運用類比推理，再認識線段和角

朱小勇

【摘要】思想方法是數學知識的精髓，2011版課程標準重點強調了在培養學生解決問題的過程中，應發揮合情推理的作用.類比推理也作為合情推理的一種方式逐漸被大家運用.本文通過一節線段與角的復習課，讓學生體會類比，從不同角度類比兩個基本圖形——線段和角的知識，讓學生進一步認識線段和角，加深學生對兩個基本圖形——線段和角的理解，讓學生的已有知識得到充分的有機結合.

【關鍵詞】線段；角；類比；數學思想

類比推理也作為合情推理的一種方式被逐漸引入教學中來.本文讓學生初步體會什么是類比，再從不同角度，類比學生進入初中后學習的兩個基本圖形——線段和角的知識，讓學生進一步認識類比，旨在讓學生在以后的學習中能有意識運用類比推理.

一、比較大小的方法類比

線段和角的大小比較都有兩種方法：度量法和重疊法.重疊法中，線段是將兩線段重合，并使兩線段的一個端點重合，看另外一個端點的位置確定兩條線段的大小.類比，角是將兩角的一邊重合，看另外一條邊的位置確定兩個角的大小.度量法是線段測量長度，比較大小，角測量出角度，比較大小.

二、計數方法類比

如圖1，一條直線上有四個點A，B，C，D，數圖中線段的條數，我們一般是按照順序，依次數出線段AB，AC，AD，BC，BD，CD共6條線段，亂數容易遺漏.類比線段條數的確定方法，我們可以數圖形中角的個數.如圖2，在同一平面內有4條射線OA，OB，OC，OD，則圖中的角有∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠BOC，∠BOD，∠COD共6個角.拓展：一條直線上有n個點，則共有線段n（n-1）2條，一個平面的有n條射線，則共有角n（n-1）2個.

三、位置類比

位置的不同，導致結果也不同.如：已知線段AB=5 cm，點C在直線AB上，且BC=4 cm，求AC的長.在解決這個問題的過程中，學生往往由于忽視條件，點C是在一條直線AB上，而不能很好地確定兩線段AB，BC的位置，導致漏解.解決問題時，先畫出圖形線段AB，認清點C在直線AB上，再畫線段BC時，有一個端點B已經確定，只需確定點C的位置.點C可在線段AB上，也可在線段AB的延長線上.類比線段問題的解決方法，讓學生試著解決問題：已知，∠AOB=40°，∠BOC=25°，求∠AOC.和線段問題一樣，仍然是先畫一個角，再確定另外一個角位置，根據圖形，學生能比較輕松地解決問題.

四、線段中點與角平分線概念類比

把線段分成兩條相等線段的點叫作線段的中點；把角分成兩個相等角的射線叫作角的角平分線.線段中點與角平分線都是將原來的分成相等的兩部分，每部分等于原來的一半，知道其中一個可以求另一個.

五、探索性問題中類比

問題：如圖點C在線段AB上，AB=8 cm，BC=6 cm，M，N分別是線段AC，BC的中點.

（1）求線段MN長.

（2）若C為線段AB上任意一點，滿足AB=a cm，其他條件不變，你能猜想MN長度嗎？請說明理由.

（3）若C在線段AB的延長線上，且滿足AB=b cm，點M，N分別是線段AC，BC的中點，你能猜想MN長度嗎？請說明理由.

問題（1），學生能比較輕松地解決問題，寫出解題過程，求得MN=4 cm，但不容易發現其中蘊含的規律.

解決問題（2）只需類比（1）問的過程，將AB=8 cm改成AB=a cm.過程如下：

∵AB=a cm，BC=6 cm，∴AC=AB-BC=（a-6） cm

∵M是線段AC的中點，∴AM=CM=（a2-3） cm

∵N是線段BC的中點，∴CN=BN=3 cm

∴MN=CM+CN=a2-3cm+3 cm=a2 cm.

通過問題（2）的解決，學生會猜想：當點C在線段AB上時，MN長與BC長無關，只與AB有關.當然有學生類比位置關系，猜想點在線段AB的延長線上時是否也蘊含著什么規律呢？問題（3）恰好能解決他們的疑問.

如圖：設BC=x cm，

∵AB=b cm，BC=x cm，∴AC=AB+BC=（b+x） cm.

∵M是線段AC的中點，∴AM=CM=b+x2 cm.

∵N是線段BC的中點，∴CN=BN=x2 cm.

∴MN=CM-CN=b+x2 cm-x2 cm=b2 cm.

類比思想可以簡化思路，訓練思維，加深理解.通過類比線段和角，加深學生對兩個基本圖形——線段和角的進一步理解，讓學生的已有知識得到充分的有機結合，學生對探索性問題解決方法也有了一定認識，促進了學生知識和技能的提升.同時學生積累了一定的類比經驗，在以后的數學教學中，我們要培養注意滲透類比數學思想的意識，促進學生在數學學習中歸類比較，找出知識間的相同點與不同點，幫助學生認識數學的本質，真正發揮類比推理思想在教育教學中的作用.

【參考文獻】

[1]劉德宏.重視類比教學發展數學思考[J].教育實踐與研究，2013（08）：79-80.

[2]王東.滲透類比思想放飛學生思維[J].小學教學參考，2012（07）：20.