淺談解析幾何中探究性教學

宋淮南

[摘要]課堂教學應當通過創設問題情景，激發學生的學習興趣；讓學生進行動手操作、實驗，增強他們學習的主動性；適時將問題進行拓展、延伸，培養學生的勇于探究的精神和創新能力。

[關鍵詞]探究；拓展；創新思維

數學探究是指學生圍繞某個數學問題，自主探究、學習的過程。它有獨立發現、歸納類比、發明操作等方法。在這個過程中學生始終處于積極思考、主動探索、主動建構的主體地位。但這又離不開教師事先所作的、精心的教學設計和在協作學習過程中畫龍點睛的引導，充分體現了教師引導作用與學生主體作用的結合，這對培養學生勇于質疑和善于反思的習慣，發展他們的創新意識，提高他們發現、提出、解決問題和實踐能力等方面都能發揮重大的作用。結合解析幾何的教學，淺談探究性教學的一些體會。

一、創設問題情景，培養學生的學習興趣

興趣是最好的老師。因此，教師應不失時機地為學生營造“樂學、趣學”的環境。可通過精心設計教學，利用現代教育技術，在課堂上創設與主題相關的、盡可能真實的情境，讓學習者能利用自己已有的知識、經驗與方法，去分析和探索當前的問題，建立起新舊知識之間聯系，并賦予新知識某種意義。

例如在橢圓的定義教學中，先復習圓的定義，再提出問題：平面內到兩個定點的距離之和為一個常數的點的軌跡是什么？（注意與圓的定義的異同。）取一條細繩，把它的兩端都固定在圖板的兩個定點處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，畫出的軌跡是什么曲線？讓學生動手探究，教師僅作點撥、提示，探究出結果后再用《幾何畫板》進行動畫演示，使學生從視覺上感受橢圓的形成過程。

接著提問：在這過程中，筆尖（動點）滿足怎樣的幾何條件？若|PF1|+|PF2|=2a，動點P的軌跡是什么圖形？若|PF1|+|PF2|<2a，存在這樣的動點P嗎？

這樣既激發了學生的探索欲，又讓其親身體驗到橢圓上動點所滿足的幾何條件，加深了對知識的理解。

二、實驗操作，增強學生學習的自主性

探究式課堂教學是否能取得實效，歸根到底是以學生是否參與、怎樣參與、參與多少來決定的。只有最大限度地調動學生學習的潛能，讓學生主動參與教學，使學生充分體驗和感受學習的過程，才能讓課堂充滿生機。因此，在課堂教學中，應以學生自主探究活動為主線，盡可能多讓學生嘗試體驗知識的形成過程，更多地經歷觀察、實驗、猜想、驗證、推理等學習與探索過程，從而提高學生學習數學的信心與興趣。

當學習橢圓的性質中離心率時，問：為什么有的橢圓比較扁，有的比較圓？它的扁圓程度由什么決定？引導學生實驗操作：取一條細繩，把它的兩端都固定在圖板的兩個定點F1，F2處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，畫出一個橢圓，接著縮短（或拉長）兩定點之間的距離，畫出另一個橢圓。學生由探究后得出：因為繩長固定，當焦距縮短時，橢圓越圓；當焦距伸長時，橢圓越扁。從而得到離心率是決定橢圓扁圓程度的量。

數學是和現實生活緊密地聯系在一起的，教師應該對教材內容做不同程度地處理，從學生已有的知識經驗和熟悉的生活情境出發，在教材內容和學生求知心理之間創造新情境，把學生引入一種急待探究的狀態中去，充分發揮其主動性和創造性。

三、以問題為導向，提高學生探索欲

學生若要做到靈活運用數學知識解決相關問題，從而達到以不變應萬變的目的，就必須在數學中體驗數學知識的拓展變化。可對一些命題，通過逆向思維求其逆命題；通過設常量為變量、引入參量、弱化或強化條件與結論等方法進行橫向的拓寬和縱向的深入，揭示出它與某類問題的聯系與區別。這樣，我們通過“問題”引導，營造良好的課堂探討氛圍，更好地誘發學生探究的主動性，從而使學生體驗到數學知識發生、發展及拓展變化過程，在解決相關問題時也就得心應手。

例：斜率為2的直線經過拋物線y2=4x的焦點F，且與拋物線相交于A、B兩點，求線段AB的長。

學生做法有方法1：將直線方程與拋物線方程聯立，求出兩點坐標，再用兩點間距離公式求出線段的長；方法2：將直線方程與拋物線方程聯立，求出兩點橫坐標，再運用拋物線定義求解。

接下來我們進行了如下的探究過程：

問題1：能不能不求坐標求出線段的長？

答：在方法2的基礎上由韋達定理可實現不解方程就能解決問題。

問題2：將斜率2改為k，求線段的長。

探究結果（1）過拋物線焦點的弦長公式；（2）得出直線與圓錐曲線相交所得弦長的公式。

拓展延伸：

問題1：求該拋物線上的點到直線y=2x+6的距離的最小值。

問題2：當線段經過拋物線的焦點時，以AB為直徑的圓和拋物線的準線位置關系怎樣？

問題3：斜率為2的直線被拋物線所截，求截得的線段AB的中點的軌跡方程。

問題4：求該物線內弦長為a（a>4）的動弦AB的中點到y軸的距離的最小值。

問題是探究的源泉，通過這樣設計，將問題層層深入或拓展，學生的思維始終處于活躍、探索的狀態，不但掌握了相關的知識，規律與思想方法，探究意識也得到提高。

培養學生的探究意識和創新能力應融入日常的課堂教學之中。教師應事先進行精心設計教學，創設良好的問題情景，增強學生的動手操作與試驗，在探究的過程中，教師主要提問題，提好問題，并成為學生學習的組織者，引導者，參與者。注意處理好以下幾個關系：師生、生生之間的關系；知識和能力、課內與課外的關系，應注重讓學生學始終處于積極參與、合作、探究的狀態中，學生的各方面能力才能得到充分的發展。