Clifford分析在偏微分方程中的應(yīng)用

仲新娟

摘要：Clifford是基于高維空間中代數(shù)理論與幾何結(jié)構(gòu)所創(chuàng)設(shè)的一種幾何代數(shù)，是一種能夠結(jié)合但不能夠交換的代數(shù)結(jié)構(gòu)，是外代數(shù)、四元數(shù)以及復(fù)數(shù)的推廣。文章首先闡述了非線性偏微分方程（PDE）解的存在性定理，并通過實(shí)例說明在偏微分方程中構(gòu)造Clifford分析的方法，進(jìn)一步闡述了多Clifford分析的相關(guān)理論及其應(yīng)用方法，總結(jié)了Clifford分析在解決高維空間領(lǐng)域非線性偏微分方程（PDE）問題的一般方法。

關(guān)鍵詞：Clifford分析；偏微分方程；應(yīng)用

Clifford又可稱為幾何代數(shù)，目前在幾何與物理領(lǐng)域中都有應(yīng)用。在當(dāng)前數(shù)學(xué)研究的主流課題中，非交換數(shù)學(xué)一直是重點(diǎn)，而Clifford分析可以說是非交換領(lǐng)域中單復(fù)變?nèi)兒瘮?shù)理論的推廣，其在量子物理、微分幾何、代數(shù)幾何以及偏微分方程中皆有應(yīng)用。但是在偏微分方程（PDE）之中，Clifford的應(yīng)用多集中于具體方程解的表達(dá)式和存在性，而在解決高維空間領(lǐng)域高階非線性偏微分方程問題方面卻少有建樹。本文將運(yùn)用Clifford分析法將偏微分方程解之局部存在性理論（下面簡(jiǎn)稱為N-W定理）向高維推廣，在高維空間中建立非線性偏微分方程的整體可解性和局部可解性。

一、 PDE解的存在性定理

1957年，學(xué)者Lewy[M]提出了即使是一般的線性PDE，其可能沒有局部解。這一理論的提出，使得PDE解本身的局部存在性成為偏微分方程領(lǐng)域中最為基本的研究問題，早期著名的研究者包括Nirenberg-Treves、Lemer、 Decker、Beals-Fefferman等。直至Nijenhuis-Woolf提出并證實(shí)了殆復(fù)流形上J-H曲線局部存在性的理論，從本質(zhì)上研究了在復(fù)平面中一階非線性PDE的局部可解性問題，但是這一定理由一階線性PDE向高階推廣，經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的時(shí)間，直至2011年才算完成。

目前有學(xué)者已經(jīng)證實(shí)了PDE的可解性，但這一結(jié)果并未全部推廣至微分方程組，而且對(duì)于非線性偏微分方程組，這一局部可解性問題就顯得更為復(fù)雜。本文將以下列方程組A為例，探討其可解性。

這里的D是Clifford代數(shù)R0，n之中的Dirac算子，且D為其共軛算子，u為Rn+1域中（有定義）Clifford值函數(shù)，a為給定的（光滑）Clifford值函數(shù)，μ+v=m。

首先分析Teodorescu（簡(jiǎn)稱為T）算子的有界性問題，T算子為Dirac算子（D）的右逆算子，作為處理Cauchy-Riemann（C-R）這類方程的基礎(chǔ)。本文主要探討了以下T算子的有界性問題，其結(jié)果在證實(shí)非線性PDE方程解本身的存在性定理之中起著決定作用。

T算子是將D算子的基本解作為核函數(shù)的一種積分算子，也常常稱之為D算子體積位勢(shì)。下面我們將利用T算子一階微分表達(dá)式來作如下證明：在H0der空間，T算子為D算子的右逆算子。從共軛算子D為例，考慮其右逆算子T，

三、小結(jié)

本文立足于建立起高維空間中不同階C-R型非線性PDE的整體可解性和局部可解性。雖然已有學(xué)者已經(jīng)研究得出了多四元數(shù)以及多Clifford分析中低維C-R方程組應(yīng)滿足的相容性條件，也有學(xué)者通過代數(shù)幾何方法，深入探討了多四元數(shù)分析，并且給出C-F復(fù)形的主要構(gòu)造。但是上述方法仍然存在一定局限性，因?yàn)樵摲椒☉{借的相容性條件要利用C-F復(fù)形之中第三個(gè)算子，但是第三個(gè)算子只在低維情況下才容易算出，而一般情形下很難被找出，因此并不能得到非齊次C-F方程解的表達(dá)式。本文探索的方向是應(yīng)用代數(shù)幾何方法，將多復(fù)變方法帶到多Clifford分析以及多四元數(shù)理論之中。以上研究和結(jié)果證明了該種方法既是基礎(chǔ)，也是直接的。首先通過Pertici引入和給出多四元數(shù)條件下非齊次C-R方程相容性條件，實(shí)際上就是積分條件，與通過一般代數(shù)幾何方法獲得的相容性條件是有區(qū)別的。從整體上看，該方法能夠方便直接得到非齊次C-R方程存在緊支集解的有關(guān)相容條件，并且無(wú)須借助第三個(gè)算子。T算子為Dirac算子（D）的右逆算子，通過分析Teodorescu（簡(jiǎn)稱為T）算子的有界性問題，能夠進(jìn)一步處理Cauchy-Riemann（C-R）這類方程。本次研究利用Clifford分析將Nijenhuis-Woolf定理由復(fù)平面向高維推廣，希望能夠?yàn)閺V大研究者提供一些參考和方法借鑒。

參考文獻(xiàn)：

[1]張彬林.變指數(shù)Clifford值函數(shù)空間及其應(yīng)用[D].哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2013.

[2]王海燕. Clifford分析在偏微分方程中的應(yīng)用[D].中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)，2014.

[3]李婧.復(fù)Clifford分析中Isotonic函數(shù)的性質(zhì)及其邊值問題[D].河北師范大學(xué)，2010.

[4]張坤.Clifford分析中全純Cliffordian函數(shù)的性質(zhì)及其邊值問題[D].河北師范大學(xué)，2010.