提升幾何直觀能力助推學生數學理解

朱雪蓮

【摘 要】幾何直觀是小學數學課程十大核心概念之一，也是新課標新增加的四個核心概念之一。發展學生幾何直觀能力可以采取以下教學策略：直觀表征策略、直觀明理策略、直觀促思策略、直觀梳理策略。由此，可以對學生的數學理解起到助推作用，真正提升學生的數學學習能力。

【關鍵詞】幾何直觀 策略 數學理解

幾何直觀是小學數學課程十大核心概念之一，也是新課標新增加的四個核心概念之一。教師如果能認清幾何直觀的本質，找準提升學生直觀能力的實踐策略，就能提高學生的學習興趣、學習效率，并對學生的數學理解起到助推作用。

一、抽象概念——直觀表征策略

所謂表征活動，就是將一個“被表征”的對象，用另一種表征方式重新表現出來，而不失其意義，以達到溝通的目的。小學生正處于由具體形象思維向抽象邏輯思維過渡的階段，具有較強的直觀性。受到知識經驗和思維水平的限制，數學概念學習比較抽象，有些概念很難用學生理解的語言加以表述。這時，圖形直觀往往會成為有效的表達工具，學生對能看的到的或自己動手操作的學習內容，往往容易接受。

【案例1】“平均數的認識”教學片段

師：老師身高175厘米，一條河平均水深140厘米，能沒過老師嗎？

生：不會淹沒的，175厘米大于140厘米呀。

生：如果淹沒，說明數據有錯。

生：蹲著會淹沒的。

生：平均水深又不是每個地方都是140厘米，有可能比140厘米淺，也有可能比140厘米深。如果老師經過比140厘米深的地方就不行了。我可以上來畫一畫嗎？（生板書）

生：當老師走到175厘米的地方頭就淹沒了，到最深的200厘米處更不用說了，而175厘米以上就沒問題了。

教師用圖中長度相當的小棒作為模擬人，演示從池塘壁沿一直走到深處，學生隨著走動的路線呼應“會”或者“不會”。

平均數是一個虛擬數，比較抽象。教師提供了一個能讓學生有話說并引發思考的生活問題，一開始引發了學生的爭辯，有一位學生主動提出用直觀圖來說明自己的觀點，在師生對話中不斷修正直觀圖，增進學生對平均數概念的理解。由此可見，描述數學事實、概念或關系時，圖形語言的描述為文字語言或符號語言的描述提供了直觀表象，也為理解和掌握相關的文字語言與符號語言的意義和內涵奠定認知基礎。教師要注意三者的轉換，幫助學生溝通幾何直觀與數學本質之間的聯系。

二、理解算理——直觀明理策略

在計算教學中，教師往往注重計算方法的教學，忽視算理理解，造成部分學生即使能掌握計算方法，對算理理解較難深入，常常是知其然而不知其所以然，停留在形式模仿階段。學生不能理解算理主要是因為沒有實現“把抽象的算法具體化”與“從具體中進行抽象”的兩個轉化。

為理解算理，我們常用的方式就是動手操作。比如低年級學生常用的小棒、計數器和直尺，通過動手操作在人腦中形成知識表象，在表征過程中對問題進行深層次的思考，形成更深刻的、個性化的認識和體驗，使外在的操作行為真正成為學生知識內化的推手。

【案例2】“小數除法——整數除以整數”教學片段

師：小明帶了100元錢到書店買書，買4本《格林童話》，服務員找了3元。一本書多少錢？（生嘗試練習）

生：一本書24元余1元。

師：余1元怎么給人家？板書：

生獨立思考。

生：1元=10角，100÷4=25（分），一本書用了24元25分。

生：把1元錢平均分成4份。畫圖，第一次分：

每本2角，共8角 余下2角怎么辦？

生：繼續分。

畫圖：2角=20分，20÷4=5（分）（第二次分）。

每本5分，共20分

生：還可以1元=100分，又能分了，100÷4=25（分）。

師再引導生，結合豎式算到個位有余數還要繼續往下算的每一步理由。

小數除法的計算方法屬于程序性知識，教師直接教算法學生能看得清晰，通過一定量的練習也能算得正確，對于“為什么這樣算”，有不少教師不愿意花這么多的時間來探究，而寧愿花更多的時間做習題。在上面的案例中，學生受原先有余數除法知識的負遷移，余下1元就作為結果呈現，與現實不能這樣付錢產生認知沖突，于是想到了“破1元為10角”繼續分，當第一次分了之后還剩2角時，學生又產生了第二次分的想法，一直到分完為止。這樣的教學設計，能基于學生的認知心理，引領學生通過直觀畫圖來表達自己對算法的理解，自己說得清楚，別人也聽得明白，真正做到了理解算理和明晰算法的有機結合。

三、解決問題——直觀促思策略

小學生的思維特點，以形象思維為主，逐步向抽象思維過渡。雖然教材中呈現問題的形式多樣，有圖畫式、對話式、圖表式、文字式等，隨著年級的升高，以文字形式呈現成為主流。純文字的問題語言表述上比較簡潔，枯燥乏味，致使學生常常讀不懂題意。如果學生能自己在紙上畫一畫、理一理、排一排，借助直觀圖形把抽象的數學問題具體化，就能幫助讀懂題意、理解題意，找到解決問題的思路，從而提高學生解決問題的能力。

【案例3】“有余數的除法”習題教學片段

（生解決了“六月份有30天，共有幾個星期，還剩幾天”的數學問題之后）

師：六月份有30天，如果六月份有5個星期六和星期日，那么6月1日是星期幾？（生獨立思考）

生：星期五。我猜想這樣排下去應該都有5個的。

生：不對，第一個星期2天（星期五、星期六），加4乘7有28天，剛好30天。這樣，星期日只有4個。

師生在交流中填寫日期圖表，星期日的確只有4個。

生：1日往后移1天，這樣剛好。

生：其實不用寫數字，可以用“■”表示日期，畫滿30個就行了，這樣很方便。

師生驗證，把原來的日期全部改寫成“■”。

師：果然不用寫日期，也能說明問題，真了不起，很方便！

生：其實我連圖都不用畫，算算就可以了。30天里肯定有4個7天的，中間填滿四行，還有2天，第一行1天，最后1天放最后一行。7×4+1+1=30天。

師：有了前面的圖表說明，這個看上去很簡潔的算式大家都理解了吧。

生：那我有一個問題，如果有28天、31天的，也會有2個星期六和星期日嗎？

學生借助簡約符號直觀，對問題逐漸深入的過程，完美地詮釋了數學發現的過程，也再次說明了幾何直觀是推動思維展開的基礎，也是獲得對數學深度理解的依托。從最原生態的排日期，發現不行后移1天，又有學生發現用“■”符號代替具體日期也能解決問題，還有學生頓悟用算式這個模型也能解決問題。整個過程，也是數學抽象的過程，從具體的每一天到簡單的一個算式，學生的思維也逐漸遞進，經歷了一個完美的數學發現過程。

四、構建網絡——直觀梳理策略

在課的總結階段，或者在復習教學中，其目標之一就是梳理知識體系，而往往在厘清知識之間的抽象、復雜關系，需要突破教學中的重難點問題、構建知識網絡時，借助幾何直觀說明問題。

【案例4】“三角形的分類”教學片段

在課的總結環節。

師：今天你學到了什么？有什么新的收獲？

師生在對話過程中形成集合圈：

師：如果要把等腰三角形放到集合圈中，可以怎么放？

生：（思考片刻）因為三類三角形都有等腰三角形，所以放在中間。

師：等邊三角形可以放進去嗎？

生：因為等邊三角形既是銳角三角形，也是等腰三角形，所以要放到左上角。

師：那等腰直角三角形呢？

生：放在內圈的下面，既屬于直角三角形，也是等腰三角形。

生：那還有等腰銳角三角形、等腰鈍角三角形。

在這節課中，按角分把三角形分為三類；依據邊的特點，有等腰三角形也有等邊三角形，這兩種三角形屬于包含關系；結合角和邊的特點，比較特殊的有等腰直角三角形。受按角分類思想的影響，學生喜歡把等邊三角形、等腰三角形分為兩類，這是知識學習的負遷移；而等腰直角三角形也是一種特殊情況，需要和按角分類命名、按邊的特點命名的三角形找聯系。雖然是幾何圖形教學，當這么多接近的三角形名稱集中在一起時，學生容易混淆，一般教師愿意在教學中按角或按邊分開來認識學習。而這位教師在分的基礎上，借助集合圈幾何模型，先分類，再辨別類型，還大膽引導學生尋找這些三角形名稱之間的關系，很好地理順了知識點，也突破了學習的難點，有助于學生構建知識網絡圖。

數學家張廣厚曾經說過，數學無疑是一門高度抽象的學科，需要人們具有高度抽象思維的能力，但是也同樣需要很強的幾何直觀能力。課堂是學生獲取知識的主要途徑，學生的思維方式和價值感受也主要在課堂中形成的。有較強的幾何直觀意識和能力的教師，學生相應的能力也會增強。教師需多創設這樣的教學情境，讓學生經常在課堂中感受幾何直觀價值，多用幾何直觀的方式來說明數學的內在道理，可以更好地引導學生達成對數學的深度理解。這樣的課堂，學生不僅收獲了數學知識，更增強了學生的直觀意識，提升了學生的幾何直觀能力，讓數學變得簡單。

參考文獻：

[1]秦德生.關于幾何直觀的思考[J]. 中小學數學教學參考，2005（10）.

[2]蔡宏圣.幾何直觀：小學數學教學的視角[J]. 課程·教材·教法，2013（5）.

（浙江省杭州市文三教育集團文三街小學 310012）