《導數(shù)及其應(yīng)用》教學方式及注意事項分析

柴慧娟

導數(shù)在甘肅省課程教學中作為選修課程，是學生在文理分科后分別學習的內(nèi)容，文科生在選修1—1第三章中學習導數(shù)及其應(yīng)用，理科學生在選修2—2第一章中學習導數(shù)及其應(yīng)用。無論是理科生還是文科生都對導數(shù)的學習和運用感到困惑。本文就“導數(shù)及其應(yīng)用”的教學方式及其注意事項提出了以下看法，以供參考。

一、導數(shù)概念的教學

在導數(shù)概念的教學中要注意新課的引入和學生的啟發(fā)，通過幾個具體的例子，讓學生體會觀察它們的共同特點，從而引出導數(shù)。教材從變化率入手研究導數(shù)，用形象直觀的 “逼近”方法定義導數(shù)：從函數(shù)的平均變化率到瞬時變化率，再到函數(shù)y=f（x）在x=x0處的導數(shù)，進而到函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)導函數(shù)（導數(shù)）。建議導數(shù)概念課以多媒體課件的形式展示，激發(fā)學生學習的興趣和參與度。例如，用幾何畫板展示割線逼近切線，曲線的切線與曲線不止有一個交點。

二、導數(shù)運算的教學

為了使學生能用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式與運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù)，教材在直接給出導數(shù)公式及運算法則后，安排了大量的例題和練習題，學生通過例題和習題的模仿、操作，從而熟練掌握此知識點。在導數(shù)運算教學中要給學生一定的自主學習時間，老師只作適當引導，不必花時間去大講特講。其他初等函數(shù)的導數(shù)公式也可以通過導數(shù)定義推導而得，但教材不作要求，教學時要準確把握，不要偏移重心，影響教學效果。

復合函數(shù)的導數(shù)對于文科學生沒有涉及，教學中不必再提及。理科生教學中不必介紹復合函數(shù)的嚴格定義，也不要求證明復合函數(shù)的求導公式，因此建議教學中多配備幾個例題，引導學生理解簡單復合函數(shù)的復合過程，知道復合過程中的自變量、因變量及中間變量分別是什么。教學參考明確要求會求形如

f（ax+b）的函數(shù)的導數(shù)即可，老師在教學中選用例題、習題時一定要注意這一點，不作過多的引申。

三、導數(shù)的應(yīng)用教學

導數(shù)的應(yīng)用這部分內(nèi)容的重點是微積分的基本思想。導數(shù)是研究函數(shù)的重要工具，利用這個工具研究函數(shù)的單調(diào)性，體會導數(shù)在研究函數(shù)中的優(yōu)越性。

（1）函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系：教學中老師結(jié)合實例，如高臺跳水，一次函數(shù)、二次函數(shù)、三次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象，讓學生利用幾何圖形，觀察探索并了解單調(diào)性與其導函數(shù)正負之間的關(guān)系，學生只需歸納得出結(jié)論即可，不需要嚴格證明。一定要注意，這里要強調(diào)函數(shù)y=f（x）在某點附近的增減情況。如果在整個區(qū)間上恒有f'（x）>0（x<0），那么函數(shù)y=f（x）在整個區(qū)間上單調(diào)遞增（遞減）。

（2）函數(shù)的極值和最值與導數(shù)的關(guān)系：在該節(jié)教學中還是要讓學生先通過對大量函數(shù)圖象的觀察，直觀感受函數(shù)在某些特殊點（極值點）的函數(shù)值與附近點的函數(shù)值大小之間的關(guān)系，以及函數(shù)在這些點的導數(shù)值與附近函數(shù)的增減情況。在教學中一定要強調(diào)，極大值和極小值是局部性質(zhì)，反映的是函數(shù)在某點附近的性質(zhì)，“極大值不一定大于極小值”，讓學生知道“f ' （x0）=0是函數(shù)取得極值的必要不充分條件”。對于函數(shù)的“連續(xù)”，只需要讓學生根據(jù)圖象可直觀地感受到函數(shù)圖象在x=x0處及其附近“不斷”即可。本節(jié)的重點是利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的極值、最值。

（3）運用導數(shù)知識分析解決實際應(yīng)用問題：在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、生活等實際問題中，常常需要研究一些成本最低、利潤最大、用料最省的問題，此類問題稱為優(yōu)化問題。教學中要設(shè)計探究活動，引導學生總結(jié)出解答此類問題的一般步驟：①建立函數(shù)關(guān)系；②求極值點，確定最大（小）值；③回歸優(yōu)化方案。從而培養(yǎng)學生應(yīng)用數(shù)學思想和數(shù)學建模的能力。

四、定積分的教學

教材安排了兩類典型的問題——求曲邊梯形的面積和求變速直線運動物體的位移這兩個實例，一個是定積分的幾何背景，一個是定積分的物理背景。教學中要啟發(fā)引導學生，通過類比求圓的面積的過程，引出求曲邊梯形面積的基本思想：在局部小范圍內(nèi)“以直代曲”和“逼近”的思想；教學過程中可以利用多媒體給學生們演示“無限分割”讓學生們加深體會其數(shù)學思想。求變速直線運動物體的路程也是定積分的概念的一個重要背景，應(yīng)注意引導學生類比求曲邊梯形面積的過程，讓他們自己獨立解決問題。

引出定積分概念后，說明定積分的含義及定積分中符號的含義；有了求曲邊梯形面積的經(jīng)驗，可通過“思考”引導學生分析定積分的幾何意義；對于教科書中定積分的三個基本性質(zhì)，不要求學生證明，幫助學生從幾何直觀上感知性質(zhì)的成立即可。

對于微積分基本定理的教學，我們應(yīng)該讓學生經(jīng)歷微積分基本定理的發(fā)現(xiàn)過程，把握從局部到整體、從具體到一般的思想，先利用物理意義和導數(shù)的幾何意義，并根據(jù)定積分的概念，通過尋求導數(shù)和定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系，得到微積分基本定理的雛形，然后一般化而得出積分基本定理。在定積分的簡單應(yīng)用這部分的教學中，應(yīng)特別注意利用定積分的幾何意義，借助圖形直觀，把平面圖形進行適當?shù)姆指睿瑥亩亚笃矫鎴D形的問題轉(zhuǎn)化為求曲邊梯形面積的問題。

（作者單位：甘肅省嘉峪關(guān)市酒鋼第三中學）