協同學，陰陽互變的Lorenz模型和太極數學

張一方

(云南大學物理系，云南昆明　650091)

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協同學，陰陽互變的Lorenz模型和太極數學

張一方

(云南大學物理系，云南昆明650091)

[摘要]首先討論協同學的中華傳統文化基礎.其次研究由協同學定量導出陰陽互變的Lorenz模型.由此說明生命、宇宙都在于混沌中的協同.第三提出太極數學和循環.第四探討易和協同學的推廣研究.最后總結并指出易和協同學的一致性.

[關鍵詞]協同學；Lorenz模型；中華傳統文化；和諧；易；太極圖

0引言

哈肯提出的協同學是一個應用非常廣泛的橫向科學[1,2].筆者討論了協同學及其基本方程和應用，由此說明生命在于混沌中的協同[3].中華傳統文化自古就有協同及與之相關的思想傳統.《尚書.湯誓》中的“有眾率怠弗協”，《孟子》中的“天時不如地利，地利不如人和”，都是強調協力同心的重要性.揚雄的《太玄·玄數》中的“聲律相協而八音生”，指出美妙的音樂來源于聲音的協調.《后漢書·呂布傳》中的“將軍宜與協同策謀，共存大計”，更是直接指明用兵決策應當協同商議.

要協力同心就必須具備某些條件，于是由此衍變出一系列的思想：寬容、忍讓、和諧、中庸等.周成王告誡君陳說：“必有忍，其乃有濟；有容，德乃大.”意思是必須有忍讓性，事情才能辦成；有度量，道德才能高尚.《左傳·昭公元年》中的“魯以相忍為國也”，意思是魯國以相互忍讓來治理國家.孔子說：“百行之本，忍之為上.”孔子在《中庸》中又說：“和也者，天下之大道也.”并指出：“喜怒哀樂之未發，謂之中；發而皆中節，謂之和.中也者，天下之大本也；和也者，天下之達道也.致中和，天地位焉，萬物育焉.”意思是做各種事情，最基本的態度是忍讓.只有達到“中和”，天地萬物才能自然發展.

作為六經之首的易經，其核心包含三重意義：變易，“易者，易也，變易也”(《周易乾鑿度》)；不易，恒久不變的道(自然規律)；簡易.在易經中，天地山澤等最基本的八卦，都是一些自然現象.“有天地，然后萬物生焉.”它們相互作用，循環變化就形成五彩繽紛的大千世界.

老莊哲學以道為中心，深刻論述了人類應該順應自然的超前思想.道是“萬物之奧”，“萬物之母”，“萬物莫不遵道”.它是不變的自然規律.人作為自然的一部分，是天地人三才之一，順之則泰、吉，逆之則否、兇.易經是世界上第一部論述人天觀的書.它及其中的卦闡述的就是人與自然的關系.如果“賁”文過飾分，征服自然，而任意“剝”奪，則將自作自受，自取“復”亡.只有“無妄”、“謙”，才能“大畜”，興旺發達.“同人”(上下協同)，則“大有”(長久存在).“易與天地準，故能彌綸天地之道.仰以觀于天文，俯以察于地理，是故知幽明之故，……與天地相似，故不違(自然規律).知周乎萬物而道濟天下，故不過(過分索取)……樂天知命，故不憂.安土敦乎仁，故能愛.”(《易·系辭上》)不憂、能愛應是我們對待自然的態度.總之，不易的道是自然法則，是宇宙萬物形成的原因，也是它們變化、變易的規律.人類必須遵循自然法則，這是最基本、最簡易的道理.易學的根本是生生不息，持續發展.

在以老莊哲學為代表的中國傳統理想中，最完美的未來模式是人與自然的完全和諧.老子說：“上善若水，水善利萬物而不爭.”莊子說：“道者，萬物之所由也.庶物失之者死，得之者生；為事逆之者敗，順之者成.”(《漁父》) “天地有大美而不言，四時有明法而不議，萬物有成理而不說.圣人者，原天地之美，而達萬物之理.是故至人無為，大圣不作，觀于天地之謂也.”(《知北游》)因此，“知天之所為，知人之所為者，至矣！”(《大宗師》)即知彼知己，順乎自然，才是最高明、最具有深遠意義的大德.“知人者智，自知者明.”(《老子三十三章》)，人與自然和平相處，才是最明智的人.老莊哲學的無為而治，道法自然，順應天理，符合人心，實在是一種十分高明的協同哲學.這與近年熱烈討論的“社會與自然協調發展”模式是完全一致的.

西漢董仲舒指出“道必歸于和”的思想.他認為：和是天地之道的根本.“夫德莫大于和，而道莫正于中.中者，天地之美達理也.”“舉天地之道而美于和.”陰陽調和的中和狀態是社會長治久安、謹守王道、慎行德政的理論基礎，是人類修養的最大的德.協調、和諧是中華傳統文化的精髓.老莊、佛教、儒墨等均主張人與自然、人與社會、人與人、人的心身都要和諧.

中華傳統文化認為“和”是自然生化的規律.有無相和則生陰陽，陰陽相和則生天地，天地相和則生萬物.“和”是養生之道的根本.《內經》指出：“氣和而生有，神乃自生.”“和”可使心身相合，陰陽調和，經絡通暢，氣血順和，使人性命雙修.“和”是修身的首要，使天地人心相和，心平氣和，萬物親和，才能生浩然之氣.因此，“和”是天人合一的橋梁，是天地合德、日月和明、四時合序的紐帶.

《易經》乾卦中有：“大哉乾元，萬物資始，乃統天.云行雨施，品物流形……乾道變化，各正性命，保合太和，乃利貞.首出庶物，萬國咸寧.”乾卦中的“元亨利貞”四德，敘述的是“元”為萬物的開始；“亨”為萬物的生長；“利”為萬物的成熟；“貞”為萬物的完成.它們指出天地萬物各按照其本性，井然有序，生生不息，各得其所.這是一種宇宙社會的大和諧，宇宙協同的大交響樂.《易經·系辭下》說：“天地氤氳，萬物化醇；男女構精，萬物化生.”它指出“和能生物”的道理.和能結合眾多資源創造出新的品質、新的事物.這是和諧的力量、和諧的偉大.

此外，眾多的中國成語，“統籌兼顧”，“群策群力”，“同舟共濟”，“集思廣益”，“集腋成裘”，“聚沙成塔”，“眾志成城”，“眾擎易舉”，“眾人拾柴火焰高”等，都體現了協同思想已經深深融入華夏文化傳統中.

1協同學及陰陽互變的Lorenz模型

用協同學中的單模激光方程[1]

b'=-kb-i∑gμαμ+F(t),

αμ'=γαμ+igμ*bσμ+Γμ(t),

αμ'=γ11(d0-σμ)+2i(gμb*-c.c.)+Γσ,μ

(1)

其中b是場的振幅，αμ是原子的偶極矩，αμ是原子的反轉數.當k<0時，可以描述激光及其類似的有序系統的產生.

設b=x, ∑αμ=y, σμ=z, 則(1)可以化為

x'=-kx-ay+F(t),

y'=-by+cxz+Γ(t),

z'=A-dz+exy+Γ1(t).

(2)

當我們略去隨機項F(t)和Γ(t),Γ1(t),并且令z=A-dz，(2)就可以化為Lorenz方程

x'=-k(x+y),

y'=-xz-y+rx,

z'=xy-dz.

(3)

Lorenz方程導致著名的Lorenz模型(圖1).它像一只十分靈巧敏捷的蝴蝶的兩片翅膀，每片各自圍繞著原來的一個不動點旋轉.運動軌道在一片中由外向內沿一個方向繞到中心附近后，“隨機”地跳到另一片的外緣沿相反方向繼續向內旋轉.然后周而復始，再突然跳回原來那片的外緣.這是非線性動力學中的一種奇怪吸引子，它的分維為2.06.這個模型可以非常生動地描述三維空間中陰陽的互相轉化.

圖1　Lorenz模型

由協同學的基本方程可以定量導出Lorenz方程和Lorenz模型，因此具有其各種特征.哈肯已經指出描述單模激光的方程與Lorenz方程是等效的[2].由此可以描述大腦的形成和功能，其中的兩翼相應于兩儀，對應大腦的兩個半球，兩翼之間的跳來跳去形象地描述思維[4,5].并且大腦協同學具有三個層次：大腦的結構、活動和思維.進而我們定量分析了生物協同學及種群動力學，并由Lorenz模型可以描述兩種種群的變化關系.當取絕熱近似時，還可以導致種群動力學的不同模型，并指出保護瀕危物種的兩條出路.因此，生物協同學能夠深刻揭示不同物種之間，既競爭又協同的復雜的非線性關系.進一步可以把氣功作為一種心身協同學，人體協同，大腦是指揮.并且應用于肺的形成，輿論聚焦于兩種等各種對稱結構的形成等.這都是由協同、混沌產生對稱.由此說明生命、甚至宇宙都在于混沌中的協同.

筆者提出協同學可以成為老莊哲學、易經、中醫、氣功及互助論等和諧、統一哲學的數理基礎[3].并且研究過人-自然協同學[6]、社會演化方程和中國經濟改革的協同理論[7]、戰爭協同學和《孫子兵法》中取勝的最小熵原理[8]、社會協同學[9]等.

由協同學得到Lotka-Volterra(LV)等非線性方程組，相應于陰陽互相消長.進一步建立各種周期的泛理論.

2太極數學和循環

太極圖和易經、八卦、64卦都是一種循環，相應的數學就是循環代數、循環數學.最簡單的例子是時鐘算術，它把無窮的直線點化為有限的封閉環；例如11+5=4.其中數學可以是三角函數.循環幾何對應于圓、環、球、超球等，而圓是最簡單的循環.球面算數有多種循環.進一步是球面幾何、球面代數、球面分析等.而且它可以推廣、發展為循環代數、數學、物理、化學、科學等.在一定程度DNA也存在循環，具有4種基本元.這些是把無限化為有限的循環.

這還可以聯系于符號動力學，n個字母對應n元循環，陰陽是2元，五行是5元等.筆者研究后指出易經就是一種完全符合現代科學的古老的符號動力學，由此可以方便地揭示易理中的各種規律，開拓對傳統文化，如太玄、五行等的研究，并對現代科學的發展有所啟示[10].

在一定程度，進位制也是一種循環，循環數學對應一般的進位制.1969年6月筆者得到規律：在任何進位制中，1)如果數a是10n-1的因數，則任意數是否是a的倍數，只要看這個任意數以n為一節是否能夠被a除盡.2)如果數a是10n的因數，則任意數是否是a的倍數，只要看這個任意數的數尾n位是否能夠被a除盡.3)任意數an...a2a1a0是否是a的倍數，只要看這個任意數以數位n+1，2×n為一節，各節相加所得數(an+..+a2+a1+a0)moda是否能夠被a除盡，就是數n的倍數，即(an...a2a1a0)moda=0.

二進位制對應陰陽.三進位制對應太玄，其基元都是三.四進位制對應四象，五進位制對應五行，七進位制對應音階，八進位制對應八卦，十二進位制對應時鐘，其它還有60進位制等.

循環又聯系于周期性.這是實數對應一維的直線化為平面的循環，推廣到二維即無限復平面對應復球面，相應于復數z=r0eit就是圓，z=aebt是對數螺線.推廣到高維就是n維平面化為n+1維超球.三維、高維時就是螺旋形循環、上升.高維循環數學對應超循環論[11].

循環數學常常聯系于復數，特別是指數形式和三角函數形式，二者已經有周期性，及復變函數(complexvariables).復數太極圖可能就是多葉的，對應于三維空間雙葉太極圖[12].相應的八卦、64卦及九宮八卦五行圖[13]等發展為三維的，其中九宮八卦五行圖第二葉的矩陣形式就是：

(4)

陰陽是二維流形，這是平面拓撲，S形的太極圖不變.平面太極方程加第三維z=at就是空間方程.DNA二維投影也類似太極圖.

復數和矩陣都對應平面，復數是域，矩陣也可以構成數域[14,15].而矩陣元可以是任意數、代數式等.復平面相應于Riemann球的表面，稱為球極平面射影(stereographicprojection)[16].其中Cauchy-Goursat定理指出：對單連通域，函數f(z)沿任何一條封閉曲線C的積分為零

(5)

對多連通域，

(6)

其中C與Ck均取正方向.

拓撲學中循環可以是一種回路、環(loop)，因此循環數學聯系于弦，循環粒子聯系于閉弦.所以它可以結合任何循環理論和循環現象.循環宇宙即宇宙有限.易理的“否極泰來”，“物極必反”，其實整個東方文明，無論是印度或者中國都是基于循環觀點.

太極對應混沌，分為兩儀，形成太極圖中陰陽互變的Lorenz方程等.從人的腦電到雙星演化、棒旋星系SBC，太極圖的形式廣泛存在于大千世界中[13].太極圖中為太陰、太陽，二點為少陰、少陽.陰中有陽，陽中有陰，二者互補、轉化.陰陽是分形，發展則其中又有陰陽.相應于太極圖中的魚眼又是太極.太極圖由協同學描述，對應宇宙、時空，整個世界和諧一致.

3易和協同學的推廣研究

易學的原理(規律)主要包括[17,18]：1.對稱；2.互補；3.轉化；4.不變；5.簡易.此外具有預測的幾率性，數學的模糊性等.并且可以用符號動力學[10]解釋這些原理，及劉牧等的卦變.

已知圖論中的圖G=(V,E)，其中V是點集，E是邊集[19].在此提出易圖論，其基元作為點集是陰陽二爻，邊集是彼此間的關系.陰陽的完全圖是G=(2,1)，四象的完全圖是G=(4,6)，八卦的完全圖是G=(8,28)，64卦的完全圖是G=(64,2016)，可以描述的系統越來越復雜.太玄的基元是三畫，其完全圖是G=(3,3)和G=(9,36)等.在圖論中五行具有最完備的對稱性(圖2)[20]，不考慮方向時是一種Kuratowski圖，是符合所有結點的度數都是偶數的Euler圖.它的點連通度k(G)和邊連通度λ(G)都是4.五行如果都作為點，其完全圖是G=(5,10)，而且相生相克圖既是同構圖，又是互補圖.這是作為無向圖.

圖2　五行生克模型

如果作為有向圖，太極圖是最簡單的陰陽二點彼此循環，G=(2,2).如果五行都作為一種循環，其圖G=(5,15).用圖論的矩陣表示，對五行無向圖相應矩陣各元aij≡1；對有向圖，相應矩陣為：

(7)

對五行G=(5,10)無向圖相應矩陣除對角元aii=0外，各元恒為1；對有向圖，相應矩陣為：

(8)

進而矩陣方法還可以非線性化.

由五行理論結合圖2，筆者提出社會進步(民主、公平、穩定)、經濟發展、科技、教育、環境相輔相成的社會可持續發展模式，并且討論相應的東方經濟學，非線性經濟增長理論等[21,12].因為網絡由結點和連線組成，由易圖論可以發展易學的網絡理論，描述世界的復雜性.這類似中醫的網絡理論.

易的數學是23=8卦，26=64卦，推廣即an=M，其中a是基元數(如陰陽爻等)，n是每卦爻數.這是a分叉.太玄亦然，34=81；這是三分叉，推廣即混沌.五行學說a=5，53=125，五分叉包羅萬象.七音符a=7，加上升降調共21個；對固定3/4，4/4調各有73=343，213和74，214.還有半拍、1/4拍、3/4拍，則對4/4就可能有n=16，即2116.所以音樂是十分豐富的.

榮格(C.G.Jung)討論的曼茶羅(mandala)圖已經包括易與陰陽.煉金術(對應道教)二重性中：其象征是日(陽性法則)、月(陰性法則)；而日月為易.物質是硫磺和鹽.再加上第三種因子汞，則陰陽兼具[22]，并且對應三元和道、太玄.由此陰陽、三元又聯系于化學[18].而原子核中質子、中子也是一陽一陰，但奇個核子數的核不穩定.

易經及其方法對榮格的共時性(synchronicity，因果聯系的原則；內在與外在事件同時發生的一種意義重大的巧合)概念的發展起了主要的推動性.榮格的八種人格對應八卦.這又相應于宏觀的天人合一和微觀的粒子結構[23].

4總結

協同學研究整體性、整體運動、整體狀態.筆者提出的負物質及相應的正反粒子、負粒子及負反粒子四種物質對應于四象，組成整體最完美的對稱世界[24-28].廣義協同學還應該研究結構解體，熵極大，混沌，序參量向相反方向變化等相反或更深的領域.耗散結構、混沌和超循環可以認為是廣義協同學的三種結構.易經作為具有整體性的系統論[3]，筆者提出易拓撲學，并探討了系統論、控制論、信息論、突變論和混沌等五種被廣泛應用的橫向理論與易的關系[29].對分形筆者討論了它的推廣及某些應用，包括應用于社會科學和文學，并且探索了宇觀-微觀分形、泛量子理論和對分形的展望[30].

更一般，任意兩個(多個)相關系統的強或弱協同學.基本原則是協同，但協同學已經包括競爭.具體原則是競爭中1)多數為主原則，僅有小漲落；2)力度原則.二者結合導致伺服原理.激光方程和各種可用于種、群的方法都可用于此及人-自然協同學[6]，可以討論其雙螺旋結構及相應的方程組，并且DNA可以由推廣的量子方程的解形成[31,32].

基于協同學的基本方程可以導致Lorenz方程和模型，由此形象描述陰陽互變.除這一定量關系外，作為橫跨各種領域的現代科學的協同學和作為中國傳統文化精髓的易學在本質上都是基于合作協同而具有一致性.因此協同學可以廣泛應用的領域，應該也可能應用易經.

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[責任編輯：閆昕]

Synergetics, Lorenz Model of Yin-Yang Enantiotropy and Mathematics of Taiji Figure

CHANG Yi-fang

(Department of Physics,Yunnan University, Kunming 650091, China)

Abstract：First, the base of Chinese traditional culture on synergetics is discussed. Next, it is investigated that the Lorenz model of Yin-Yang enantiotropy is quantitatively obtained from synergetics, which shows that life and Universe lie in cooperation in chaos. Third, the mathematics of the Taiji Figure and cycle is proposed. Fourth, the extension and investigation of Yi and synergetics are researched. Final, summary and the consistency between Yi and synergetics is proposed.

Key words：synergetics; corenz model; fhinese traditional culture; harmony; yi; taiji figure

[中圖分類號]R338

[文獻標識碼]A

[文章編號]1004-7077(2016)02-0001-07

[作者簡介]張一方(1947-)，男，云南大學物理系教授，主要從事理論物理研究.

[基金項目]國家自然科學基金項目(項目編號：11164033).

[收稿日期]2016-01-05