《導數及其應用》教學方式及注意事項分析

柴慧娟

導數在甘肅省課程教學中作為選修課程，是學生在文理分科后分別學習的內容，文科生在選修1—1第三章中學習導數及其應用，理科學生在選修2—2第一章中學習導數及其應用。無論是理科生還是文科生都對導數的學習和運用感到困惑。本文就“導數及其應用”的教學方式及其注意事項提出了以下看法，以供參考。

一、導數概念的教學

在導數概念的教學中要注意新課的引入和學生的啟發，通過幾個具體的例子，讓學生體會觀察它們的共同特點，從而引出導數。教材從變化率入手研究導數，用形象直觀的 “逼近”方法定義導數：從函數的平均變化率到瞬時變化率，再到函數y=f（x）在x=x0處的導數，進而到函數y=f（x）在區間（a，b）內導函數（導數）。建議導數概念課以多媒體課件的形式展示，激發學生學習的興趣和參與度。例如，用幾何畫板展示割線逼近切線，曲線的切線與曲線不止有一個交點。

二、導數運算的教學

為了使學生能用基本初等函數的導數公式與運算法則求簡單函數的導數，教材在直接給出導數公式及運算法則后，安排了大量的例題和練習題，學生通過例題和習題的模仿、操作，從而熟練掌握此知識點。在導數運算教學中要給學生一定的自主學習時間，老師只作適當引導，不必花時間去大講特講。其他初等函數的導數公式也可以通過導數定義推導而得，但教材不作要求，教學時要準確把握，不要偏移重心，影響教學效果。

復合函數的導數對于文科學生沒有涉及，教學中不必再提及。理科生教學中不必介紹復合函數的嚴格定義，也不要求證明復合函數的求導公式，因此建議教學中多配備幾個例題，引導學生理解簡單復合函數的復合過程，知道復合過程中的自變量、因變量及中間變量分別是什么。教學參考明確要求會求形如

f（ax+b）的函數的導數即可，老師在教學中選用例題、習題時一定要注意這一點，不作過多的引申。

三、導數的應用教學

導數的應用這部分內容的重點是微積分的基本思想。導數是研究函數的重要工具，利用這個工具研究函數的單調性，體會導數在研究函數中的優越性。

（1）函數的單調性與導數的關系：教學中老師結合實例，如高臺跳水，一次函數、二次函數、三次函數、反比例函數的圖象，讓學生利用幾何圖形，觀察探索并了解單調性與其導函數正負之間的關系，學生只需歸納得出結論即可，不需要嚴格證明。一定要注意，這里要強調函數y=f（x）在某點附近的增減情況。如果在整個區間上恒有f'（x）>0（x<0），那么函數y=f（x）在整個區間上單調遞增（遞減）。

（2）函數的極值和最值與導數的關系：在該節教學中還是要讓學生先通過對大量函數圖象的觀察，直觀感受函數在某些特殊點（極值點）的函數值與附近點的函數值大小之間的關系，以及函數在這些點的導數值與附近函數的增減情況。在教學中一定要強調，極大值和極小值是局部性質，反映的是函數在某點附近的性質，“極大值不一定大于極小值”，讓學生知道“f ' （x0）=0是函數取得極值的必要不充分條件”。對于函數的“連續”，只需要讓學生根據圖象可直觀地感受到函數圖象在x=x0處及其附近“不斷”即可。本節的重點是利用導數求函數的單調區間以及函數在區間內的極值、最值。

（3）運用導數知識分析解決實際應用問題：在工農業生產、生活等實際問題中，常常需要研究一些成本最低、利潤最大、用料最省的問題，此類問題稱為優化問題。教學中要設計探究活動，引導學生總結出解答此類問題的一般步驟：①建立函數關系；②求極值點，確定最大（小）值；③回歸優化方案。從而培養學生應用數學思想和數學建模的能力。

四、定積分的教學

教材安排了兩類典型的問題——求曲邊梯形的面積和求變速直線運動物體的位移這兩個實例，一個是定積分的幾何背景，一個是定積分的物理背景。教學中要啟發引導學生，通過類比求圓的面積的過程，引出求曲邊梯形面積的基本思想：在局部小范圍內“以直代曲”和“逼近”的思想；教學過程中可以利用多媒體給學生們演示“無限分割”讓學生們加深體會其數學思想。求變速直線運動物體的路程也是定積分的概念的一個重要背景，應注意引導學生類比求曲邊梯形面積的過程，讓他們自己獨立解決問題。

引出定積分概念后，說明定積分的含義及定積分中符號的含義；有了求曲邊梯形面積的經驗，可通過“思考”引導學生分析定積分的幾何意義；對于教科書中定積分的三個基本性質，不要求學生證明，幫助學生從幾何直觀上感知性質的成立即可。

對于微積分基本定理的教學，我們應該讓學生經歷微積分基本定理的發現過程，把握從局部到整體、從具體到一般的思想，先利用物理意義和導數的幾何意義，并根據定積分的概念，通過尋求導數和定積分之間的內在聯系，得到微積分基本定理的雛形，然后一般化而得出積分基本定理。在定積分的簡單應用這部分的教學中，應特別注意利用定積分的幾何意義，借助圖形直觀，把平面圖形進行適當的分割，從而把求平面圖形的問題轉化為求曲邊梯形面積的問題。

（作者單位：甘肅省嘉峪關市酒鋼第三中學）