數列通項公式求法初探

李江

【摘 要】數列的通項an是描述數列的基本量，也是高考數學考察的重點內容。針對所教班級學生普遍對求數列的通項感到困難的現狀，筆者專門設計了與高考復習相適應的教學案例，現將教學過程展示如下。

【關鍵詞】數列；通項；探究；實驗；自主

一、面對的學生現狀

本人自參加工作以來，長期與藏族、傈僳族、普米族等少數民族交流，這些民族的社會發育與先進漢族、白族有較大的差異，內地現成的教學經驗對他們很難實施教育。依據本地區民族學生的特點，只有長期的摸索和探究，才能逐步找到與高考復習相適應的等差數列通項求法的教學方法，現將教學過程展示如下。

二、教學模式的提出

要全面提高教學質量，就必須從根本上改變課內灌得多、課后作業多以及學生思考時間少和自主探究少的現狀，就必須對陳腐的教學課堂教學方法進行徹底改變。為此筆者專門以“問題的提出—自主探究—交流討論—解決問題”為主線，以學生探究活動為主體，以教師啟迪點撥為主線，以培養學生教學興趣和能力為中心，大面積提高教學質量為目標的課堂復習教學模式。

1.教師提出問題①

同學們，這節課我們一起來探究一些數學的通項公式求法，首先大家來完成下面的問題：

①已知等差數列的首項，公差，求數列的通項公式。

②已知等差數列的首項，公差，求數列的通項公式。

③已知等差數列的首項，公差，求數列的通項公式。

④已知等差數列的首項，公差，求數列的通項公式。

學生通過推算不難得出結論：

2.教師提出問題②

同學們在完成了上面問題后，再來完成以下問題：

⑤已知數列滿足：，求數列的通項公式。

⑥已知數列滿足：，求數列的通項公式。

⑦已知數列滿足：，求數列的通項公式。

3.學生自主探究

學生通過嘗試，除了個別學生求出問題⑤答案（大部分學生采用觀察—歸納—猜想法求解得答案），而對問題⑥與⑦求解感到十分困難。教師提示：以上問題②數列是等差數列，根據等差數列定義有，由此公式可推得，也就是，即，再加上問題⑤有條件，由此看來問題②與問題⑤是同一個問題。同學們以此思路探索一下問題⑥、問題⑦有什么關系，并把你的探索過程仔細寫出。

教師提出問題后讓學生動手動腦，獨立思考，自主探索。教師要給學生足夠的時間進行探究，要引導學生運用合情推理方法去發現并解決問題。在這一過程中逐步培養學生的動手能力，并且讓學生感覺到自主發現問題的樂趣，從而增加學習數學的興趣。

學生通過探索最后發現問題⑥和問題⑦其實與問題③和問題④是同一個問題，教師給予鼓勵并讓兩個同學上黑板展示探索痕跡。其余同學對問題的看法進行交流討論。

4.學生交流討論

交流討論使學生在學習過程中更有了一種合作的樂趣，讓學生主體各自說出自己的想法，那么他們就會發現自己在哪些方面有所欠缺，從而更加積極主動地去思考問題和解決問題。

同學們通過以上探究發現，將以上展示的探索痕跡實行逆推可轉化為等差數列求得，但也有同學表示反對，原因是如此施行逆推，在實際作業中由于要求變形能力過大，幾乎無法完成。

教師在肯定學生探索得到收獲后指出，的確與有的同學說的那樣就以上展示的探索痕跡施行逆推轉化為等差數列求解，在實際操作中難以做到，下面老師也展示一個探索痕跡，請欣賞：

5.教師點撥解決問題

從以上老師展示的探索痕跡施行逆推，同學們應該不難解決問題⑤、問題⑥、問題⑦，同學們一致表示同意。前面展示的同學探索痕跡實行逆推為什么就難以在實際中實施呢？同學們一時無語，教師接著點撥；前面展示的同學探索痕跡，將已知式子變形時習慣于去分母、移項、合并同類項，要知道去分母容易而還原為原來的分母難；移項、合并同類項容易而拆分還原為原來式子兩邊項則難，前面展示的同學探索痕跡在式子變形過程中部分蘊含的“合約”項被拆分了，當然對等價變形前后的兩個式子認識也就模糊了，為探索規律將等式變形時應該盡可能保持等式中“合約”的項，這一點需要同學們在平時學習中加以關注。

求數列的通項公式教學是學生普遍感到疑難的一個教學內容，本課時教學均設計了階梯漸進式難度提升，問題1與問題2是相關聯的配對問題，目的在于引導學生發現規律探究解題方法，整節課不是簡單的教師給出方法、學生機械作業，而是把教學重點放在探索過程中，重視過程，體驗過程，改造過程，創新過程，讓學生在駕馭過程中提升學習能力，并獲得成果。

參考文獻：

[1]普通高中課程標準實驗教科書《數學必修5》人民教育出版社；

[2]“新課標導學”系列叢書《2015走向高考》中國和平出版社。