培養數理邏輯能力、科學嚴謹的做事作風、細致耐心的性格。高考對運算能力要求“準確、熟練、合理”，可每次考試下來，經常聽到學生自責“太馬虎，太粗心了”，有很多學生因運算的失誤丟二三十分之多，這些狀況顯然都是學生的運算能力差引起的，而運算能力往往容易被學生所忽視，因為他們大都認為只要掌握題目的解題思路與方法就可以了，等到考試的時候再進行運算，由于平時缺乏必要的訓練，待到考試時，一算就錯，更談不上有靈活的運算技能了。

案例2 （2012廣東理）在平面直角坐標系xoy中，已知橢圓C： + =1（a>b>0）的離心率e= ，且橢圓C上的點到Q（0，2）的距離的最大值為3.

（1）求橢圓C的方程;

（2）在橢圓C上，是否存在點M（m，n）使得直線l：mx+ny=1與圓O：x2+y2=1相交于不同的兩點A，B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點M的坐標及相對應的△OAB的面積;若不存在，請說明理由。

分析： 本題屬于探索性問題，主要考查了橢圓的準確方程的確定，直線與橢圓的位置關系，橢圓的參數方程以及距離公式等，考生感覺容易動筆，但在運算過程中，沒有扎實的運算功底，第2問是很容易出錯的，它涉及到運算技巧，將點到直線的距離表示出來后，面對一個很復雜的式子，能否想到利用換元法簡化式子結構以及利用基本不等式處理最值，都需要學生靈活的運算思維。這就要求老師平時的教學中引導學生，靈活運用法則、公式，合理選擇簡捷的運算途徑，在適度合理的訓練中，逐漸提高運算能力。

三、培養數學思想

學習數學，除了要牢固的掌握數學基本概念、定理、公式、法則等以外，還要具有綜合運用數學的能力，重視數學思想的培養和運用，突出數學思想，是提高解題能力的一個很重要措施，是數學的精髓。數學思想的考查往往與數學知識考查結合進行，而數學思想又往往隱藏在數學知識的背后，教師在進行數學思想教學時必須以數學知識為載體，把隱藏在知識背后的數學思想方法顯示出來，達到通過知識教學來掌握數學思想的目的，而不是脫離內容形式地進行傳授，如果教師經常結合具體問題不失時機地運用、滲透數學思想，對其進行多次再現、不斷深化，就會逐步內化為學生能力的組成部分，實現“知識型”向“能力型”的轉化。

案例3 若不等式 ≥x（a>0）的解集為則a的值為（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

解析：畫出y= y=x的圖象，依題意，m=-a，n=a從而 =a？圯a=0或2。故選B。

點評：本題很好地體現了數形結合的優越性，如果單純地從數的觀點來解題的話，得出m=-a與n=a也是有一定的難度的，但從形的角度出發，可以很直觀地看出，化繁為簡，大大提高做題的速度，節約時間，這也就說明了解題時，一定要重視數學思想的應用。

四、 ?指導解題策略

經常有學生說“數學題目我真的做了不少，但一碰到新題，卻又做不出來，心里好苦惱。”這就要求平時我們應向學生傳授一些解題策略，讓學生即使遇到新題也能夠應用已學過的解題策略加以解決。這里所指的解題策略，指的是在解題思維中，從宏觀的角度來考慮解題途徑的思想和方法。解題策略是一種較高層次的解題方法，它主要涉及的是解題的方向、原則、目標等方面，是對解題途徑的全方位的認識，有較強的指導性。許多學者對不同層次的學生的解題策略做過對比研究，研究表明：不同層次的學生在解題能力上的差異，最主要的并不是固有知識（即陳述性知識）的差異，而是解題的思維策略的差異。層次較高的學生大多能自主地生成策略，層次較弱的學生一般都缺乏策略，且很難形成策略。教學中若能教會學生了解與應用解題策略，會幫助學生高效地解決問題，不斷提高思維靈活性和創造力。

一直以來的教學，我們更多的是不斷重復講題練題，很少關注解題策略的教學，基本上都是依靠學生自己在解題實踐中一步一步慢慢生成的，學生解題策略的獲得常常是零散的，拼湊的，或“碰了許多釘子”才有所領悟的。幫助學生概括出解題策略比他們自然生成的策略要快要完整得多，特別在數學習題的教學中，應當將解決數學問題的思維策略提煉出來，具體地，明確地、有意識地教給學生，并適時幫助學生對解題思維過程進行整理歸納，讓學生在解題實踐中真正掌握解決問題的各種策略。數學解題策略包括：模型策略、化歸轉化策略、歸納策略、演繹策略、類比策略、差異分析策略、正難則反策略等。下面以歸納策略為例進行簡單分析：

案例4. ?設a，b，c均為整數，求證：an+bn+cn≥apbdecy+aybpcq+aqbrcp，其中n∈N，p，q，r為非負整數，p+q+r=n。

分析：此題證明思路并不明顯，比較難以下手，退一步，先考慮p=2，q=1，r=0，n=3的特殊情況，這時所證不等式為a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2a.

由于 ≥ =a2b同理 ≥b2c， ≥c2a

三式相加可得到a3+b3+c3≥a2b+b2c+

c2a

仿效上面特例，得到如下思路：

?≥apbqcy

?≥aybpcq

?≥aqbrcp

三式相加得an+bn+cn≥apbqcy+aybpcq+

aqbrcp.

由此可見，當看到題目時應認真觀察，展開聯想，通過嘗試，確定運用歸納策略進行解題，一旦解題的方向確定后，只需細心求證，就歸納出結論。

有關解題策略的教學，一定要符合學生的實際，針對不同學習水平的學生應采取不同的訓練方式，要注重基礎，加強運算，循序漸進，強調積累;教學中要特別針對各種解題策略選擇較多的恰當事例講解，要給學生足夠的消化理解的時間，進而使不同學習水平的學生都能對所學的解題策略形成概括化的認識，應用到具體解題中去。

總之，以加強基礎知識和運算能力為依托，輔以數學思想與解題策略，前者為表，后者為里，里外兼備，就一定能促進學生解題能力的提高。

（作者單位：湖南省岳陽市第一中學）