數學猜想及猜想方法

段勝梅

摘 要：數學猜想作為人們認識世界的重要方法，在人們發現自然界規律的進程中發揮了重要的作用。本文從數學猜想的概念出發，總結了當前數學界廣泛使用的數學猜想的方法并分析其在數學教學中的應用，以為在教學中培養學生應用數學猜想的能力提供借鑒。

關鍵詞：數學教學；數學猜想；猜想方法

所謂數學猜想是指根據某些已知的事實，材料和數學知識，以已有的數學理論和方法為指導，對未知的量及其關系所作的一種預測性的推斷，它是數學研究常用的一種科學方法，又是數學發展的一種重要形式。猜想作為一種手段，目的是為了驗證猜想的正確性。拉喀托斯指出：樸素的猜想構成了數學發現的邏輯實際出發點。“數學事實首先是被猜想，然后才被證實。”猜想是一種合情推理，它與論證所用的邏輯推理相輔相成。對于未給出結論的數學問題，猜想的形式有利于解題思路的正確誘導；對于已有結論的問題，猜想也是尋求解題思維策略的重要手段。

一、數學猜想的概念

猜想是對研究的對象或問題進行觀察、分析、比較、類比、歸納等，依據已有的材料和知識做出符合一定的經驗與事實的推測性想象的思維方法。人們認識事物是一個復雜的過程，往往需要經歷若干階段才逐漸從現象認識到事物的本質。開始只能根據已有的部分事實及結果，運用某種判斷推理的思維方法，對某類事實和規律提出一種推測性的看法，這種推測性的看法就是猜想。猜想是人們依據事實、憑借直覺所做出的合理推測，是一種創造性的思維活動，具有真實性、探索性、靈活性和創造性等基本特點。

二、數學猜想的方法和在數學教學中的應用

怎樣教猜想？當然首先要鼓勵學生大膽去猜，引導學生猜，發展學生的實驗、觀察能力，教給學生歸納、類比等方法。另外，還特別要發展想象力。因為“猜想”離不開想象，“想象力是科學研究中的實在因素”，它比知識更重要，所以，我們要挖掘教材的潛力，放手讓學生大膽想象，實現猜想的途徑，可以探索實驗、類比、歸納、直覺、非常規以及它們之間的組合等。

（一）直覺猜想。數學直覺是一種直接反映數學對象結構關系的心智活動形式，它是人腦對于某種直接的領悟或洞察。它在運用知識組塊和直感時都得進行適當的加工，將腦中的與當前問題相似的塊，通過不容的直接進行聯結，它對問題的分解、改造整合加工具有創造性的加工。數學直覺是可能產生的，也是可以加以培養的。數學直覺的基礎在于數學知識的組塊和數學形象直感的生長。因此如果一個考生在解決數學新問題時能夠對它的結論做出直接的迅速的領悟，那么我們就應該認為這是數學直覺的表現，無數事實證明，如果沒有直覺思維，就沒有假說和猜想，創造發明也就不復存在。在日常生活和工作中，如果沒有直覺思維，人就會表現出優柔寡斷。在學生的學習過程中也是離不開直覺思維的，如有時表現為學生提出“怪”問題，有時表現為突然“悟”出一個道理，有時表現為別出心裁地“應急”性回答，有時在腦海中出現一種新奇景象等等，均是直覺思維活躍的反映，如著名的“哥德巴赫猜想”等。

（二）類比猜想。類比猜想是根據兩個事物之間類似或相同的特點。猜想出它們類似或相同的規律的一種數學思想方法。我國古代數學家劉微說：“事類相推，各有攸歸，故枝條雖分而同本干知。發其一端而已。”因此，課堂教學活動中應重視類比思想的一般思路是：“觀察——聯想——類比——猜想。”在這一過程中聯想是基礎，類比是關鍵，猜想是飛躍。類比的事物是參照。類比猜想雖然是解決問題的捷徑，但是只有本質相同的兩個問題才能進行類比，否則將導致錯誤的結果。

（三）驗證猜想。數學猜想和數學證明是數學學習中兩個相輔相成、密切聯系的方面。所以波利亞提出，數學猜想的方法與數學證明的方法“必須兩樣都教”。上述多個數學猜想，都需要數學證明來檢驗其準確性。在學生有初步的猜想后，教師要積極鼓勵學生開闊思維，給學生營造一種寬松和諧的良好猜想范圍，鼓勵學生積極尋找猜想的依據，索求猜想的合理性和準確性，不迷信已有證據，不滿足現成答案，通過自己的實踐操作來檢驗猜想的真偽。如教學“數學廣角”中，學生已經具備了簡單的有關知識，會用實際來計算，給學生各種簡單的條件，讓學生通過去做、做出來去觀察等辦法，提出猜想，再驗證，得到正確的結果。經常讓學生經歷猜想—驗證—獲取的過程，學生的創造能力才能得到發展。在小學數學中應用猜想來發現問題和解決問題的例子比比皆是。讓學生猜想，既能激發學生的學習積極性，又可使學生的觀察力、注意力、概括能力、想象能力得到發展，所以說，從培養學生能力這個意義上說，教會學生猜想比教會學生知識更重要。讓我們結合中學生的年齡特點，結合教材的實際內容，采取各項措施手段，培養中學生的“數學猜想力”，提高他們的數學水平。

（四）猜想與歸納。數學猜想是迷人的，適當的猜想常常會促進數學的發展，并且數學中許多結論的發現，都是靠猜想得到的，因此在數學教學中培養學生猜想能力是必需的。觀察在培養猜想能力的過程中起著非常重要的作用。因此在教學中，從特殊結論的觀察中引導學生猜想，培養學生歸納能力，是培養學生猜想能力的一種重要途徑。

數學猜想常常是數學理論的萌芽和胚胎，因此它具有創新性，創新是數學猜想的靈魂，沒有創新就沒有猜想。一個學科只有大量的問題提出，才能使它永葆青春。正因為歷史上有諸如哥德巴赫猜想、費爾馬猜想等猜想的提出，數學科學才發展到今天壯觀的現代數學。猜想作為一種直覺思維活動，雖然在很大程度上依賴于靈感或超前思維。但作為一種思維活動，也存在著自身的一些規律，這些規律的掌握，對于學生掌握正確的方法，培養與提高能力往往起著事半功倍的作用，在數學教學中應用數學猜想，具備十分積極的作用和重大的意義。