數(shù)學思想方法教學的原則及其在數(shù)學分析教學中的體現(xiàn)

何天榮

摘 要：數(shù)學思想是人們對數(shù)學的理論和內(nèi)容的本質(zhì)認識，數(shù)學方法是數(shù)學思想的具體化形式。數(shù)學思想方法是數(shù)學的靈魂。每一門課都是蘊含有其特有的數(shù)學思想方法。《數(shù)學分析》是大學數(shù)學專業(yè)非常重要的一門基礎理論課，在培養(yǎng)計劃中列為主干課程。該課程理論性、系統(tǒng)性強，有高度抽象性；知識點多，公式多；學生學習起來吃力；《數(shù)學分析》課程含有豐富的思想方法。本文結(jié)合數(shù)學分析課程教學及其思想方法，從三個方面闡述在實施數(shù)學思想方法教學時，應該遵循的原則。

關鍵詞：數(shù)學思想方法 原則 數(shù)學分析

中圖分類號：G633 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2016）05（a）-0000-00

1 化隱為顯的原則

由于數(shù)學思想方法往往隱含在知識的背后，知識教學雖然蘊含著思想方法，但是如果不是有意識地把數(shù)學思想方法作為教學對象，在數(shù)學學習時，學生往往只注意到表層的數(shù)學知識，而注意不到處于深層的思想方法。因此，進行數(shù)學思想方法教學時必須以數(shù)學知識為載體，把隱藏在知識背后的思想方法顯示出來，使之明朗化，才能通過知識教學過程達到思想方法教學之目的。

例如，在講定積分在求面積的應用時，我們知道面積公式是，這表示的是有曲線所圍圖形的面積，而在實際應用中，圖形的形狀會千變?nèi)f化，但無論怎么變化，面積總是由定積分的值表示。而定積分的值與兩個因素有關：積分限與被積函數(shù)；要確定出積分限首先必須規(guī)范畫出圖形，借助圖示就能確定出積分限。決定定積分值的兩個關鍵要素是積分限和被積函數(shù)，而積分限的確定必須要借助規(guī)范的圖形。在用定積分求解不規(guī)則圖形面積的過程中蘊含是數(shù)學思想方法叫數(shù)形結(jié)合的方法，教材中并沒有明確提出用什么方法來解決此類問題，這就需要教師的價值引導，學生通過解題過程的用心體會，反復多次訓練才能領悟得到。數(shù)形結(jié)合方法是數(shù)學教學中非常常見的方法。同時，將求不規(guī)則面積問題轉(zhuǎn)化為定積分求解問題的過程就化歸思想方法。實施數(shù)學思想方法教學，就要求教師按照“化隱為顯”的原則，對教材下一番改造的功夫。

2 循序漸進的原則

數(shù)學思想方法的形成難于知識的理解和一般技能的掌握，它需要學生深入理解事物之間的本質(zhì)聯(lián)系。學生對每種數(shù)學思想方法的認識都是在反復理解和運用中形成的，是從個別到一般，從具體到抽象、從感性到理性，從低級到高級地沿著螺旋式方向上升的。

例如，導數(shù)思想的背景：數(shù)學背景是求過一已知點的曲線的切線方程問題；物理背景是求變速直線運動的瞬時速度問題。看似相差很遠的兩個現(xiàn)實問題。解決他們的數(shù)學方法本質(zhì)上卻是完全相同的，于是，就將這種數(shù)學問題抽象出來給它一名稱叫“導數(shù)”。然后從理論上研究導數(shù)的性質(zhì)、計算后，研究它的應用，比如在經(jīng)濟中的應用等。導數(shù)概念的產(chǎn)生就是從個別到一般、從感性到理性的過程。凡是用導數(shù)知識解決的實際問題體現(xiàn)的就是導數(shù)思想。定積分思想的背景類似于導數(shù)，它本來是解決曲邊梯形面積的數(shù)學方法，抽象出來研究之后又回到應用，有幾何方面的求面積、求體積、側(cè)面積、求弧長等應用，還有物理方面的許多應用。應用定積分知識解決現(xiàn)實問題的方法就是定積分的思想方法。

另外，每門課程都有其特有的思想方法，因此，思想方法的數(shù)學分析課程中的教學要與相應的課程知識相聯(lián)系，符合學生的知識發(fā)展水平。例如，導數(shù)教學的背景知識與導數(shù)思想、極限思想相結(jié)合。定積分的教學與積分思想、極限思想相結(jié)合。根據(jù)不同課程內(nèi)容引導學生反復思考同一種思想方法，長此以往，學生會逐漸領悟到這種思想方法。例如，連續(xù)性概念的教學、導數(shù)概念的教學、定積分概念的教學、級數(shù)的教學都蘊含了極限思想。每次遇到函極限思想的內(nèi)容是要引導學生明確這其中所蘊含是數(shù)學思想方法。

3 學生參與的原則

數(shù)學知識教學與數(shù)學思想方法教學有著顯著區(qū)別。數(shù)學知識教學時數(shù)學認識活動的結(jié)果的教學，呈靜態(tài)點型，重在記憶理解；數(shù)學思想方法教學是數(shù)學活動過程的教學，呈動態(tài)線型，重在領會應用；離開數(shù)學活動過程數(shù)學思想方法也就無從談起，只有組織學生積極參與教學過程，在老師的啟發(fā)引導下才能逐步領悟、形成、掌握數(shù)學思想方法。

例如，教師在講解二重積分、三重積分、曲線積分、曲面積分的概念時。因為學生已經(jīng)熟知定積分概念的產(chǎn)生背景—求曲邊梯形面積的過程。所以，引導學生參與到教學中，與學生探討曲頂柱體體積的求解方法，通過探討，學生會發(fā)現(xiàn)解決曲頂柱體體積的數(shù)學方法與求曲邊梯形的數(shù)學方法類似，都是分割、近似求和、取極限三個步驟。所不同的是曲邊梯形中曲邊由一元函數(shù)表示，積分限是一條線段，表示成閉區(qū)間；曲頂柱體中曲頂由二元函數(shù)表示，積分區(qū)域是一個有界閉區(qū)域。于是，類似于定積分的討論，我們就將這種數(shù)學方法抽象出來，稱之為“二重積分”。同理，三重積分、曲線積分、曲面積分本質(zhì)上都是“和式極限”可以用完全類似于定積分和二重積分的方法來研究，學生只要透徹理解了定積分的思想方法，講解二重積分、三重積分、曲線積分、曲面積分的概念時完全可以讓學生參與到教學中，在教師的價值引導下有學生得出結(jié)論。研究這幾個概念用到的數(shù)學思想方法是類比的思想方法；當然，其中還涉及到數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想、函數(shù)思想、極限思想、積分思想等等。

在進行數(shù)學思想方法與在數(shù)學分析課程中的教學時，教師要給出機會讓學生參與到教學活動中來，通過教學活動，在教師的價值引導下讓學生感知數(shù)學分析課程中所蘊含的豐富的數(shù)學思想方法。例如，在極限概念的教學中，在講授數(shù)列極限的定義時，教師要通過數(shù)形結(jié)合思想、極限思想，透徹講解，當學生透徹理解了數(shù)列極限定義后。講到函數(shù)極限時完全可以讓學生參與到教學過程中，定義大同小異，讓學生通過畫圖，理解其幾何意義的同時領悟數(shù)形結(jié)合思想。至于函數(shù)極限有各種趨向、而數(shù)列極限只有一種趨向的問題，歸結(jié)為函數(shù)與數(shù)列的異同，其本質(zhì)歸結(jié)為而二者定義域的不同。在教學中一定要尊重學生已有的知識和經(jīng)驗，在函數(shù)極限教學時借助于數(shù)列極限知識的方法就是數(shù)學思想方法中的類比思想。類比思想方法在數(shù)學分析教學中也是非常常用有極好用的方法。

數(shù)學分析課程中蘊含有豐富的數(shù)學思想方法，函數(shù)思想、極限思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想、類比思想、定積分思想和導數(shù)思想方法等等。在教學中要注重思想方法的滲透，既可以增強課程內(nèi)容的邏輯連貫性，例如極限思想就是貫穿整門課程的一條主線。又可以化抽象為具體，例如一旦理解了定積分的思想，就能理解曲線積分概念、重積分概念、曲面疾風概念等。只有領悟了課程所蘊含的思想方法，才真正學習到課程的本質(zhì)。

參考文獻

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[2] 華東師大數(shù)學系編.《數(shù)學分析》（第三版）[M] 北京：高等教育出版社 2010