某高校校內長椅分布優化模型*

王仁舉　巴焱焱　安璐珂　徐濤　趙晨旭（新鄉學院數學與信息科學學院，河南新鄉453003）

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某高校校內長椅分布優化模型*

王仁舉巴焱焱安璐珂徐濤趙晨旭
（新鄉學院數學與信息科學學院，河南新鄉453003）

摘要：以某高校校內長椅分布優化為研究對象，采用調查問卷的形式獲取數據，建立長椅分布的滿意度，采用層次分析法，利用Matlab編程計算各區域長椅需求量權重，引入長椅覆蓋率α、重疊率β、合理度ξ及使用率ρ等為約束條件，將長椅分布現狀圖和優化后分布圖進行對比，給出了較為合理的優化設置建議。

關鍵詞：層次分析法；優化模型；Matlab；覆蓋率；合理度

Abstract:In order to optimize the distribution of benches in the campus of university and by using the method of questionnaire, this paper establishes the satisfaction degree of bench distribution, adopts the analytic hierarchy process, calculates the weight of the bench demand with Matlab programming and introduces constraint condition such as bench coverage rate α, bench overlapping rate β, rationality ξ and usage rate ρ. Based on the comparison between the existing distribution diagram and the optimized distribution diagram, this paper also provides rational suggestions for bench distribution optimization in colleges and universities.

Keywords:analytic hierarchy process; optimization model; Matlab; coverage rate; reason able degree

前言

為了方便師生休息，高校經常在校內場所，譬如：學生宿舍、操場、籃球場、文化廣場以及綠化景觀帶等處設置休閑長椅。然而這些長椅的設置的位置以及數量不盡合理。鑒于此，我們著眼建立模型對校園內長椅位置分布及數量分步進行合理優化，為后勤管理部門更好設置長椅提供參考建議。

一、假設和符號說明

模型假設：

（1）長椅的選址只受人流量、場所空間、場所環境這三個因素影響。（2）用于描述數量和空間分布的合理度ξ超過60%即為合理。

符號說明（見表1）：

表1　符號說明表

二、模型的建立與求解

（一）層次結構模型的建立[3]

Step1：建立層次結構模型

一般分為三層，從上往下數：

第一層為目標層：一般只有一個元素，同時也是分析整個問題的預設目標；第二層為準則層：是為了達到預設目標所涉及的中間所有環節，由多個因素構成，包含所有需要考慮的準則或子準則；第三層方案層：是為了達到預設目標的一些可供選取的每種措施及決策方案。

綜合分析學生對校園長椅分布滿意度調查表，我們建立層次結構模型，結構圖如圖1。

圖1　層次結構圖

Step2：構造成對比矩陣

應用1～9標度法（表2）構造成對比較矩陣，結合分層結構模型的建立，準則層有人流量，場所空間，場所環境三個指標，利用標度法對其兩兩指標之間進行比較可以確定該層各指標相對于目標層所占的比重（即把三個指標對目標層的影響程度排序）。將準則層的三個指標對目標層長椅的選址影響兩兩比較的結果做成表格，如表3。

2，4，6，8表示第i個因素相對第j個因素的影響介于上述兩個相鄰等級之間。

表2　比較標度表

表3　三個指標對長椅選址的影響兩兩比較結果

由表3可以得到成對比較矩陣為：

方案層為操場、景觀帶、教學區、籃球場4個區域場所，相對于上層即準則層每一個指標（人流量，場所空間，場所環境），4個區域兩兩進行比較后，得到3個成對比較矩陣，為Bi（i=1，2，3）。B1對應的準則層指標為人流量；B2對應場所空間；B3對應場所環境。其兩兩比較結果可以得到其成對比較矩陣分別為：

Step3：層次單排序及一致性檢驗

層次單排序：確定下層各因素對于上層某因素影響程度的過程，用權值表示影響程度。

隨機一致性指標：定義RI為成對比較矩陣的一致性指標之和與成對比較矩陣的個數之比。對n=1，2，3…，9，給出了RI的值。

表4　隨機一致性指標RI的數值

Step4：層次總排序及一致性檢驗

由一致性檢驗結果可以認為分配指標體系的各屬性指標在總從要求原則的前提下給出的權重的方法可行[1]。

對CR＜0.1進行檢驗。若通過檢驗，則可以按照能夠排序權向量表示的結果進行決策，否則需要重新考慮模型或者重新構造一致性比較率CR較大的成對比較矩陣。最后按照總排序權向量表示的結果進行排序。

（二）模型的求解

利用Matlab軟件對成比較矩陣A求得：λmax=3.0138，ωA= （0.1226，0.5571，0.3202），CI=0.0092，CR=0.0158，通過一致性檢驗；

對成對比較矩陣B1求解得：λmax=4.0206，wB1=(0.2391，0.08 90，0.2391，0.4328)，CI=0.0069，CR=0.076，通過一致性檢驗；

對成對比較矩陣B2求解得：λmax=4.0458，wB2=(0.1202，0.45 66，0.2020，0.2212)，CI=0.0153，CR=0.0170，通過一致性檢驗；

表5　第一個模型計算出各個場所的權重

對層次總排序做一致性檢驗，如果C層次若干因素對于上一層次某一因素Bj的單排序一致性檢驗指標為CIj，相應的平均隨機一致性指標為RIj，則C層總排序隨機一致性比率為：

可以得到CR=0.04169＜0.1，通過一致性檢驗[2]。

因此方案2號區域在長椅選址中占的權重最大，方案3號次之，方案4號再次之，方案1號所占權重最小。所以在長椅的設置分布過程中，應根據各方案區域所占的權重大小對長椅的數量合理布置及分配。

（三）長椅擺放評價模型的建立

為了描述長椅的覆蓋率，我們引入了服務半徑的概念。長椅的服務半徑以長椅為圓心，半徑為讓r的圓內的人們休息的地方。在該模型內，可以將長椅的服務半徑視為以長椅為中點，長度為2r的線段，如圖2所示，線段AB即為長椅的范圍。

R大，則代表長椅服務范圍越大，人們需要走更遠的路才能休息，對人們越不方便。為了在一定程度上方便人們，經調查得到，大多數人認為長椅的服務半徑r0為20米時，對人們是較為方便的，否則會給人們帶來不便。

為了描述長椅的服務范圍的覆蓋程度，我們引入覆蓋率：

易知：0≤α≤1，且當α=1時，覆蓋率達到100%，此時覆蓋效果最好。但是由于相鄰的長椅服務范圍可能發生重疊，致使長椅的利用率不高，為了描述它，我們引入重疊率：

易知：0≤β≤1，且當β=0時，所有長椅的服務范圍均不發生重疊，此時長椅的利用率達到最大。

1.問題二模型的求解與評價[4]

對校園內運動場所（籃球場，網球場，操場）的長椅配置的評價僅對長椅的擺放距離和數量是否合理進行評價不考慮人流量和活動場地的影響。校園中運動場所的長椅分布如圖3。

圖3　運動場所的長椅分布圖

由圖中整體標記的點可以看出，僅計算校園部分活動場所長椅間的平均距離為，長椅間距的標準方差σ=17.13。對部分來講還可以，但若整體計算長椅間的距離對研究無意義（誤差太大）。故運動場所的長椅分布不太合理，需要重新調整。

針對校園內綠色景觀帶附近以及教學區，僅有極少的長椅放置（校園湖內側邊），長椅擺放距離過近、長椅數量少，以至于長椅不能充分利用，所以長椅的分布嚴重不平衡，需要添加長椅并重新擺放。

（1）對校園內長椅整體評價

總體上考慮長椅的分布，以及長椅的服務覆蓋率和服務重疊率為指標進行評價。長椅的服務覆蓋率α越大且重疊率β最小，則長椅最合理。由圖3中給出的長椅的位置以及服務半徑經計算得出：長椅服務覆蓋率：α=9.5%；長椅服務重疊率：β=1.2%。

由上述數據可以得出：對整個校園來講，長椅的覆蓋率非常小，可知長椅配置非常少。所以適當的增加長椅，當運動場所長椅的服務半徑為15米，長椅的覆蓋率不高且存在重疊率，為了讓長椅得到充分利用，并滿足人們的需要，因此我們需要對長椅數量及其擺放重新進行分配。

（2）結合人流量對長椅配置進行評價

根據問題要求需要定義一個在一定區域內與長椅使用率與長椅距離有關的指標。

在不考慮天氣好壞因素，不考慮放假的因素，根據調查研究所得數據，假設每個長椅使用率相同，由第一模型計算出各個場所權重。取λ=0.2時，計算可得現在長椅擺放的滿意度為：ξ=0.58，得出長椅擺放不合理，有待進一步優化。

2.長椅配置優化模型

一般情況下，長椅的使用長度不可能全部被利用，長椅的使用率ρ，經調查研究確定ρ=0.8。

根據表5中權重，綜合考慮校園的人流量、校園內各個場所的權重、長椅的服務范圍，可得：

計算結果見表6。

表6　各城所設置長椅數量表

對整個校園的長椅進行優化配置，校園內長椅擺放要在不影響交通的情況下盡可能均勻擺放。

圖4　優化后的校園的長椅分布示意圖

提示：在圖中標記的點中，較大的點可以考慮建成亭子。

（四）模型的檢驗

由優化后的長椅分布圖可以看出：長椅大部分分布在場所和綠色景觀帶的周邊，同時也是人流量較大的地方。用問題分析模型對優化后的長椅分布進行檢驗。校園長椅間的平均距離為di= 40，方差σ1=8.6，固校園內長椅的擺置相對是合理的，由于考慮校園內建筑物，交通等因素，致使擺放距離以及疏密程度會受到相應的影響。

綜合考慮人流量、場所空間、場所流量等因素，經計算可得長椅的配置的合理度為：ξ=0.74；長椅服務覆蓋率：α=36.1%；長椅服務重疊率：β=1.0%。

綜合考慮上述指標，雖然倡議覆蓋率未達到最大值，但是可以看出優化后長椅擺放相對原來更為合理。

三、模型的推廣與改進方向

本文提出了覆蓋率、重疊率的概念，使得到的結果更加數字直觀。所建立的模型除了可以應用于長椅分布優化，也可以應用于比如垃圾桶分布、攝像頭分布等公共設施的合理分布規劃問題；一定程度上和校園類似環境譬如公園、購物超市、游樂場等公共活動場地的設施合理優化問題。

參考文獻

[1]姜啟源.數學模型（第三版）[M].北京：高等教育出版社，1999.

[2]韓中庚.數學建模方法及其應用（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2009.

[3]豆丁網.層次分析，http：//www.docin.com/p-668446979.html，2014-7-8.

[4]豆丁網.校園內服務設施選址問題的研究與評價建模，http：/ www.docin.com/p-819944826.html?-qq-pf-to=pcqq.discussion，2014-7-8.

作者簡介：王仁舉（1978-），男，河南南陽人，講師，碩士，主要研究方向為統計、調和分析、偏微分方程、隨機微分方程等。

*基金項目:河南省科技廳科技攻關項目(132102310326），新鄉學院大學生科技創新基金(ZR201403）。

中圖分類號：G647

文獻標志碼：A

文章編號：2096-000X（2016）06-0031-03