創設問題情境構建數學模型

李俊杰

【摘 要】小學數學建模一般要經過模型準備、模型假設與驗證、確立模型、應用模型、模型拓展五個環節。在實施這五個環節的過程中，應首先考慮到小學生還是以形象思維為主，因此應設計以問題情境為載體，以認知沖突為誘因，以直觀演示，動手操作等數學活動為形式，通過現實生活中一些常見的實際問題，讓學生從中發現一些規律，提取其中的數學模型，并能解決生活中的一些簡單實際問題，讓學生從中感悟到應用數學模型解題所帶來的便利。

【關鍵詞】問題情境；數學模型；建模

《數學課程標準》強調從學生已有的生活經驗出發，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程，使學生在理解數學的同時，在思維能力、情感態度與價值觀等多方面得到發展。數學建模，就是建立數學模型的過程，包括對實際問題進行提煉、抽象、簡化，以及確立、求解、驗證、解釋、應用和拓展數學模型的過程。數學建模對學生問題意識、應用能力和創造能力的培養具有積極的意義。

一、模型準備

《數學課程標準》指出：“數學教學必須從學生熟悉的生活情境和感興趣的事物出發，為他們提供觀察和操作的機會，使他們有更多的機會從周圍的事物中學習數學和理解數學，體會到數學就在身邊，體驗到數學的魅力。”這一環節可通過設計生活情境引入，從而喚起學生的知識儲備，激發學生的學習興趣。模型準備階段，要通過呈現問題引發學生的思考，讓學生從生活現象中提煉出一個比較清晰的數學問題。

如教學人教版四年級下冊《數學廣角——植樹問題》時，筆者先以“手”來引入：5個手指頭，幾個間隔？4個手指頭幾個間隔？3個手指頭呢？學生發現了間隔數比手指頭數少1。活動中學生一方面能感知“間隔”的含義，另一方面能初步感受植樹問題中“兩端植樹”的特點和數學模型。

接著出示校園情境圖，問：“要在校園里全長100米的小路一邊，每隔5米栽1棵樹。如果兩端都要栽樹，一共要栽多少棵樹？”模型準備階段，應盡可能為學生提供完整、真實的問題背景，使學生產生學習的需要。

二、模型假設與驗證

學生可能已經針對上一環節中的問題特點做出自己的分析并對建模目的做出合理的假設，但教師不應過早地對學生的假設進行點評，而應重點關注假設背后的思想，關注學生是否調動原有的知識經驗，并引導學生在操作、證明、交流、質疑中用事實驗證自己的假設，或糾正自己的錯誤假設。以前文提到的兩端植樹的問題為例，如果學生假設“總長÷間隔長=棵數（間隔數）”，教師就應引導學生質疑：“總長÷間隔長=棵數”到底對不對？怎樣證明這一假設是正確的？然后再引導學生用自己的方法驗證假設是否正確。

如可把總長100米改為20米，采用化繁為簡的策略去研究不同間隔長度下，棵數和間隔數有什么關系：

也可畫出植樹的情境圖，化抽象為直觀，采用數形結合的策略。

通過驗證活動，學生就能發現，“總長÷間隔長=棵數（間隔數）”的假設是錯誤的，正確的模型應該是“植樹棵數=間隔數+1”。在充分理解了題意之后，讓學生憑借生活經驗和知識經驗嘗試解決，學生在解答的過程中出現了幾種不同的猜想，到底哪種猜想對呢？這里滲透了“猜想——驗證”的思考方法。

三、確立模型

引導學生用分析、比較、綜合、猜想、驗證、概括等思維方法自主構建數學模型。數學建模的目的不僅僅是獲得數學結論，更重要的是在建模的過程中促進知識的內化、思想的升華發展。如得出“植樹棵數=間隔數+1”后，教師可引導學生討論：“如果小路總長100米，每隔4米種1棵樹。共有多少個間隔？可植樹多少棵？”“如果間隔數是50個，要栽樹多少棵？如果間隔數是n個，可以植樹多少棵？”“如果學校的這段小路長度改變了，其他條件不變，‘植樹棵數=間隔數+1的規律還能成立嗎？為什么植樹數不是等于間隔數而是等于‘間隔數+1呢？”這樣，引導學生解釋模型，能促進學生進一步理解模型“植樹棵數=間隔數+1”。

豐富充實的驗證過程，使學生經歷了在操作中思考、在觀察中比較、在交流中評價概括。在這個過程中，充分利用直觀手段揭示植樹問題中的棵樹和間隔數之間內在的對應關系，幫助學生發現規律、建立數學模型，有利于學生從整體上理解、把握解決植樹問題的思想方法。

四、應用模型

引導學生利用抽象出的模型解決實際問題。如建立“植樹棵數=間隔數+1”的模型后，可讓學生完成類似以下的練習：“5路公共汽車行駛路線全長12千米，相鄰兩站之間的距離都是1千米，一共有幾個車站？”植樹問題的模型是現實世界中一類相近事件的放大，它源于現實，又高于生活。所以，在現實中有著廣泛的應用價值。為了讓學生理解這一建模的意義，加強了模型應用功能的練習，本課練習有以下三個層次：（1）應用模型解決簡單的實際問題。（2）以圖片的形式讓孩子們了解生活中與植樹問題相似的現象，讓學生進一步體會，現實生活中的許多不同事件都含有與植樹問題相同的數量關系，它們都可以利用植樹問題的模型來解決它，感悟數學建模的重要意義。（3）綜合練習，通過圖片關注題目中的隱含條件，應用模型放手讓學生去探索，使學生充分感受生活中處處存在著數學問題。

通過本環節的學習，讓學生加深理解所建立的數學模型，在解決問題的過程中，使學生進一步體會現實生活中的許多不同事件都含有與植樹問題相同的數量關系，它們都可以利用植樹問題的模型來解決，感悟數學建模的重要意義，體會數學應用的價值。

五、模型拓展

對模型進行適度的生成、拓展與重塑，派生出新的數學模型。如得出兩端都栽樹的模型“植樹棵數=間隔數+1”后，教師可引導學生探索“只栽一端”和“兩端都不栽”時的植樹模型，并由“兩端都栽”的模型“植樹棵數=間隔數+1”派生出“只栽一端”的模型“植樹棵數=間隔數”和“兩端都不栽”的模型“植樹的棵數=間隔數-1”。

在數學建模活動中，通過問題情境的創設，密切了數學與現實生活的聯系。問題情境貫穿上述五個環節，對數學建模活動的開展起了很大的作用：

第一，數學建模活動為學生提供了豐富的貼近生活實際的活動素材，把數學與學生的生活實際聯系起來，學生從已有生活經驗出發，用數學的眼光觀察生活，經歷從生活原型到數學模型的建構過程，用數學模型解決實際問題。在這個建模活動中，學生從具體的現實問題中抽象出數學結構，經歷了知識發生、發展的過程。學生正從知識的“接受者”向“發現者”轉變，真正成為學習的主人。

第二，有利于幫助學生學會數學思考。在建模過程中，學生要不斷思考，不斷對各種生活中的原始素材進行加工、轉換，同時要不斷激活原有的知識經驗，對當前問題做出分析、推論、綜合、概括，形成假設，并對假設進行驗證，從而建構自己的知識經驗，形成自己的見解，建立一定的模型，這一過程為數學思維訓練提供了理想的途徑。

第三，通過問題情境的創設，激發學生主動學習的積極性。數學建模活動為學生提供了充滿探索與交流、猜測與驗證的活動素材與平臺，能促進學生思維的發展、學習積極性和主動性的提升。

總之，創設一個良好的數學問題情境，能集中學生的注意力，誘發學生思維的積極性，引起學生更多的聯想，調動學生已有的知識、經驗和感受，讓學生真正經歷實踐、探索、歸納、猜想、論證等活動。利用創設的情境，能更有效地幫助學生構建數學模型，然后再把所構建的模型應用到實際，解決生活問題。

參考文獻

[1]葉柱.數學教學新視界探真[M].杭州：浙江大學出版社，2005.

[2]楊剛，盧江.小學數學課程改革的研究與實踐[M].北京：人民教育出版社，2007.