數學例題教學研究

何金明 楊柳

摘 要 當前，實際教學與理論研究中，對中學數學例題教學功能沒有全面的認識，數學例題教學方法與教學要求認識存在偏差。數學例題教學的最終目的是讓學生學會思考，因此，在數學例題教學中，要加強學生“心理品質”、“思維品質”的培養。

關鍵詞 例題 心理品質 思維品質 “引導性”問題

數學例題是數學學習的重要內容，數學知識的掌握、數學能力的提高、數學思想方法的養成、學生綜合素質的培養都需要數學例題的教學去實現，“通過例題教學，要達到掌握雙基、傳授方法、揭示規律、啟發思想、培養能力的目的”。[1]因此，數學例題教學是決定數學教學效果的關鍵之一。

一、數學例題教學存在的問題

1.對數學例題教學功能沒有全面的認識

《談新課標下高一數學差生的原因及培養策略》一文，作者對某地高一年級學生做了調查，分析發現：“70%的學生數學成績差，不理想，學習困難吃力；20%學生成績屬于中等水平；10%的學生數學成績較好?！盵2]我們不妨把這70%的數學成績差的學生稱為“學差生”，“學差生”的比例很高，這不禁讓人深思，新課標下的數學教育存在哪些問題？數學“學差生”的產生，有智力的與非智力的因素。通過對有關研究數學“學差生”文獻資料的分析，我們可以發現，為解決學生數學學習困難，老師們想了很多方法和措施，這些方法和措施的實施，共同的作用就是加大了學生的學習強度。比如有研究者認為：“數學課教師要在新課程理念指導下科學設置例題，精講多練，逐步培養學生的知識遷移能力”。[3]而從改進例題教學的角度去解決數學“學差生”問題的研究不多。

實際上，數學例題教學的過程，既是“掌握雙基、傳授方法、揭示規律、啟發思想、培養能力”的過程，又是學生“思維品質、心理品質”的培養過程。解決數學問題的過程中，不僅需要良好的“思維能力”，也需要“不怕困難、勇于探索”的精神，需要“沉著冷靜、細致周密”的處事風格等“心理品質”。也就是說，例題教學除了具有“掌握雙基、傳授方法、揭示規律、啟發思想、培養能力”的功能之外，還應該具有培養學生“心理品質”的功能。這可以說是過去我們對數學教育研究的一個空白，需要教師去探索、去發掘。

2.數學例題教學方法認識偏差

在實際教學工作中，對于數學例題的教學，很多教師教學目的單純，就是以解決例題所涉及的問題為目的。因而也就不會花時間和精力去分析例題、研究例題對于學生的其他教育功能?！安簧俳處熣毡拘?，其枯燥乏味讓學生大倒胃口，失去學習的興趣和熱情?！盵4]我們常?？吹?，在例題教學中，有很多老師要求學生記住一類問題的解法，數學題目解法類型化。大多數學生則只是模仿老師的解題思路與方法，例題教學對于他們來說就是一種“模仿”學習，提高學習效果、實現學習目的的方法就是做大量的練習，學習方法簡單地成為了“題海戰術”，因而造成“一聽就懂，一做就錯”[5]的學習怪圈。學生的學習，都要依賴于多講、多練、多輔導，節假日、雙休日要補課就不足為奇了。

波利亞認為，中學數學教育的根本目的是讓學生學會思考，數學例題教學也是這樣。實際上，問題是千變萬化的，只有培養學生有良好的心理品質，有較強的思維能力，才能使學生具備靈活解決問題的能力?！叭说恼_思想是從哪里來的？是從天上掉下來的嗎？不是。是自己頭腦里固有的嗎？不是。人的正確思想，只能從社會實踐中來，只能從生產斗爭、階級斗爭和科學實驗這三項實踐中來”。任何數學例題的解決都有其知識經驗的、思想方法的根源。因此，在數學例題教學方法上，不是老師教學生解題，應該是老師組織、指導學生分析問題，師生一道探究問題的解決策略，尋找例題的解決方法。

3.數學例題教學要求認識偏差

“懂了嗎？”我們常常聽到老師上課時會向學生發出這樣的提問，尤其低年級更是如此。對于數學例題的教學，很多老師和學生也是把“聽懂了”作為例題教學任務是否完成、教學目的是否實現的標志。“對例題學習的重要性，學生必須明確一點，學習數學沒有‘差不多’已經懂了的概念，而只有懂與不懂兩個層次。”[5]尤其是“學差生”，他們往往把“聽懂了”作為學習數學的最高境界，“聽懂了”他就滿足了。什么叫“聽懂了？”“懂”即“了解”、“明白”之意。對于數學學習來說，“懂了”不是數學例題教學的終極目的，“懂了”不應該是我們最終要達到的數學例題教學效果。從思維水平上分析，“了解”、“明白”只是學生對教師例題解法的認同與接受。而不是在教學互動中掌握了解題的思想方法，形成了自己的分析問題的思維結構。對于例題教學的目的要求，應該達到的教學效果，目前沒有確定的標準，但數學家波利亞的“怎樣解題”表為我們指明了方向。根據波利亞的“怎樣解題”表，學生的數學例題學習就不止于“懂與不懂”兩個層次了。

二、數學例題教學中心理品質的養成

許多學生數學學習失敗的主要原因在于其心理品質，許多學生數學學習良好也可歸功于其良好的心理品質。學生的心理品質對能否有效解題影響很大。“數學差生的行為受到來自自我（self）的影響。他們對自我的認識是消極的、偏執的、頑固的，對未來的自我是不懷希望的”[6]。

以“意志”為例，很多數學“學差生”不是因為智力低下，而是意志品質薄弱，自制力差，缺乏毅力和恒心，缺乏戰勝困難的勇氣和鍥而不舍的精神，不能長期堅持勤奮刻苦的學習狀態，一遇到困難就裹足不前、垂頭喪氣，甚至自暴自棄。由于各種因素，我國當代青少年特別是獨生子女，意志品質薄弱者占有很大的比例。愛因斯坦告誡人們：“優秀的性格和鋼鐵般的意志，比智慧和博學更為重要”?！皩τ谇嗌倌攴e極心理品質發展而言，……如果我們能在學校心理健康課堂或學科教育課堂以及其他活動中對于適合其年齡階段的積極心理品質進行全方位培養，學生積極心理品質的發展就能獲得最有效的促進?！盵7]

對于不同的學生，他的心理品質在他的解題過程中都能體現出來。有的沉著冷靜、有的浮燥冒進、有的粗心大意、有的細致周密、有的自信勇敢、有的消沉懦弱等。因此，在例題教學中，教師可以通過學生的解題嘗試，發現其心理品質方面存在的問題，要向學生指正，說明這些心理品質欠缺對其學習、成長的危害，并給予正確的導向。從而幫助學生改善其不良心理品質，發展、培養良好的心理品質。應該讓學生認識到，數學學習不僅是獲得數學知識、發展數學能力的過程，而且是檢驗人的心理品質，促進心理發展的過程，作為學生，要在數學學習中，有意識、有目的地健全自己的心理品質。

三、數學例題教學中思維品質的養成

關于數學思維的積極性活動，人們共同的看法是它決定于思維品質。“數學思維品質”[9]實質就是人的數學思維的個性特征，它體現了每個個體思維水平、智力與能力的差異，是衡量數學思維優劣、判斷數學能力高低的主要指標。它包括思維的目的性、思維的深刻性、思維的靈活性、思維的批判性、思維的獨創性、思維的條理性、思維的嚴謹性和思維的廣闊性等。學生思維能力的高低主要就體現在思維品質的差異上。

多年來，國內外許多先進的教學方法與經驗表明，培養學生的數學思維品質是發展其數學能力的突破點和有效的途徑。所以，在數學能力的培養上，往往要抓住數學思維品質這個突破口，而數學例題教學則是學生數學思維品質養成的主要平臺。在例題教學時，重視對分析問題、解決問題過程中的思維品質的培養，讓學生在體驗思維品質的過程中養成良好的思維品質，既是當前數學教學的短板，更是提高數學教學效果的突破口。

四、數學例題教學分析舉例

一般情況下，這個例題的教學就結束了。但如果是這樣，作業布置下去，就會發現，會有絕大多數學生采用第一種解法。而這個例題是在學習“三角函數的基本關系”時為鞏固新知識、運用新知識的一道例題。學生為什么會選擇解法一，原因很簡單，就是解法一相對容易，解法二相對較難。因此，教師接下來還應該與學生一起比較兩種解法，既肯定他們沒有忘記舊知識，得出解法一，又強調學習上為獲得新知識、培養新能力，要不怕困難，要有迎難而上的進取精神。一開始老師的三個提問，用到的都是第一人稱“我們”，老師把自己與學生擺在同樣的角色位置，學生和老師都是探索的主體，這樣有助于學生主動性的發揮。三個問題都是引導性問題，引導學生思考的方向、目標，引導學生怎樣思考與分析研究，問題（1）是常見的，多數學生也能這樣思考；問題（2）的提出，啟發了學生的思維，使其思維指向廣闊的知識經驗；問題（3）則使學生思維有明確的目的。三個問題聯結起來，形成解決問題的系統思路，對于培養學生思維的條理性和系統性，是必不可少的。

例2 求函數y=的最大值和最小值。

如果沒有相關的經驗，或沒有得到思維品質的培養，學生一開始看到此題，真的一頭霧水，不知所措。因此，教師應該指導學生觀察分析：首先這是求函數最值的問題，不同類型函數的最值問題有不同的解決方法，師生共同回顧有關函數的最值問題，這就使得學生的思維得到廣闊的展開。其次，可以從本題函數的內容、結構、變形上設計“引導性”問題，引導學生進行分析：從內容上，有正弦、余弦，要討論函數的性質，應該考慮弦化切；從函數式的結構形式上，可以類比兩點連線的斜率公式；從函數變形上，可以考慮對函數式作適當變形，從而轉化成asinx+bcosx的形式，這就是大家熟悉的了。老師在教學過程中，設計的“引導性”問題，要點到為止，啟而不發，引導學生從不同角度去觀察、分析問題，培養學生思維的靈活性等思維品質。

參考文獻

[1] 涂榮豹，王光明，寧連華.新編數學教學論[M].上海：華東師范大學出版社，2006.

[2] 王付光.談新課標下高一數學差生的原因及培養策略[J].才智，2011（1）.

[3] 周博.簡析創設數學典型例題的策略和意義[J].中小學教學研究，2011（9）.

[4] 盧忠揚.對高中數學例題教學的思考[J].語數外學習：高中數學教學，2014（9）.

[5] 屠豐慶.例題教學有效性的現狀，分析和思考[J].復印報刊資料：中學數學教與學，2009（11）.

[6] 彭熹.基于社會心理學的數學差生問題研究[D].長沙：湖南師范大學，2007.

[7] 余曉靈，孫燕，王新波.中學生積極心理品質培養內容的序列化研究——以北京市第十九中學學生問卷調查為例[J].中國特殊教育，2009（12）.

[8] 林崇德，辛濤.智力的培養[M].杭州：浙江人民出版社，1996.

【責任編輯 郭振玲】